Esercitazioni Matematica per l'economia

Prova scritta di Matematica per l'Economia e Matematica Gen.le

(E.A. - M.C.A(gruppo L-Z)) - 01 Luglio 2015

NUMERI PARI

1. Data la funzione \( f(x) = e^{x \arccos \left(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\right)} \)
   • a) determinare il dominio \(\mathbb{I}\) di \( f \);
   • b) calcolare l'integrale indefinito di \( f \) in \(\mathbb{I}\), giustificandone l'esistenza;
   • c) calcolare anche l'integrale definito della restrizione di \( f \) a \([-1,0]\) giustificando che il valore ottenuto coincide con l'area del rettangoloide relativo a questa restrizione.
2. Calcolare il seguente limite: \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{1+x^2} - x + \cos x}{\sqrt{-2x+x^2+2x+3-x}} \]
3. Studiare la seguente funzione: \( f(x) = \frac{-x}{\sqrt{x^2+4}} \) e tracciare approssimativamente il grafico.
   • Determinare, inoltre, l'equazione della retta tangente al grafico in \((\sqrt{5},-\sqrt{5})\).
4. Data la funzione \( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definita ponendo
   • \[ g(x) = \begin{cases} 2 & \text{se } x = 2 \\ \frac{x}{2-x} & \text{se } x \neq 2 \end{cases} \]
   • a) studiare le eventuali discontinuità di \( g(x) \) classificandole, ed inoltre enunciare il 2° teorema di Bolzano verificando che la restrizione di g][2,+oo[ soddisfa le ipotesi di questo teorema;
   • b) considerata la funzione integrale della restrizione di \( g \) a][2,+oo[ di punto iniziale 3, denotata con \( G_3 \), verificare utilizzando un noto teorema che essa è una primitiva di tale restrizione, ed inoltre studiare la monotonia e la convessità (concavità) di \( G_3 \);
   • c) dimostrare che la restrizione di g a [-1,1] soddisfa il teorema del punto fisso.
5. Data h: [-1,1] \(\to\) \(\mathbb{R}\) definita ponendo per ogni \( a, b, c \in \mathbb{R} \)
   • \[ h(x) = \begin{cases} \arcsen(x^2 - 1), & -1 \le x \le 0 \\ ax^2 + bx + c , & 0 < x \le 1 \end{cases} \]
   • a) determinare per quali valori dei parametri a, b, c \( \in \mathbb{R} \) h verifica le ipotesi del teorema di Rolle in [-1,1] calcolando il valore del punto c \( \in \)]-1,1\[ verificante la tesi;
   • b) per il valore dei parametri a, b, c \( \in \mathbb{R} \) determinati al punto a., studiare la monotonia di h(x) e gli eventuali punti di estremo locale di h(x).
6. Data la funzione \( f(x,y) = y^2 - x^3 + xy \) determinare il dominio di \( f(x,y) \),calcolare le derivate parziali prime e seconde giustificandone l'eventuale differenziabilità di f.
   • Determinare infine gli eventuali punti di estremo locale.
7. Enunciare le definizioni di limite di una funzione reale di variabile reale e dimostrare il teorema della permanenza del segno.

1^a) Studiare la seguente funzione:

x√f(x)=^-x/_√x²-1

Insieme di definizione:

D_f=]-∞;-1[∪]1;+∞[

f(x)>0 √x>√2

f(x)=0 ()

f(x)