MATEMATICA Finanza
PER la
le SERIE E SUCCESSIONI
LE specifica
mappa
gunuani
particolari
SUCCESSIONI : sono t
specifiche l'
solo insieme
✗
[ R )
di
N sottoinsieme
(
Def definita
funzione
l'
una successione una
numerica
: ,
reali
valori
ha
N e ovvero
su :
,
( )
an rien
R
n
an →
: aner
neri →
Esempio 1) 9 25
16 49
4
2 36
: . .
. MZ definita
Ah tramite
=
52
42 gz zz
32
22
12 LEGGE
.
.
.
19
2) 13
4 10 16
7
1 . . . successione
anti an definita
=
71-3
11-3 PER
41-3
1 . . . RICORRENZA
Le tramite
successioni modi
definite 2
possono essere :
) fln
(
1) TRAMITE funzione )
LEGGE an =
glan )
2) anti
RICORRENZA
PER =
DIFFERENZE TRA REALI VARIABILE
SUCCESSIONI FUNZIONI di
E
LE le
REALE
Le definite
successioni Nha
su
sono solo punto =/
un R
accumulazione
di co
a + t
. calcolare
ha il
senso
leman della successione
co
+
→
n
. ha studiare continuità
MI senso
non
derivata tè
-4 di an
e .
LIMITI successioni
delle
Un R
le
an
• = 3- /
/
TE lfnzno
EN
t =) E
l
an
nata <
no
a :
> -
FINITO
l E-
+ -
- - -
- -
- -
-
- •
.it///
e e
I
E-
e- - -
- -
r - -
- -
- - -
' |
•
• IÌ :
: :
: :
• n 3-
Un an KM fin
EN M
an
non
>
• o
+ 7-
co no
> :
=
co
+
→ 0
È
'
M i
° •
• |
:
no
o
Cum Qn
• ANALOGAMENTE
0
= - . . .
no + co
Un an
con
• = KM 3- noen / ltnzno
Ian
=) M
> o >
co
- + :
"
" " •
"
M •
•
: o a
M
- 11141 .
"
) fr )
ESEMPIO an
1
: -
- •
(1)
ho 2
=
= ②
^ @
(1)
di 2
-1 °
=
= •
. •
- •
. .
. .
.
I
i i
' o
(1)
al 1
= = a-
• •
- • - •
-
j
- .
a }
}
(
Q ) -1
n
} = =
☒ Un an
co
+
n -
{
2) ^ 1,2
0
n
- = ,
,
an -
- n 73
n , :
:
'
j
i
i
o n
-0 • @
- ,
' SUCCESSIONE CRESCENTE
MONOTONA
UNA
E lim an +
con
=
a
+
→ )
È [
POSITIVA
PUNTO
POSITIVA POI
NOI OVUNQUE certo DEFINITAMENTE
IN
da
ma un
,
Def PROPRIETÀ
successione DEFINITIVAMENTE
una
una SE
soddisfa certa
: ] N
€ #
'
proprietà soddisfatta
PER
TALE la
CUI e >
no n no
DI
FORMULA DE )
MOIVRE STIRLING la gerarchia
( serve ✗
-
TÈ
"
! è
"
n nota
per
n •
~ -
! n
1
dove 3-
2 n
n 27
'
= .
. .
. . ,
! !
0 1 1
= = )
DEGLI
Altri (
tutti esponenziali
! All' anche
VELOCEMENTE di GU
n infinito
va +
LIMITI PER
NOTEVOLI co
n +
→ "
Ci E)
"
à lem
Caso
nfnlna )
=/ e
+
• a
n • =
n
- , seneca
legati èè la
f) a)
• #
0 a
N >
+ ,
× ER
f-
( ✗
f)
• con
n
+
n ~
-
(f) NE
• sen (E) NE
tg
• COSCE ) In
• in
- - >
.
arc-t.gl?)n=n
• (G)
f PER
PER
ANALOGAMENTE co
→
n +
DI
ESEMPI Di
RILEVANTI SUCCESSIONI
.ME
FARMI
1) )
f.
da
deriva
(
ARMONICA
SUCCESSIONE una armonica
=L
an nza
, positiva
successione MONOTONA
, SUPERIORMENTE
LIMITATA
DECRESCENTE ,
INFERIORMENTE
da DA 0
n ,
•
7 - at
Un an =
n co
- +
2 •
-
2 •
I -
3 ; ;
;
o n
. .
