Meccanica Quantistica Relativistica

F

dove T φ(x)φ(y) è il T-prodotto, cioè il prodotto tempo ordinato, definito come

0 0

φ(x)φ(y) ; x > y

n

(3.153)

T φ(x)φ(y) = 0 0

φ(y)φ(x) ; x < y .

Si evince che il T-prodotto è definito in modo tale che il primo operatore ad agire sia quello

0 0

che temporalmente perviene prima. Nel caso in cui x = y non si ha ambiguità circa

= 0. Diamo un significato fisico alla definizione

l’ordinamento dato che [φ(x), φ(y)] 0 0

x =y

di propagatore. Lo si può vedere come la proiezione dello stato φ(y)|0i sullo stato φ(x)|0i,

0

o in altri termini l’ampiezza di probabilità di avere lo stato φ(x)|0i a x a partire dallo

0

stato φ(y)|0i a y . Ciascuno di tali stati lo si può vedere come lo stato di una particella

collocata in un dato punto x o y dello spazio-tempo. Infatti

3 3

Z Z

d p d p

0 0 −ip·y

ip y

+ ipy ipy

|0i |0i |pi,

φ(y)|0i = a e + a e = e

p

p

q q

3 3

(2π) (2ω ) (2π) (2ω )

p p

| {z }

0 (3.154)

il quale può essere visto come la sovrapposizione di onde piane nel punto y, risultando lo

17

stato più generale di singola particella. A partire dalla definizione di propagatore si può

ottenere l’equivalente non relativistico, da cui ad esempio si riottiene quello proprio della

particella libera 3

Z Z d p −iE

)

ip·(x−x

3 t

hψ|ψi hψ|pihp|ψi p

= d p = e e . (3.155)

1

t 0 t 0 3

(2π)

3.9.1 Il T-prodotto

Vogliamo descrivere l’azione dell’operatore di KG sul propagatore di Feynman. A tal fine

è utile scrivere (3.152) nella forma equivalente

0 0 0 0

− − −

i∆ (x y) = θ(x y )h0|φ(x)φ(y)|0i + θ(y x )h0|φ(y)φ(x)|0i, (3.156)

F

17 Risulta essere una sovrapposizione di stati con impulso p arbitrario.

38 CAPITOLO 3. IL CAMPO DI KLEIN-GORDON

in cui si ricordi θ(x) è una distribuzione. Caratterizziamola rapidamente calcolandone la

derivata. Essendo una distribuzione è implicita l’integrazione di essa moltiplicata ad una

18

funzione f (x) a supporto compatto +∞

+∞ Z

Z +∞

+∞ 0

0 −f

− = f (0), (3.157)

dx θ(x)f (x) = (x)

dx θ (x)f (x) = θ(x)f (x) −∞ 0

−∞

−∞ 0

da cui θ (x) = δ(x). Detto ciò applichiamo l’operatore di KG rispetto alle x al propagatore.

2 2 2

−

Ricordando ( + m ) = (∂ ∆ + m ) calcoliamone i contributi singolarmente

x x

0

x

0 0 0 0

− − −

∂ i∆ (x y) = θ(x y )h0| φ̇(x)φ(y)|0i + θ(y x )hφ(y) φ̇(x)|0i+

0 F

x 0 0 0 0

− − −

+δ(x y )h0|φ(x)φ(y)|0i δ(x y )h0|φ(y)φ(x)|0i (3.158)

0 0

h0|T |0i −

= φ̇(x)φ(y) + δ(x y )h0|φ(x)φ(y)|0i+

0 0

−δ(x − y )h0|φ(y)φ(x)|0i.

