Matematica per la Finanza

1. LE SERIE

Una serie è una somma di un numero infinito di addendi e si indica con il simbolo di sommatoria. Le principali

tipologie di serie sono:

- Serie geometrica, costituita da potenze.

- Serie armonica, costituita dai reciproci dei numeri interi.

(−1)

- Serie a termini di segno alterno, caratterizzata da . =

Per successione, invece s’intende la somma parziale n-esima, cioè la somma dei primi n+1 termini della serie:

=0

∑ a a =

. È chiaro che la successione sarà data dalla successione precedente più il termine valutato in

−1

.

CARATTERE DELLA SERIE

Una serie è convergente se la successione delle somme parziali converge a un limite finito S (la quantità S prende

il nome di somma della serie), cioè se:

lim = ∈

→+∞ ±∞,

Una serie è divergente se la sua successione delle somme parziali diverge a cioè se:

lim = +∞ lim = +∞

→+∞ →+∞

Una serie è irregolare se la sua successione delle somme parziali non ammette limite, cioè se:

lim

→+∞ 1

∑

La serie geometrica è quindi un serie convergente, in quanto la sua somma tenderà ad un numero finito; la serie

2

armonica, invece, è una serie divergente, mentre la serie a termini di segno alterno è una serie irregolare. Le serie

convergenti oppure divergenti vengono anche chiamate serie regolari.

Una serie è quindi convergente se lo è la sua successione delle somme parziali. Più dettagliatamente, si dice che la

lim = > 0

successione converge al limite S, cioè si ha che se per ogni esiste N tale che per ogni n > N si

→+∞

| |

− < .

ha che In parole, diciamo che una successione converge al limite S se è definitivamente contenuta

in ogni intorno piccolo a piacere di S.

LA SERIE GEOMETRICA

2

∑

= = 1 + + + ⋯ + ℎ:

=0 2 2 2 +1 +1

(1 )(1 )

− + + + ⋯ + = 1 − + − + − ⋯ − = 1 − ℎ:

+1

1 −

≠ 1 =

1−

→ +∞

Inoltre, quando si presentano diversi casi: +1

|| < 1 → 0,

1. Se (q è compreso tra 1 e -1 esclusi) si ha che quindi rimane:

1 1

lim = cioè la serie converge e ha somma

1− 1−

→+∞ +1

> 1 → +∞,

2. Se si ha che quindi:

lim = +∞ cioè la serie geometrica diverge a + ∞

→+∞ +1

≤ 1

3. Se si ha che non ammette limite, quindi la serie geometrica è irregolare.

= 1 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ = +∞, +∞.

4. Se si avrà quindi la serie geometrica diverge a 1

|| < 1

Il teorema afferma che la serie geometria è convergente solo se e in questo caso ha somma 1−

LA SERIE ARMONICA

+∞ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

∑ = 1 + + + + + + + + ⋯ > 1 + + + + + + + + ⋯ = 1 + + + + ⋯ = +∞

2 3 4 5 6 7 8 2 4 4 8 8 8 8 2 2 2

=0

La serie armonica quindi è più grande di una serie divergente e perciò dev’essere divergente.

CONDIZIONI NECESSARIE E SUFFICIENTI PER LA CONVERGENZA

Una condizione necessaria deve essere sempre verificata quando una serie converge; se una condizione necessaria

non è verificata, allora che la serie non converge. D'altro canto, una condizione sufficiente implica la convergenza di

una serie; tuttavia una serie può convergere senza che la condizione sufficiente sia verificata.

Teorema +∞

∑ a → +∞

Se la serie è convergente, allora il limite per è uguale a 0.

=0

Dimostrazione

Per definizione una serie è convergente se la successione delle somme parziali è convergente, cioè se:

lim = ∈

→+∞ ( )

= + a a = − lim a = lim − = lim −

Osserviamo che cioè da cui

−1 −1 −1

→+∞ →+∞ →+∞

lim = − = 0. Entrambi i limiti sono uguali ad S perché la successione è la stessa.

−1

→+∞ a

La condizione necessaria afferma quindi che se una serie converge, allora il suo termine generale deve tendere a

0. Si tratta di una condizione necessaria ma non sufficiente; infatti, la serie armonica 1/n ha un termine generale che

tende a 0 ma non è convergente.

LE SERIE A TERMINI NON NEGATIVI sono serie regolari perché il termine generale è sempre non negativo.



Teorema +∞

∑

a ≥ 0 a +∞.

Se allora la serie è convergente, oppure è divergente a

=0

Dimostrazione

a ≥ 0, = + a ≥

Se la successione delle somme parziali è monotona non decrescente, perché

+1 +1

+∞.

Una successione monotona non decrescente o ammette limite finito o diverge a

CRITERIO DEL CONFRONTO

Teorema +∞ +∞ +∞

∑ ∑ ∑

0 ≤ a ≤ a a

Sia . Se la serie è convergente, allora anche la serie converge; se la serie è

=0 =0 =0

+∞

∑

divergente, allora anche la serie è divergente.

