PARABOLA

Ultima figura conica è la parabola cioè il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto fisso, detto fuoco (f), e da una retta, detta direttrice (d). In questo caso possiamo avere due tipi di equazione.

Se si ha: l'asse di simmetria è verticale, quindi è parallela all'asse y.

a x^2 + bx + c = 0

Se si ha: l'asse di simmetria è orizzontale, quindi è parallela all'asse x.

by + c = 0

Nel primo caso le coordinate dei vertici vengono calcolate come:

(-b / 2a, -Δ / 4a)

Nel secondo caso le coordinate dei vertici vengono calcolate come:

(-Δ / 4a, -b / 2a)

Quando il vertice è nell'origine e l'asse di simmetria è verticale, quindi è parallela all'asse y, l'equazione diventa:

y = ax^2 - b / (1 - Δ / 4a)

Le coordinate dei fuochi sono date da:

(-1 + Δ / 4a, -a)

Mentre l'equazione della parabola è:

y = ax^2 + bx + c

Direttrice si calcola come:

Possiamo definire:

• Vertice: il punto di intersezione tra l'asse di simmetria e la parabola.
• Asse di simmetria: la retta che divide la parabola in due parti uguali.
• Direttrice: punto che realizza la medesima distanza rispetto al fuoco per ogni punto della parabola.
• Fuoco: il punto che realizza la medesima distanza rispetto alla direttrice per ciascun punto della parabola.

Funzioni numeriche di una variabile reale:

Dati due insiemi A e B, si dice applicazione o funzione da A a B una relazione tra questi insiemi che per ogni x appartenente ad A fa coincidere uno e un solo valore di y appartenente a B (per ogni x ∈ A, y = f(x)).

Affinché f sia funzione tra A e B, è necessario indicare che f è applicazione da A a B: f : A → B (y = f(x)).

La funzione viene indicata come:

Dove y è la variabile dipendente ed esprime l'immagine di x in f, mentre x è quella indipendente e esprime la contro immagine o immagine inversa di.

y.L'insieme A è detto dominio della funzione o campo di esistenza o insieme di definizione.

L'insieme B è detto codominio della funzione o insieme di variabilità.

Se i due insiemi sono uguali, A = B, allora possiamo parlare di applicazione di A in sé stesso.

Il dominio di una funzione (D) è l'insieme di tutti valori reali che si possono attribuire alla variabile indipendente x affinché esista il corrispondente valore reale y.

Mentre il codominio è l'insieme di tutti i valori reali assunti dalla variabile dipendente y.

Se gli insiemi A e B sono insiemi di numeri reali, i cui elementi sono definiti variabili, possiamo parlare di funzioni numeriche.

In genere, quando parliamo di funzioni numeriche facciamo riferimento alle funzioni matematiche, cioè quelle funzioni che rappresentano le varie operazioni matematiche.

Una funzione si dice costante se e quando gli elementi del dominio hanno la medesima immagine.

Due

funzioni si dicono uguali quando hanno lo stesso dominio. E ancora “y” si dice che è una funzione reale della variabile indipendente x se esiste una legge di∀ ∈( x D)funzione che per ogni x appartenente al dominio faccia corrispondere uno e un solo valore di y. 15Il grafico o diagramma della funzione è l’insieme di tutti e soli i punti del piano cartesiano avente per ascissa i valori della variabile indipendente x appartenente al dominio, e per ordinata invece i corrispondenti valori della variabile dipendente y. In altre parole, possiamo dire che il grafico di funzione è il luogo di punti del piano di coordinate. Affinché un punto appartenga il grafico, è necessario che le sue coordinate soddisfino l’equazione della funzione, detta anche curva di equazione. Comunque due punti non possono mai avere la stessa ascissa poiché l’immagine y in ogni x deve essere assolutamente unica. A seconda della funzione che ci ritroviamo,

Il grafico può assumere forma diversa.

FUNZIONE LINEARE: nessuna variabile è elevata a potenza, per cui si ha: y = a + bx dove b è il coefficiente angolare della retta, mentre a è il valore dell’ordinata in quel punto in cui il grafico interseca l’asse verticale. Il grafico di una funzione lineare è sempre una retta.

FUNZIONE QUADRATICA: la massima potenza cui è elevata una variabile è due, per cui si ha: 2y = a + bx + cx in questo caso il grafico della funzione è una parabola che può essere concava verso l’alto se c > 0 o concava verso il basso se c < 0.