Posso sfruttare la definizione della δ(x) per affermare f (x)δ(x) = f (0)δ(x), seppur ciò

dovrebbe essere rigorosamente compiuto prendendo una funzione di prova g(x) e compiere

R dx g(x)f (x)δ(x). Sfruttando tale uguaglianza si ha

0 0 0 0

− h0|φ(x)φ(y)|0i − h0|φ(y)φ(x)|0i −

δ(x y ) = δ(x y )h0|[φ(x), φ(y)]|0i

0 0

− |0i

= δ(x y )h0|[φ(x), φ(y)] 0 0

x =y

= 0. (3.159)

0

Adesso compiamo la derivata seconda rispetto a x del propagatore

2 0 0

− h0|T |0i − |0i

∂ i∆ (x y) = φ̈(x)φ(y) + δ(x y )h0| [ φ̇(x), φ(y)] 0 0

F x =y

0

x | {z } (3.160)

−iδ(x−y)

4

h0|T |0i − −

= φ̈(x)φ(y) iδ (x y).

Calcoliamo adesso il ∆ del propagatore

x

− h0|T |0i.

∆ i∆ (x y) = ∆ φ(x)φ(y) (3.161)

x x

F

Dunque complessivamente si ha 2

2 4 0 0

− −iδ − − φ(y)|0i+

( + m )i∆ (x y) = (x y) + θ(x y )h0| + m )φ(x)

x x

F {z }

| 0

2

0 0

− |0i,

+θ(y x )h0|φ(y) + m )φ(x)

x

| {z }

0 (3.162)

da cui possiamo concludere 2 4

− −iδ −

( + m )i∆ (x y) = (x y). (3.163)

x F

Come poter risolvere questa equazione differenziale per ottenere il propagatore di Feyn-

man? Ci corrono in soccorso le funzioni di Green.

18 ≡

Una funzione è a supporto compatto se f (±∞) 0.

3.9. PROPAGATORE DEL CAMPO DI KLEIN-GORDON 39

3.9.2 Le funzioni di Green

Le funzioni di Green consentono di ricavare la soluzione particolare di un’equazione diffe-

renziale lineare. Nel caso nostro di interesse

2

( + m )φ(x) = J(x), (3.164)

x

in cui J(x) è una funzione arbitraria che funge da sorgente del campo φ(x). Introduciamo

la funzione di Green che soddisfa l’equazione

2 4 −

( + m )G(x) = δ (x y), (3.165)

x

sfruttando la quale la soluzione generale di (3.164) è

Z 4 −

φ(x) = φ (x) + d y G(x y)J(y), (3.166)

0

in cui φ (x) è la soluzione dell’omogenea. Si ha infatti che

0 Z Z

2 4 4 2

− −

( + m ) d y G(x y)J(y) = d y ( + m )G(x y) J(y) = J(x). (3.167)

x x

| {z }

4

δ (x−y)

3.9.3 Calcolo esplicito del propagatore di Feynman

Per poter risolvere (3.163) risulta efficace passare nello spazio di Fourier tale che

4

Z d q −iq(x−y)

−

i∆ (x y) = G̃(q)e

F 4

(2π) (3.168)

4

Z d q −iq(x−y)

4

−iδ − −i

(x y) = e .

4

(2π)

Dunque abbiamo che l’equazione da risolvere risulta

4 4

Z Z

d q d q

−iq(x−y) −iq(x−y)

2 2 −i

G̃(q)(−q + m )e = e , (3.169)

4 4

(2π) (2π) F[f

e dato che la trasformata di Fourier è invertibile, affinchè si abbia ] = 0, ottenibile

19

portando in (3.169) tutto a primo membro, necessariamente f = 0. Dunque possiamo

uguagliare le funzioni integrande da cui i

2 2 −i →

(−q + m ) G̃(q) = G̃(q) = . (3.170)

2 2

−

q m

Per poter ricavare il propagatore si fa l’antitrasformata

4

Z d q i −iq(x−y)

−

i∆ (x y) = e , (3.171)

F 4 2 2

−

(2π) q m

la quale risulta solo un’espressione formale dato che il denominatore si può annullare!

