Matematica per la Finanza

INTEGRALI DI FUNZIONI ILLIMITATE

: (a, ] → a a).

Sia una funzione integrabile, illimitata in un intorno di (c’è un asintoto verticale in presenza di Se:

()

∫

lim = ∈ allora si dice che ha integrale improprio pari a .

+

→a ()

∫

Se invece lim = ±∞ allora si dice che ha integrale improprio pari a ± ∞.

+

→a

INTEGRALI DI FUNZIONI ILLIMITATE – CRITERIO DEL CONFRONTO

, ∶ (a, ] →

Siano e integrabili:

|()| ()

≤ ∀ ∈ (a, ]

- Se e l’integrale improprio di converge, allora anche l’integrale improprio di

converge e si ha:

() |()| ()

∫ ∫ ∫

≤ ≤

a a a

() ()

≤ ∀ ∈ (a, ] +∞

- Se e l’integrale improprio di diverge a , allora anche l’integrale improprio di

+∞.

diverge a

INTEGRALI DI FUNZIONI ILLIMITATE – CRITERIO DEL CONFRONTO ASINTOTICO

1 +

()~

: (a, ] → → a

Sia una funzione integrabile e sia per :

(−a)

≥ 1

- Se allora l’integrale diverge.

< 1

- Se allora l’integrale converge. [, +∞).

IMPORTANTE: le condizioni sono invertite rispetto al caso degli integrali impropri su intervallo illimitato

3. ALGEBRA LINEARE ∈

Un vettore x è una n-upla ordinata di numeri reali. La quantità prende il nome di componente i-esima del

vettore x, mentre il numero intero prende il nome di dimensione del vettore. I vettori possono essere di due tipi:

vettori riga e vettori colonna. L’operazione che trasforma un vettore colonna in un vettore riga, e viceversa, prende il

nome di trasposizione e si indica con l’apice T (vale la proprietà di idempotenza, cioè il trasposto del trasposto

( ) =

coincide con il vettore iniziale ).

SOMMA TRA VETTORI

, ∈ + .

Siano . Il vettore somma ha per componenti le somme delle componenti di e di Possono essere

sommati tra di loro soltanto vettori che abbiano la stessa dimensione e che siano dello stesso tipo. Anche la

differenza tra vettori si calcola componente per componente. + .

In sintesi, la somma tra due vettori associa a una coppia di vettori e un terzo vettore Formalmente si

→ ∶ × →

scrive

Le proprietà della somma tra vettori sono:

+ = + ∀, ∈

- Proprietà commutativa:

( ) ( )

+ + = + + ∀, ∈

- Proprietà associativa:

+ = + = ∀ ∈

- Esistenza dell’elemento neutro: (−)

∈ − ∈ + =

- Esistenza dell’opposto: per ogni esiste un vettore tale che

PRODOTTO TRA UNO SCALARE ED UN VETTORE ∈

Il prodotto tra uno scalare ed un vettore, invece, associa a uno scalare e ad un vettore il vettore , quindi:

∶ × → . .

Per calcolare questo prodotto, si moltiplica ciascun componente del vettore per lo scalare ()

= 0

- Se si ottiene un vettore i cui componenti sono tutti nulli e si chiama vettore nullo .

= −1

- Se si ottiene un vettore i cui componenti sono l’opposto di quelli iniziali si chiama vettore opposto

(−)

.

Le proprietà del prodotto tra uno scalare ed un vettore sono:

() ()

= ∀, ∈ ∀ ∈

- Proprietà associativa:

1 = ∀ ∈

- Esistenza dell’elemento neutro:

( )

+ = + ∀ ∈ ∀, ∈

- Proprietà distributiva (1):

( )

+ = + ∀, ∈ ∀ ∈

- Proprietà distributiva (2):

, ∈ , ∈ +

Siano e . Il vettore prende il nome di combinazione lineare dei vettori e con

.

coefficienti pari a e

SPAZIO VETTORIALE

Uno spazio vettoriale è un insieme V sopra il quale siano definite due operazioni: l'operazione di somma, che a una

( )

× →

coppia di elementi di V associa un altro elemento di V e l’operazione di prodotto per uno scalare, che

( )

× →

ad uno scalare e ad un elemento di V associa un elemento di V .

Gli elementi di V continuano a chiamarsi vettori. Il concetto di spazio vettoriale è una generalizzazione di .

