Matematica per l'economia

08/10/21

Massimi e Minimi

• Estremo superiore e inferiore
• Insiemi limitati superiori/inferiori
• Teorema di completezza dei numeri reali

Digressione intervalli

Intervalli limitati

[a,b] = {x ∈ ℝ: a ≤ x ≤ b}

(a,b) = {x ∈ ℝ: a < x < b}

[a,b) = {x ∈ ℝ: a ≤ x < b}

Intervalli illimitati

(a,+∞) = {x ∈ ℝ: x > a}

(-∞,a) = {x ∈ ℝ: x < a}

ℝ = (-∞,+∞) simboli

ℝ₊ = (0,+∞) = {x ∈ ℝ: x ≥ 0}

ℝ₊ = (0,+∞) = {x ∈ ℝ: x > 0}

Massimi e Minimi

di sottoinsiemi A ⊆ ℝ

A = (2,3) = {x ∈ ℝ: 2 < x < 3}

Domanda: qual è il più piccolo/grande elemento di A?

min di A: se esiste: A ≠ ∅

max di A: se esiste: A ≠ ∅

Definizione: x₀ ∈ ℝ detto massimo di A se: x₀ >= x ∀ x ∈ A

Definizione: x₀ ∈ ℝ detto minimo di x >= x₀ ∀ x ∈ A

Proposizione: l'estremo non minimo/di sommi minori

es: B = (2,3] = {x ∈ ℝ: 2 < x ≤ 3}

massimi di B: 3 ∈ B non è il nex di o