=0

Dimostrazione =0 =0 +∞

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

a ≤ a ≤ a ≤ ≤

Dato che si ha che ; se la serie converge a S, vale che ;

=0 =0 =0

a

pertanto la successione delle somme parziali di è limitata e, dal teorema di regolarità delle serie a termini non

=0

∑ a +∞,

negativi, segue che deve essere convergente. Invece, se la successione diverge a lo stesso deve fare

=0

∑

anche .

Tuttavia, modificando i primi termini di una serie il suo carattere (cioè il fatto di essere convergente o divergente)

non cambia. Più in generale, modificando arbitrariamente i primi N termini di una serie il suo carattere non cambia.

Teorema +∞

∑

> 0 > 0 ≤ a ≤

Supponiamo che esista tale che per ogni si ha che . Allora se la serie converge,

=0

+∞ +∞ +∞

∑ ∑ ∑

a a

anche converge; mentre se la serie diverge, anche divergerà. Se una serie è

=0 =0 =0

> )

definitivamente (per ogni maggiorata da una serie convergente allora è convergente; se una serie è

definitivamente minorata da una serie divergente allora è divergente.

LA SERIE DI MENGOLI

+∞ +∞

1 1 1 1 1 1 1 1 1

∑ ∑(

= − ) = 1− + − + − + −⋯ = 1

( + 1) +1 2 2 3 3 4 4

=1 =1

La serie di Mengoli è convergente e ha somma pari ad 1. Somme di questo tipo, in cui i termini successivi si

cancellano, vengono chiamate somme telescopiche.

LA SERIE DI EULERO è data dai reciproci dei quadrati dei numeri interi



+∞ 1

∑ → utilizzando il teorema del confronto di può mostrare che la serie di Eulero è convergente.

2

=1

+∞ +∞ +∞ +∞ +∞ +∞

1 1 1 1 1 1

∑ =∑ 1=∑ =∑ =∑ >∑

2 2

( + 1) ( − 1) ( + 1) ( − 1) −

=1 =2 =1 =2 =2 =2

LA SERIE ARMONICA GENERALIZZATA

+∞ 1

∑ > 0

=1 0 < ≤ 1

- Se la serie diverge per confronto con la serie armonica.

= 2

- Se la serie converge per confronto con la serie di Mengoli.

> 2 = 2.

- Se la serie converge per confronto con il caso

1 < < 2

- Se la serie converge.

CRITERIO DEL RAPPORTO

+∞ a +1

∑ a a > 0 lim =

a

→+∞

=0 +

< 1 > 1 = 1 +∞.

Se allora la serie converge; se oppure se , allora la serie diverge a Se invece il limite non

esiste o è uguale a 1 ma non per eccesso, allora il criterio del rapporto non può essere applicato.

CRITERIO DELLA RADICE

+∞

∑ a a > 0 e sia lim √a =

→+∞

=0 +

< 1 > 1 = 1 +∞.

Se allora la serie converge; se oppure se , allora la serie diverge a Se invece il limite non

esiste o è uguale a 1 ma non per eccesso, allora il criterio della radice non può essere applicato.

CRITERIO DEL CONFRONTO ASINTOTICO a

Una serie converge se il suo termine generale converge a 0 in modo sufficientemente rapido. Si dice che le

n a

a → +∞ lim = 1.

successioni e sono asintotiche per se Inoltre, due serie a termini non negativi i cui

→+∞

termini generali siano asintotici hanno lo stesso carattere:

Teorema +∞ +∞

∑ ∑

a , ≥ 0 a ~ a

Siano con . Allora le serie e hanno lo stesso carattere.

=0 =0

Dimostrazione a 1 a

a ~ lim = 1. ≤ ≤ 2, ≤ 2a a ≤

Sia ; per definizione quindi Ne segue che definitivamente ovvero e

2

→+∞

2 ; la tesi segue dal teorema del confronto.

SERIE A TERMINI DI SEGNO ALTERNATO

+∞

∑(−1) ∙ a a ≥ 0

=0

Per le serie a termini di segno alternato esiste una condizione sufficiente per la convergenza, il criterio di Liebniz. Sia

+∞

∑ (−1) ∙ a a

una serie a termini di segno alternato. Se la successione :

=0 a a

- È monotona decrescente (si valuta se è maggiore di ).

+1

→ +∞).

- Converge a 0 (si calcola il limite per

Allora la serie è convergente.

CONVERGENZA ASSOLUTA

+∞ +∞

∑ ∑ |a |

a

Si dice che una serie è assolutamente convergente se la serie dei valori assoluti è convergente.

=0 =0

La convergenza assoluta è una condizione sufficiente per la convergenza semplice.

2. GLI INTEGRALI [a, { } [a,

] , , … , ] = a =

Una partizione dell’intervallo è un insieme finito di punti contenuti in con e

0 1 0

[a, [ ]

] , = 1, … , ,

. Una partizione divide l’intervallo in n sottointervalli per ciascuno di lunghezza

−1

∆ = − .