In uno spazio vettoriale le operazioni di somma di vettori e di prodotto di uno scalare per un vettore devono

soddisfare tutte le proprietà elencate nel caso di :

+ = + ∀, ∈

- Proprietà commutativa:

( ) ( )

+ + = + + ∀, ∈

- Proprietà associativa: + = + = ∀ ∈

- Esistenza dell’elemento neutro: (−)

∈ − ∈ + =

- Esistenza dell’opposto: per ogni esiste un vettore tale che

() ()

= ∀, ∈ ∀ ∈

- Proprietà associativa: 1 = ∀ ∈

- Esistenza dell’elemento neutro:

( )

+ = + ∀ ∈ ∀, ∈

- Proprietà distributiva (1): ( )

+ = + ∀, ∈ ∀ ∈

- Proprietà distributiva (2):

Esempi di spazi vettoriali sono: [, ]

a. L’insieme V delle funzioni continue definite sull’intervallo chiuso e limitato .

[, ]

b. L’insieme W delle funzioni derivabili definite sull’intervallo chiuso e limitato .

3

c. L’insieme dei vettori di con la terza componente pari a 0.

Quando uno spazio vettoriale è contenuto in un altro, si dice che il primo è sottospazio del secondo; formalmente:

, ∈ , ∈ + ∈ ,

sia V uno spazio vettoriale e sia W V. Se per ogni e per ogni si ha che allora W è

C

un sottospazio.

MATRICI × × 1

Una matrice A è una tabella rettangolare di numeri reali con righe e colonne. Una matrice è un

1 × ×

vettore colonna con componenti; una matrice è un vettore riga con componenti. Le matrici

×

formano uno spazio vettoriale che si indica con .

= . = 1, … ,

Se la matrice si dice quadrata di ordine Gli elementi per prendono il nome di diagonale

principale della matrice A e la loro somma si chiama traccia della matrice. La matrice trasposta ha come colonne

( ) = .

le righe di A e come righe le colonne di A. Anche nel caso delle matrici si ha che

×

−

Altri due tipi di matrici sono la matrice nulla che ha tutte le componenti pari a 0 e la matrice opposta che

è appunto la matrice degli opposti.

SOMMA TRA MATRICI

La somma tra matrici è definita componente per componente. È possibile soltanto tra matrici che abbiano la stessa

dimensione. Inoltre, la somma tra matrici gode delle proprietà associativa e commutativa.

PRODOTTO DI UNO SCALARE PER UNA MATRICE

Quando si è in presenza di un prodotto di uno scalare per una matrice si moltiplica ciascun componente della

+

matrice per lo scalare. In aggiunta, la matrice prende il nome di combinazione lineare delle matrici e

.

con coefficienti pari a e

PRODOTTO TRA MATRICI

Il prodotto tra matrici è definito soltanto quando il numero di colonne della prima matrice è pari al numero di righe

× × ×

× →

della seconda matrice, ovvero: .

× ×

∈ ∈ =

Sia e ; la matrice prodotto è data da:

∑

=

ℎ ℎ

ℎ=1

Quando le matrici sono quadrate, il prodotto è possibile soltanto se hanno lo stesso ordine. Inoltre, è sempre

2 2

= = × × … × .

possibile fare il prodotto di una matrice A con sé stessa: e quindi Nel caso in cui la

matrice A sia quadrata, esiste un elemento neutro per il prodotto, che è dato dalla matrice identica I, che ha tutti 1

= = .

sulla diagonale principale e 0 al di fuori di essa. Quindi si ha:

Il prodotto tra matrici gode delle seguenti proprietà:

() ()

=

- Proprietà associativa: ( )

+ = +

- Proprietà distributiva: = =

- Proprietà della matrice nulla:

Il prodotto tra matrici non gode della proprietà commutativa. Innanzitutto può capitare che A e B siano

conformabili, ma non lo siano B e A; se anche i prodotti si possono fare, i risultati possono essere diversi.

PRODOTTO TRA MATRICI – CASI PARTICOLARI (1)

1× ×1

∈ ∈

Se e , cioè se è un vettore riga di componenti e è un vettore colonna di componenti,

il prodotto è semplicemente dato da:

11

21

[ ] [ ]

= … = + + ⋯ +

11 12 1 11 11 12 21 1 1

…

1

, ,

Ovvero si ottiene moltiplic