Matematica per l’economia e la finanza

I

^ Bca

ANB ∅

= B

ANB

A. DISGIUNTI

B -

→ AUB A

=

AIB A AIB

=

{ }

0,112 NATURALI

n

= n

. . . .

.

.

{

2- } RELATIVI

-1.2

-11

0 z

= n

, , , .

. .

{ E) }

Q } }

± ± RAZIONALI

± -1

0 , , .

. .

.

- n

.

_ .

, ma

}

{

R ite REALI

it e

" n

,

- , . .

.

- R

Z Q

N }

{ È

R

R E e

E -1

RI 0 -

-

-

- .

, . .

= , ,

# , ,

-1 )

leali NON ( esclude

tutti reali

tutti POSITIVI lo

i osi

i

Negativi

PRODOTTO CARTESIANO AxB

AxB

-ŞCx,4)lXEAMyEB} AZEC

AXBXC MYEB

-EX,Y'ZJIXEA }

8}

A B

.G8.3.4,

-Ş213.5,7b (5,4), 15,8)

(3,4), 3),

(3,8),

( (2,8), (3.2),

(2,3), 33), 5),

(2,4), 45,

C

Ax B

= 5,

C2,8),

aalı ş ılı ş ılıkl ğ mi y

Graficamente il prodotto

cartesiano è un rettangolo che

ha come base A e altezza B

REKRXIR

esponente interO zllog

33:

a a 3.3.3

a

a

w

?= ..a

mvolte

ato O

a z

es 16

Lc

%= =

=sam:Ian 23=23

z

amtm es

:

am ?.

a m 2:23= 25

=

am

an a7m es

:

aMJm :an.m

am -Tan

=

1 qMra

a

am

. 9

PRODOTTI NOTEVOLI Cubo di un binomio

Quadrato di un binomio b

la Ca

+b) ax ab

+

a abt

b? 3

3

zab

= ?t

+b)=

?t +)

(+ + tt

+

=

(

es =

xtsj -)

(+ -

+

=

x?+2xts - -

= +)

x

(- (-

+ t t

= -

2-2x s -

xtsp (--)

( x

x-s)? = -

- -

+ -

= ?-2x s (2

(2

x?3y)

es x?3y)": +3[3

+8 yP/zx3]-27y3

x%-3(2x2)3y)

8 Xy -27

+ 2

54 y3

x6-36x'y

Somma x differenza a

latblla ?-b2

=

-b)

f

es 2x+y)(2xty) = -4

x?tugn

G

o -2x-5)1-2x-y)

=4 x?-y2

Somma e differenza di cubi bY

ea

laßtb - ab

? -

-

-

-

- - È sempre un

-

- ww

3j=laxbHlt quantitativo positivo

-

ab

( - bY

- -

a

- -

-

t

-

-

a3-b3j-ta-bllt r

so

(8-

es y3)=(2-y)(a-24tyo) =

8) D-27x3

f

-27x3+ 9

(2-3

= x)(4+6x+ x)

EQUAZIONI

2 =-

Ę X so

,

x-3+

& BX 40

S + =

x -

- 2

13 12

40 +

= -

x 20

x = 13 l

Razionali fratte Logaritmica

logx

- =loglx?-2) =

(

zlog

s=**5 (3

x-s) logle+x)

x-3)-log

Esponenziale

734- ze

Is ??6êt3=o

344 ête

s

Irrazionali "=3

IX

+x=6

PZTX 3-X=1 log

ESERGMO 22

I

ETTEttitn

xtt s

2

x +

24-

e l

-x40

1 L

x

=

2

x-s#0

X

#5

(+-

) =

-

24 X + \ x)(axx1)

s)(

2

=24+1-2

x?

x?t2x-x-1

LixF

-2=0

2(2 axethateto

x?-s)=o

A

2*7-

s=0 -bLE.