−1

(, ) ∑

La quantità = ∆ prende il nome di somma superiore di f relativa a P

=1

(, ) ∑

La quantità = ∆ prende il nome di somma inferiore di f relativa a P

=1

{()| }

= < <

Inoltre, rappresenta l’estremo superiore dei valori che può assumere la funzione f

−1

[ ]

,

sull’intervallo . Se la funzione è continua, l’estremo superiore coincide con il massimo assoluto della

−1

funzione (se l’intervallo è aperto, si avrà estremo ma non massimo/minimo).

{()| }

= < <

Invece, rappresenta l’estremo inferiore dei valori di f, che nel caso di una funzione

−1

continua coincide con il minimo assoluto.

≤

Poiché per ogni si ha che ne segue che per qualsiasi partizione le somme inferiori sono più piccole delle

somme superiori. Infatti:

(, ) (, )

∑ ∑

= ∆ ≤ ∆ =

=1 =1

Una partizione si dice più fine di una partizione se contiene almeno un punto in più di . Infittire una

2 1 2 1

partizione vuol dire aggiungere dei punti che corrispondentemente aumentano il numero dei sottointervalli in cui è

[a, ].

diviso l’intervallo Infittendo una partizione, le somme inferiori crescono mentre le somme superiori

decrescono. Infatti, se è più fine di si ha:

2 1

( ) ( ) ( ) ( )

, ≤ , , ≤ ,

e

1 2 2 1

L’INTEGRALE DI RIEMANN

(, ) (, )

=

Se vale si dice che la funzione f è integrabile secondo Riemann. L’integrale p quindi il

limite comune delle somme superiori e delle somme inferiori al progressivo infittirsi della partizione.

() (, ) (, )

∫ = =

Non tutte le funzioni sono integrabili. Ad esempio, la funzione di Dirichlet non lo è perché in qualsiasi partizione si ha

(, ) (, )

= 0 = 1.

che e che

CONDIZIONI SUFFICIENTI PER L’INTEGRABILITÀ

[a,

: ] →

Sia e limitata. Allora:

a) Se f è continua, allora è integrabile.

b) Se f è monotona, allora è integrabile.

c) Se f ha un numero finito di punti di discontinuità, allora è integrabile.

{()| } {()| }

= < < = < <

Inoltre, se f è negativa allora le quantità e sono

−1 −1

()

negative, e così pure le somme superiori e inferiori. In questo caso, l’integrale è negativo e rappresenta

∫

l’area tra l’asse delle x ed il grafico di f cambiata di segno. (−)

= −()

Invece, l’integrale di una funzione dispari, che cioè soddisfa su un intervallo simmetrico rispetto

(−) = (),

all’origine, è pari a zero. Si ha invece una funzione pari quando cioè la funzione è simmetrica rispetto

all’asse y.

PROPRIETÀ DEGLI INTEGRALI: LINEARITÀ

, ∈ . +

Siano f e g integrabili, e siano Allora anche è integrabile e:

()] () ()

[()

∫ ∫ ∫

+ = +

() ()

+

La quantità si chiama combinazione lineare delle funzioni f e g. Invece, e prendono il nome di

scalari. L’integrale di una combinazione lineare è la combinazione lineare degli integrali.

PROPRIETÀ DEGLI INTEGRALI: TEOREMA DEL CONFRONTO

Se una funzione è più grande di un’altra, anche il suo integrale è più grande. Si dice che l’integrale conserva

l’ordinamento.

Teorema ()

≥ 0; ≥ 0.

a) Sia f integrabile con allora ∫

a

() () () ()

[a,

≥ ∀ ∈ ]. ≥

b) Siano f e g integrabili, con , per Allora ∫ ∫

a a

Dimostrazione

Il punto a) segue dalla definizione di integrale di Riemann. Se una funzione è positiva, le quantità e che

compaiono nella definizione delle somme superiori e inferiori sono positive, e di conseguenza anche l’integrale è

positivo. ()

() ≥ () − () ≥ 0,

Il punto b) segue da a) poiché se allora quindi da a):

()] () () () ()

[() − ≥ 0 → − ≥ 0 → ≥

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

a a a a a

PROPRIETÀ DEGLI INTEGRALI: ADDITIVITÀ RISPETTO ALL’INTERVALLO DI INTEGRAZIONE

[a,

: ] → ∈

L’integrale complessivo è la somma degli integrali sui singoli sottointervalli. Sia e integrabile, e sia

(a, ). Allora:

() () ()

∫ ∫ ∫

= +

a a

a < < a .

Ciò significa che per l’area sottesa tra a e b è pari alla somma delle aree sottese tra e e tra e Se

() () ()

a < < = +

invece fosse, ad esempio, , nell’espressione ci sarebbe la quantità

∫ ∫ ∫

a a

()

> .

che non è ben definita, in quanto Se però si pone per definizione: