Magnetostatica nel vuoto e nei materiali

Introduzione al magnetismo

Magnetismo

In natura esistono dei minerali che sono in grado di attirare piccoli oggetti di ferro. Sono forze che noi vediamo applicate sulle calamite, chiamate forze magnetiche. Quando avvicino due calamite tra loro, in base a quale polo si avvicina, possono generare forze attrattive o repulsive.

NORD = polo positivo

SUD = polo negativo

L'esistenza di queste forze porta all'introduzione di un campo vettoriale detto campo magnetico, analogo al campo elettrico ma che presenta caratteristiche diverse. Mentre nel campo elettrico esistono due tipi di carica, nel campo magnetico non esistono poli singoli o monopoli ma sempre a coppie (bipolari). Se lascio liberi due oggetti qualsiasi, tendono a differenziarsi uno da un polo e non da forze di carica. Un modo per stabilire la direzione e il verso del campo magnetico è attraverso l'ago magnetico di una bussola, poiché si dispone parallelamente al campo.

Intensità di un campo magnetico

In questo circuito faccio scorrere una corrente i al d (tratto). La bumella è un piccolo tratto connesso al resto del circuito da connessioni flessibili. Se usiamo un dinamometro possiamo misurare la forza dF che subisce.

• Questa forza dF dipende dalla posizione e dalle caratteristiche:
  • dF = 0 se dℓ // alle linee di forza
  • dF = max se dℓ ⊥ alle linee di forza

Possono essere riassunte nella seconda legge di Laplace, supponendo che i circuiti percorsi da correnti generano nel loro intorno un campo B.
dF = I dℓ x B dove B viene detto campo di induzione magnetica o più principalmente campo magnetico.

I dℓ = ds = _ndB^q. In questo caso il filo ha uno spessore non trascurabile.

dF_T = j d x B₀ = j dx b dz x B₀ = b x B₀ dz la forza su tutto il volume dz F_T = j x B₀ b dz dove c è densità di corrente = n q vd v = velocità _{Forza che agisce su tutte le cariche del volume b dz} FF_T = n q vd x B₀ = bF forza che agisce su una carica F_T = q v x B₀- Forza di Lorentz ^{(Un altro modo per definirla è di sfruttare la carica,}Unità di misura: [ B ] = Ns ^Vs [ Wb ] =Cm m m² T m

Campo Magnetico Uniforme

Prendendo delle linee di forza che entrano nel foglio, possiamo vedere che una carica q v B = m v R - applichiamo la 2^a legge di Newton q v B = ω R q B = ω R non dipende dalla velocità periodo di ciclotrone se però tutte dB = \(\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{Ids \sin{\hat{l}\Delta z}}{[l\Delta z]^2}\) = \(\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I\Delta z}{l^2}\) \(\hat{s} ds\) B₀ = \(\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I}{l^2} \int_{C_0} \hat{s} ds\) B₀ = \(\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I}{l^2} 2\pi l \hat{C_0}\) = \(\frac{\mu_0 I}{2\pi l} \hat{C_0}\)

Esempio

Vogliamo calcolare il campo di induzione magnetica di un filo rettilineo percorso da corrente \(\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I}{x} \frac{d l\hat{l} \times\hat{r}}{l^2}\) = B₀ avrò un campo entrante \(\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I dx}{[a^2+x^2]}\) = cose B₀ = \(\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I}{2\pi a} \frac{1...}{2}\frac{L}{2}dB = \frac{Idz}{4\pi}\frac{x\cdot b}{a^2}\)

E₀ = B₀ \(\frac{\mu_0 e^2}{4\pi}\frac{1}{a^5}V₀ = 0, z \rightarrow \infty\) Lo stesso vale per y e z geometrico sarà un tipo di campo solenoide poiché la divergenza è nulla → linee chiuse.

Forza tra circuiti

• Due circuiti percorsi da correnti I₁ e I₂ esercitano l'uno sull'altro delle azioni meccaniche, poiché uno si trova nel campo generato dall'altro.
• Si vengono quindi a creare due forze F₂₁ e F₁₂ che verranno esercitate rispettivamente su d₂ del l₂ e d₁ del l₁.
• Per F₁₂ basta scambiare gli indici.
• La forza d₁ agisce su d₂ prodotto di d₁.
• Se i circuiti sono rigidi posso spostare.

Passaggio tra due superfici

Anche nel caso del campo magnetico, nel passare da una superficie all'altra, ho delle discontinuità _B. Siamo dentro al materiale, ma in questo caso non possiamo usare le derivate.

Condizioni di raccordo:

• ^S _B · n dS = 0
• ^S _B · d_l = I_conv

Componente normale B_n1 = B_n2 = B₀ cos θ + B₀ cos θ

B_T1/μ_R1 = B_T2/μ_R2 si conserva la componente T e dipendono dal tipo di materiale.

Tipi di materiali magnetici

• Diamagnetici
  • La spira di questo materiale tende ad essere espulso e avrà verso opposto a _B.
  • H sarà molto piccolo ed è ≈ ^J/₂.
  • Esempi: rame, piombo.
• Paramagnetici
  • La spira tenderà ad essere debolmente attratta.
  • X_m = 10^-3 - 10^-5 c ≈ 2·10²².
  • Esempi: alluminio, platino.
  • Dato dalla temperatura del materiale.