\ *27

z

Tz

ESERGZ 2

1O 17

3 X

-140

X

xt #a

s

3

:34-

xtX-1+1

T

e

3 2=0

x?-3x+1-3X4

3

x7-6X+3=0

x

-2x+1=o

- -

X =-s

JXEIR

Non esiste soluzione

DISEQUAZIONI

Disequazione razionale fratta

X 43-

-TX1 ZIX-1)

40

XF ZX

-1)

+1-3+

T

2

( x+1)-3x(x-+ 20

(x-sptx

x

(x-^)

x 3

-.

?2xtexx?+x-3x2+ X+2

XLX

-11

Mx

40

-a) 30

Mxry

Quando la frazione è positiva? s

- VX

X V XE

x

N -S 33

.E.

20 z

2-24-3

. =Y

D X

X v

.x(x-s)20 <D 3s

3

A t

o

- i

" - L

-

- -

-

-

- -

-

-

IL

-

- -

-

- -

-

- - -

R SVX

XL x

V

-S 33

.: yzax

?xbxte Equazioni: servono per capire dove la curva

Parabola interseca l'asse x, se non ci sono soluzioni

non interseca l'asse

U

- Se a > 0 Le disequazioni servono per cercare i valori

n

- Se a < 0 positivi o negativi

~

flxJ y

=x2-24-3 "

Şez

-2x-3=0

fcx

)=0 I

+243

- IW,

4= X

2-170-170

XEX

XMXTS 7

O

+530

EQUAZIONE ASSOCIATA EQUAZIONE ASSOCIATA

sO SO

x

X 0

= 0

=

7xx+5 2-A

I i

i

s

X =

l -

s

t .

T

XXER XL x

-IOR 3s

La parabola non interseca l'asse x

Valori esterni di niente = TUTTO

quindi la soluzione è IR x

x 2-2xts<0

70

2-2x41 X

x =0

+

s=o 2-2x+s

2-2x

4=21 x

Va-a I

Z .E =2=s

==S

X

XLS v 3A my

xy ?

À

?

Ã

FXERR HxER

X

#A Se ci fosse stato ≤ s

X

=

6

XLX 2 c

{ 4

x

20 12

<

-4) X

X X OR

L

@ 2x-s)t374x 1 73

VxER

x 7

@ s

X -

O 3 2+ <

4)

x 12

(X- x L

0

2-4x-12

x

?-4x-12=0

X 6

V L

x

x

2

.I.

=4LXIY"

X

@ +324

X

(2x-s)

2

x?-x-LX4330

2

x2-bx+3=0

I =55+1=11

- 33

S

XL X

V

V

.E

IE z

B x 30 -3

*x+1

Per la disequazione

R Per l'e quazione

HXERR ïlİl

0

-

- - - -

- v }

R l 6

x

4

4

2 i

4 3 ex 26

axfbxte

2)

s axtb :0 g

-o lo

) +a

fLxJ fix

{ {

f axtb {

4x): =ax?xbxtc )-x+dl

f

(x)=o

fuxs=o fCx

)=o

Va intesa come una funzione

che interseca con l'asse delle x .

A

La disequazione serve a capire se la funzione assume valori positivi o negativi in

base al segno della disequazione axtbzo

axtbso f

{

flxJ

{ (x)=axtb

=axtb f

f <

1xJ30 o

(x)

FUNZIONE I

^

ll y

s

nr ?

o

ill iv

fCXRR RRxlR

Ogni funzione è un sottoinsieme di

Una funzione deve:

ESSERE OVUNQUE DEFINITA

I Tutto il primo insieme del prodotto cartesiano deve essere considerato

ESISTENZA DI UNA SOLA y PER OGNI x

z Deve intersecare l’asse y 1 sola volta

.

t.