.
2) SUCCESSIONI IN PROGRESSIONE aritmetica
d der
an
anti t con
= f QOER
con +
definito
viene fissato
" "
RAGIONE an nd PER
EQUIVALENTEMENTE lo + nzo
= d >o
dco @
•
•
: da
a
• 3 4
0 n
2
1
amàt d
; decrescente
0 MONOTONA
< →
, D=
do COSTANTE
co
n → + o →
, d monotona
o crescente
> →
, la
perdio
tranne successione
,
divergente
'
e
3) PROGRESSIONE
IN
SUCCESSIONI GEOMETRICA formulazione
QER (
ajcr Fissato
anti an q con
con
.
= )
+ ricorrenza
✗
RAGIONE (
formulazione
"
an Qo
EQUIVALENTEMENTE come
per nzo
q
.
= funzione )
" si
"
Di
an @ FACILMENTE
STUDIAMO an
Quello
q
caso DEDUCE
IL q
-
o
= =
,
"
an q >
con o
q
= q
{ 1
È c-
'
"
" " 9=-1
q "
>1 =
^ ;
nota -1<920
0 @
,
• è 0<927
° ,
9=7
• 1 9--1
• ,
029<7 >a
co
+ q
> ,
n
2 3 4
0 7
analeziamo seguenti casi
i : ]
[ " "
" " C-
Un ]
lem C- 9)
Un )
[
9 O
)
-1<920 fa
c- a) ^
: = = =
lo
nota
nota nota è compreso
)
(
tra an co
per n +
e -
+
@
vale
]
[ /
"
" "
Un "
" /
Un C- a)
c- a) C- c- 9)
a)
q a siccome
< →
n :
q =
=
- =
lo
nato
cs
n - + " /
I. ?
=/ Kq
a)
C-
qsn
- =
±
co I
e n
per +
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tende atcs " ) a
C- +
q =
=
SERIE
LE RENDITA
ESEMPIO posticipata
PERPETUA RATA COSTANTE
: , ,
t derivanti
versamenti costanti
investimento
da un
R R
R R
1
I I
1 1
2
0 3 n
7 . . .
. .
. tyf.gr/-(?-i
R ÷
Di
prezzo una
EQUO rendita +
: .pt
+ .
- .
. .
. .
}
÷ , (
Di
Tasso
interesse
-
Somma di ADDENDI
numero INFINITO
un DI
co
+ I "
④
c)
Ci +
= n
Def Qn SUCCESSIONE
ME
SUCCESSIONE NUMERICA DEFINIAMO
UNA
DATA N
con
: ,
Sri
( )
parziali COME
delle somme :
men
So QO
= Satan
Si Qatar
= =
Qatar Sn Qz
52 +02 +
= =
;
Sn Qn
Sn
Qatar Qn +
+ n
+ -
=
= . . .
(
Def ) numerica
SUCCESSIONE
DATA definisce
an
UNA serie
si
neri
. )
GENERALE
( CARATTERE
DI come
an
co
+
[ lem Sn
an = co
n → +
n o
=
la SER
A
INOLTRE SERIE SE
CONVERGE
: • :
leon SER
Sri IN CASO
TAL
= S È DETTA
+ co
n → SOMMA della
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°
( - ) ÷
(
Sn
lem
' )
la A
DIVERGE
SERIE
• co
+ co il
SE +
=
oppure co n co
→ +
+• ( )
San
caso
IN TAL : co
+
=
h 0
= Elem Sri
la ' IRREGOLARE
SERIE E
• se co
+
→
n
↳ SERIE SER
CONVERGENTE
della
CARATTERE A
•
: /
DIVERGENTE /
A
• + co co co
-
/
IRREGOLARE OSCILLANTE
•
co
+ "
[
ES C- )
n
. -0¥
n = °
(a)
Se 1
ao }
=
= = Per la
pari somma
n
'
C-
Sn )
Qatar uguale
^ parziale
+ '
O
n a uno
e
=
= = uguale
dispari '
per n e
?