Infatti si ha

2 2 0 2 2 2 0 2 2 0 0

− − − − −

q m = (q ) q m = (q ) ω = (q ω )(q + ω ), (3.172)

p p

p

19 Il suo nucleo è costituito dal solo elemento nullo.

40 CAPITOLO 3. IL CAMPO DI KLEIN-GORDON

0

rendendo l’integrazione in dq della forma

+∞ 0

Z dq , (3.173)

0 0

−

(q ω )(q + ω )

p p

−∞

che risulta avere una divergenza logaritmica in corrispondenza dei punti in cui l’energia

20

soddisfa la propria definizione, dove la particella virtuale diventa reale. L’integrale non

esiste. Possiamo però definire una ”ricetta” che consente di calcolare una nuova funzione

di Green. Questa consiste nel compiere una continuazione analitica in campo complesso

0

di q in modo da sfruttare il principio di deformazione dei cammini.

Lungo il cammino di integrazione abbiamo due poli semplici, i quali possono essere aggirati

in quattro modi distinti

Figura 3.2: Possibili modi di aggiramento dei due poli.

Quale cammino scegliamo? Al fine di ottenere il T-prodotto risulta necessario scegliere il

−ω

cammino che evita il polo in in senso antiorario e quello in +ω in senso orario. Tale

p p

cammino è però un cammino aperto ed è dunque necessario chiuderlo al fine di applicare

il teorema dei residui. Si ha che la sola parte temporale dell’integrale è

0 0 0

−iq −y

0 (x )

Z dq e

i , (3.174)

0 0

−

(2π) (q ω )(q + ω )

p p

0 0 0

ed esplicitando la natura complessa di q = Re q + iIm q si ha

0 0 0 0 0 0

−iRe −y −y

q (x ) Im q (x )

0

Z dq e e

i , (3.175)

0 0

−

(2π) (q ω )(q + ω )

p p

da cui si evince che affinchè l’esponenziale non esploda risulta necessario chiudere il cam-

0 0

−

mino in uno o nell’altro semipiano dell’asse Im q. Se x y > 0 è necessario chiuderlo

0 0

−

nel semipiano negativo, mentre viceversa se x y < 0. Consideriamo il primo caso. Si

20 Questo sarà approfondito in seguito. Il concetto è che fintanto che la condizione energetica non è

soddisfatta la particella è virtuale, mentre quando soddisfa la propria definizione allora la particella è

reale.

3.9. PROPAGATORE DEL CAMPO DI KLEIN-GORDON 41

ha dal teorema dei residui

0 0 0 0 0 0

−iq −y −iq −y

0 (x ) (x )

Z dq e e

i

i = (−2πi)Res 0

q =+ω

0 0 0 0

p

− −

(2π) (q ω )(q + ω ) 2π (q ω )(q + ω )

p p p p

0 0

−iω −y

(x )

p

i e (3.176)

= (−2πi)

2π 2ω p

0 0

−iω −y

(x )

p

e

= .

2ω p

0 0

−

Equivalentemente considerando il caso x y < 0 si deve chiudere il cammino di integra-

zione verso l’alto, portando il risultato ad essere

0 0 0 0 0 0

−iq −y −iq −y

(x ) (x )

0

Z e e

dq i

i = (2πi)Res 0

q =−ω

0 0 0 0

p

− −

(2π) (q ω )(q + ω ) 2π (q ω )(q + ω )

p p p p

0 0

−y

iω (x )

p

i e (3.177)

= (2πi) −2ω

2π p

0 0

−y

iω (x )

p

e

= .

2ω

p

Dunque si ha che l’integrale di partenza è 3

3 Z

Z d q

d q −iq(x−y) 0 0 iq(x−y) 0 0

− −

− e θ(x y ) + e θ(y x ), (3.178)

i∆ (x y) =

F 3 3

2ω (2π) 2ω (2π)

p p

0

con q = ω . Si noti che il propagatore risulta invariante per trasformazioni di Lorentz.

p

Si noti bene che il risultato ottenuto non è pari all’integrale di partenza, infatti que-

−

st’ultimo come visto non esiste. Semplicemente dato che la definizione di i∆ (x y) in

F