È una funzione Non è una funzione

Rette oblique = funzione

Rette // asse x = funzione

Rette // asse y = NON è una funzione IRx IR

ya txo

[

i isi [*R

: xo,

: Escludo ciò che c’è prima di xo

-

- Txo

-

-

-

-

- ,xxTxR+ ß

X x

o - -- - -

no

^

y

jÜ fcRışo }xR

I ?

y x

\

l \ \

j Si

j

fEAxB f DB

A

:

f definita in A e ha valori in B

f è funzione

se soddisfa la seguente proprietà

fla

VxEAJ bEB

: )=b

! b f

la , )€

y è una funzione ?

fCx

y = ) Fxs

log Campo di

y ?

= esistenza

*+>

{ co

+

y y è una funzione ?

= M 0

7,

X

2, s

exerazi X

70

WX 6

=

+ x

X =6-xPC) x

= 2

36 - +

X s2x

X @

2-13443670

4 soluzioni

13 A3E3 O

2 3 r

2+ -

X3 XIA

3

s

r 1

j (

=

l x x

zxx 3 j

1

2

X

x3x+3x7tX? tx3=

3

x-3x-1-0 2-3-IY-E8

x

n

3 -eclys-axts

CAMPI DI ESISTENZA

- Le polinomiali esistono sempre

- Nelle razionali fratte il denominatore deve essere diverso da 0

- Le irrazionali con indice dispari OK

- Le irrazionali con indice pari > 0

)5

C zzlog

( x-A)<Vx3uxts

XBBX

3

X-14X?axts ?4

+7 -240

x

- 3 x2 5

Bx

7-7xt23O

a U

*== .E

T x vx 32

<ß .

y

=x

=

x

y xh

Tx

y =

= I

-

k

y x

=

= B

y =

=Bx x

logy

y

= X All'aumentare della potenza

e

y

: la parabola la parabola

tende a chiudersi

LOGARITMI ac

logab b

e

: Condizione di

}

Base aso aaFs

De ? esistenza dei

Esponente bso logaritmi

b = zo

Logb

b

Logb logso

= =E?=so=b =b

soM b

emb b =

=lne Imb

Proprietà dei logaritmi =s=lme

lb

Log

logb loge

+ = .e)

(

Logb Log

Loge =

-

b b)

Log nlogb

)":

lmx emlx

= ?2)

{ {

x

3w

x

30

X vxse

2-270 xz-ra

-

iB

Wa --

-

- - -

-

- ytz

x

=x7-2

x

2-x-2=0

I

1

I = t Soluzione

!"2 28

x

-s4Vx-ux log

{ 3,

x 0

{ 1

X

7,0 -

3-uX+1 ( VX3-UX+T)

V ( x-1)? 2

X

-a<o

Ls

*

x MESSA

0

=

3-4x41 EVISENZA

IN TOTALE

@ parziale

l

laxxb \

BPROSOMTI NOTENOU

)(Cxaxdxte)

ax

+b3o oruffinI

cxdxtes

0

{ s

3,

X X

x x 3-uxts

?2xts

x 20

3-X7-2x

xx --

70 2)

?

x 0

7

x

X

3-x-270 -LY V

.E.

*+- e

V X

x XL

7O 32

-S

O Z

L

-

- ö

- -

- -

-

-

O - - s 2

o s

-

- + t

- m

V

i c i o X

c -

72 o an

-

-

-

{ s

X

3, X

LxCO vx

I 72 22

VX

xLs 72 )

)

)

senti / (

/ 1-1×2

ln tu

-3 3×-1 > slogarsi

avere

- ÷ membro 1

e

?

{

{ #

È

-370

✗ 2° membro

a- no

1-1×2>0 pi 3

✗ >

)

1)

2- bella

lula

3)

lulx -1×2

>

-

-

"è?÷ )

ln enlstx

>

2

( 3)

✗

-3×-1>1-1×2

-

§È-È »

✗±6×+9j¥- o

-3×3+2×37=91×+10-0

3×3-2>+7+1%-10-0 =D

( i

3×3

N numeri

-2×2+9×-10>0 se

sommare

: ,

)

(

1)

€ RUFFINI

(

1) -

K =

. .

.

.

-

^s?I

3

( +9 so

-