( )
52 Si QZ 0 1
+
+ n zero
a
=
=
=
{ dispari
in
°
Sn = pari
in
7 @ •
•
a • @
7
È
☒ Sn
lem " IRREGOLARE
En )
=) =)
ne co
+ n o
-
- " 4
+ l'
cs { ) E ne
1
^
Ian ,
ES dove an =
. n n
= 0 75
n
,
'
Sn )
C- ^
n -
=
= 2=0
52=-1 (1)
+ >
)
53=0 E- n
+ n = -
"
( )
su n o
n
-
-
= - =
55 0
+
o o
= = I
1
o i i
-
→
[ =3 ( )
dispari En =3
^ en en en
n
- ,
Sn )
(
2 ripari
n =
= , 24
0 n
, co
+
&
=)
Sn
lem CONVERGE
an ZERO
A
0 =)
0
= = '
Quindi serie e
co
n la
+
- n = , zero
A
UGUALE
È
ES n
. formula
n 7
= ✓
nyj
,
S 1+2+3
" n
+ =
= . .
. È
È
È È
, } n«
lem
Sn
lem +
con
=
=
→ co co
n +
+ →
+ co
=) A
DIVERGE +
con
→
n
7
=
ES il
trovare carattere
per
. , nuovi strumenti
bisogno
abbiamo di
h n
=
ALGEBRA SERIE
DELLE operazioni tra serie
:
co
+ co + co
+
£ San Sbn
( )
bn
• an +
+ =
n n 0
n
o o =
= =
co
+ + co
I fan ER
an C C con
-
• c-
= ti
n O
o =
=
PURCHÉ QUANTO SENSO
ABBIA
SCRITTO
ESEMPI SERIE
RILEVANTI DI co
+
E f-
1) )
ARMONICA (
SERIE DIVERGE Atco
co
+
=
nei
[ carattere DIVERGENTE
: co
+
£ )
2) PROGRESSIONE (
IN ARITMETICA
SERIE nd Qoed
ao + con
In R
€
noi
Se d pari
lo la DIVERGENTE
'
a serie
sono zero
e e
,
TCO
[ lemsn
)
( nd
Qo + =
con
→ +
n
o
= £ £
£00 n )
(
{
(
Sn aol.nu )
ao Kd
)
Kd Kd
+
+ +
= = =
= « , K
K
= K=
a o
o =
=
£ Cinti )
n
( (
da ) d d
)
Qo nti
K +
ntn +
= .
= -2
K =D Qo D=
{ 0 o
=
>
|
⑤ d
Io {
=D > o
, , D=
lo
0 o
=
,
: :
: :
:
⑦
Sn
lem d
+0
D= oppure
lo o
>
o > o
= =
, ,
,
→ ÷ . .
⑤ D= da < o
o , dco
, oppure
co
- , d QOCO
e
-0
⑨ Qo dco
-1-0 ,
3) GEOMETRICA
PROGRESSIONE
SERIE IN
È " )
( Qo qentr
q
- con
E In
A = o È " )
↳
sedia 9 o
o ° =
'
= neo È
[ "
)
se qn
-1-0
ao ( 9
ao
ao = .
. h 0
=
n =D
È n "
979792
" E " "
sn
consideriamo 9 1+9
q +9
+
q : +
=
= = .
. . _
. .
K
n o
=
o
=
{ " 9=1
+ ' ,
Sn = #
19 i ]÷"
" ^
>
VERIFI 1+9+9 +9 91=-1
CHIAMO +
: =
. ,
. . ^
(1-9) )
"
( g) ( >
PER
MOLTIPLICANDO -19
ntqxq +
n
: - =
.
. .
.
.iq/-/q-q/--Y-...-q/-qr+-'=n-q
1+9/+924 " "
. .
"" qnt -7
q
=) a-
1 =
-
sn-K-IE.am
9=1
ntn ,
=/ ° 9<-1
"
lem -9 ☒ 9 ri
= -
ato
n - -119<1
o 9=1
a >
• ^
9 DIVERGE
»
sn
lem DIVERGE
92-1
n co
- + ☒ IRREGOLARE
9=-1
÷ CONVERGE
-1<921
, Diverte
9 > 1
A
+
co
+ )
(
{ 191<1
" -129<1
quando
CONVERGE
q
=D
n È "
ES . ÈE
di
reo ÷
?
)
: ;
n =D = !