FUNZIONE CUBICA: la massima potenza cui è elevata una variabile è tre, per cui si ha: 2 3y = x + bx + cx + dx 16 Una funzione si dice pari quando, per qualsiasi valore di x appartenente al dominio, si ha che: f(-x) = f(x) Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all’asse y.

Una funzione si dice dispari quando, per

qualsiasi valore di x appartenente al dominio, si ha che: f(-x) = - f(x)

Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all'origine degli assi cartesiani.

Una funzione può essere:

• Iniettiva quando elementi distinti hanno sempre immagini diverse oppure se ogni elemento di B è immagine di un solo elemento di A.
• Suriettiva se ogni elemento di B è l'immagine di almeno un elemento di A.
• Se una funzione è sia iniettiva che suriettiva, allora abbiamo una funzione biunivoca o biettiva.

Quindi una funzione si dice biunivoca quando ciascun elemento di B ha una ed una sola immagine inversa in A.

∀ x ∈ A, comunque, non solo per ogni x appartenente A si può associare un solo elemento y ∀ y ∈ B, ma allo stesso modo, per ogni y appartenente a B è ∀ x ∈ A possibile associare uno ed un solo elemento x appartenente ad A. Per tale motivo si dice che i due insiemi sono

1. Nel contesto di una funzione biunivoca, possiamo definire quella che è la funzione inversa f. È la funzione che associa ad ogni y appartenente a B la sua immagine inversa x appartenente ad A. Questa contro immagine esiste sempre ed è unica, per questo si dice che la funzione biunivoca è invertibile.
2. FUNZIONE COMPOSTA
   Supponiamo di avere tre insiemi (A B C) e che f sia applicazione da A a B e g sia applicazione da B a C. Supponiamo che f faccia corrispondere ad un elemento x di A un elemento z di B e che invece g faccia corrispondere all'elemento di B un elemento di C. Così facendo si viene a creare un'applicazione da A a C che prende il nome di funzione composta o funzione di funzione, che viene indicata come f composto g o g.
3. Una funzione si dice monotona in un intervallo I se essa è sempre crescente o decrescente. La funzione si dice crescente quando assume valori che crescono al crescere dei valori di

ascissa; sidice decrescente quando assume valori che decrescono al crescere dei valori di ascissa.

Una funzione può essere crescente e decrescente in senso stretto e in senso lato.

Si dice crescente in senso stretto quando per ogni x e x appartenente all'intervallo I, x < x , tale che f (x ) < f (x )

Si dice crescente in senso lato quando per ogni x e x appartenente all'intervallo I, x < x , tale che f (x ) ≤ f (x )

Si dice decrescente in senso stretto se e quando per ogni x e x appartenente all'intervallo I, x < x tale che f (x ) > f (x )

Si dice decrescente in senso lato quando per ogni x e x appartenente all'intervallo I, x < x , tale che f (x ) ≥ (x )

E ancora, possiamo distinguere le funzioni in:

• algebriche
• trascendenti

Quelle algebriche riguardano tutte le varie operazioni matematiche.

Quando tra le operazioni da eseguire vi sono addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni ed elevamenti a potenza

LIMITI E CONTINUITÀ

Quando parliamo di limite facciamo riferimento ad un concetto, strumento matematico che permette di descrivere l’andamento della funzione all’avvicinarsi del suo argomento a un dato valore.

Sia y = f(x) una funzione definita in un intorno completo I del punto c, escluso al più il punto c stesso, si dice che per x tendente a c, la funzione y = f(x) ha per limite e si scrive:

( ) = llim f(x) x→ c

Se comunque si sceglie un numero positivo ε, arbitrariamente piccolo, è possibile

determinare incorrispondenza a esso, un intorno completo di c contenuto in I, tale che per ogni x di tale intorno, siabbia: | f(x) – l | < ε

Un limite può essere finito o infinito.

Si dice finito quando il risultato è un numero finito.

Si dice invece infinito quando il risultato è un valore infinito. Possiamo distinguere diversi tipi dilimiti:

( )=llim f x cioè il limite finito per x che tende a infinito, significa che quando x cresce in modox→∞ l .indefinito, la funzione assume via via valori sempre più vicini al valore

( )=∞lim f x cioè il limite infinito per x che tende a infinito, significa che quando x cresce inx→∞ modo indefinito, la funzione assume via via valori sempre più grandi, maggioridi qualsiasi valore positivo da noi fissato.

( )=∞lim f x cioè il limite infinito per x che tende a x cioè un valore finito, significa che0x→x 0 quando x si avvicina ad un valore