=
^
j ;
È 7
:(
" '
"
=L E) (E)
;-)
(E) (E)
+ + =
. . .
n =D f-
f.
{
1-
+ + +
+
= .
. .
io
+
4) I
SERIE TELESCOPICA )
conlbn
( )
bntn
bn
: neri
- SUCCESSIONE
O
n =
bntn
bn
an -
= n
ri ✗
tb.bg/+...tbn/-bin--n-K--0
¥
=L
[ ) ba
(
Sri bktn
bri
a. K :
+ -
- -
=
= K
' :O ba bnxn
-
= -
ER
( bntn
)
lrm ba
Sn ba lem
lim bntn
=) -
=
= -
n +0 nato
-
n co
+
- bntn
& In BER
CONVERGE SE
SE SOLTANTO
E =
+0
n
f - FINITO
ba B
A -
5) DI MENGOLI
SEME
TELESCOPICA
particolare SERIE
caso della :
co
+ to •
+
si ) n + n
n
& -
. NÈ
#
= )
=
" '
= bn ↳ n 1
" =
+,
n )
2
Sn ( bktn
ba fi
bi I
bntn ^ 2
- =
=
= - Io
-
= - ,
K = n
+ co
In ^
n 7
= DI SERIE
NECESSARIA CONVERGENZA
CONDIZIONE UNA
DI
[ Im an
TEOREMA QN
serie
se una Allora
CONVERGE
: O
=
n co
+
→
n o
= cs
+
! ! ⑦
E ^
VICEVERSA
VALE an
NON IL g-
es o
co
: -
+
= =
. Ti nota
n n
= Ian
leman
osservazione di CONVERGE
NON
se sicuro
=/ O
: si
leman priori nulla
può Dire
se non
=) A
o
=
DIMOSTRA TEOREMA
DEL
LIONE :
+co
& ( È
è CONVERGENTE somme
IPOTESI PARUAU
Delle
IL FINITO
LIM
an
: = )
Sn
In SER
n :O =
co
n +
→
dem an
TESI 0
: =
- co
+
n Sn Sn
Qn Sn
ricorda Sn al
an am
pertanto passiamo
Dim + n
: n = -
- -
= ,
dem
Sn
lem
lem Sn
leman Sn Sn S S O
-
n -
- = =
= - n =
- £
co
+ €
n →
n co
co
no co n
+ → +
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+ R R
- _
fare
si può solo se non la
siccome
forme di
risultano è
serie
indecisione CONVERGENTE
La di teorema
questo '
conseguenza e :
co
+
HO 2
an CONVERGE
NON
se am
• =) quindi
n è
co
+ diverge
- ( o
n o
= irregolare ) )
fan dire
si priori
(
può può
o
• se convergere a
an o meno non
-
net co
co
+
§ è 3h2
ES +
. an
→
È
nei ,
Vediamo è
an di costante
segno
se
* converge meno e
o se
" 3h2 "
e
l + lem
leman
an co
+
=
= =
→ Tu
÷+mgy_ n co •
+ +
n
→ -
tende la
quindi
an serie
zero converge
per canori a
n non
+
→ ,
Vedremo la
che diverge
serie + co
a
co
+
es.se:7
?
-an =oan=I
?
+-
?
rt-n~,- o ?
- La può convergere
serie
o o meno
÷ !
possiamo concludere nulla
non
SERIE A COSTANTE
TERMINI SEGNO
DI
( definitivamente )
costante
o
Le cui
che generale di
termine
hanno costante quelle
sono
serie a segno
si di
dire più
può POSITIVO
SEGNO
+a # definitivamente
0
an Z
con
fan o
: n
,
o
n = qppure SEGNO NEGATIVO
fino definitivamente
Qn 0
E ,
ci Di
sulle positivo
serie SEGNO
concentriamo termini o
A Di
DEFINITIVAMENTE POSITIVO serie
SICCOME A
serie termini
le
)
( alle prime
ricondotte
essere
DEFINITIVAMENTE POSSONO
NEGATIVO
INFATTI :
co
+ co
+
Ian Ian C- )
an
-
= f
n Of A- 0
= allora
so 70
se DI Positivo
SEGNO
TERMINI
SEME A :
&
REGOLARITÀ TERMINI DI
TEOREMA SEGNO
A positivo
di delle co
+
¥ fan
"<
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