Logica matematica - Appunti e rielaborazione personale attraverso la frequenza a tutte le lezioni

All’esame non farà domande nozionistiche, ma domande concettuali ricostruire un sapere a partire dalla domanda



Lo sviluppo della capacità critica di pensiero è l’obiettivo di tutte le scuole

Tutto il corso, oltre a basarsi su esercizi di logica, è improntato sulla ricerca-azione rivisitata alla luce dell’indagine

deweyana: una ricerca che coniuga l’oggettività possibile con la soggettività ineludibile.

Dire “A lezione c’erano 23 studenti” non è un dato oggettivo, perché bisogna specificare lezione di cosa, di quando.

Dire, invece, “Nel corso di SFP la maggior parte sono femmine” è un dato oggettivo

“Ci sono più persone coi capelli lunghi che coi capelli corti” è un dato oggettivo? Bisogna capire cosa si intende per

corto e per lungo (non sono due concetti assoluti): bisogna sempre specificare corto e lungo rispetto a cosa, dando

un parametro di riferimento.

I due saggi di Baldacci ci dicono qual è il problema della ricerca-azione e spiegano il perché si è scelto proprio Dewey

per inquadrare la ricerca-azione e darle un’impalcatura razionale.

Il saggio della Tombolato è fondamentale perché spiega la modalità in cui ragioniamo, i metodi del ragionamento

tradizionale, le fallace logiche nel momento in cui prendiamo le decisioni.

L’ultimo testo riguarda, invece, la parte pratica dell’insiemistica.

JOHN DEWEY

Egli nasce a Burlington, nel 1859 e muore a New York del 1952. È uno tra i maggiori filosofi e pedagogisti statunitensi.

Studiò filosofia all'università del Vermont e alla Johns Hopkins University (Baltimora), dove ricevette una formazione

di tipo neohegeliano dal maestro George Sylvester Morris. Oltre che dell'influsso di quest'ultimo, la sua formazione

risentì in maniera determinante del contatto con le opere dei due fondatori del pragmatismo: C. S. Peirce e W.

James. Il pragmatismo è una corrente filosofica che si occupa della possibilità del pensiero rispetto al cambiamento

sociale, pratico.

Il testo fondamentale di Dewey al quale facciamo spesso riferimento è Logica, teoria dell’indagine (1949) e Come

pensiamo. Una riformulazione del rapporto fra il pensiero riflessivo e l’educazione (1961)

RICERCA-AZIONE

Possiamo definire la ricerca-azione, in maniera molto generale, come la metodologia d’indagine operativa che ˗ in

campo educativo e in particolare nella scuola ˗ si a va quando le procedure dida che, ordinariamente u lizzate

non sono idonee per affrontare un’insolita e critica situazione. Essa nasce da un contesto considerato problematico,

in cui non si sa bene cosa fare, ma che si è intenzionati a cambiare e viene assunta, nel suo essere d’indagine, perché

le strumentalità di cui si è in possesso, le esperienze pregresse della pratica professionale e le conoscenze

padroneggiate, non sono sufficienti a strutturare un rapido e risolutorio piano progettuale.

È una particolare metodologia che l’insegnante utilizza quando i suoi saperi/pratiche normali non bastano per

descrivere una situazione problematica che si è creata (in genere l’insegnante utilizza la progettazione e utilizza la

programmazione per i saperi). La ricerca-azione è, come suggerisce il nome, una ricerca e quindi non si attua tutti i

giorni. La si utilizza quando abbiamo di fronte una situazione problematica così complessa e di particolare difficoltà

che non riusciamo ad affrontare e risolvere con il nostro bagaglio culturale, con le conoscenze e le esperienze che

possediamo. È quella ricerca che si attiva soprattutto in ambito educativo.

La ricerca-azione, non avendo una modalità di svolgimento prefissata, si realizza attraverso un processo

• progressivo che si costruisce ed evolve in una spirale di ricorsive analisi-riflessioni-azioni-valutazioni.

Il processo non può essere lineare perché quello che è lineare va per successione temporale (progettazione; ha

già l’obiettivo). In una situazione problematica, invece, è il problema che guida sia l’azione che il pensiero. È quindi

chiaro che si tratta di un processo a spirale: osservo delle cose che non solo mi fanno ripensare al piano

progettuale, ma anche alla riflessione, ecc. Evolve come una spirale (si parte da una situazione problematica e si

conclude nel momento in cui la situazione problematica si è risolta, ma non sappiamo quante volte dobbiamo ri-

osservare, ri-progettare, ecc.). Tuttavia, ha uno sviluppo di tipo logico.

Essa, nella sua ciclicità attuativa, è predisposta a modificarsi in corso d’opera, rivisitando continuamente il piano

• d’intervento ipotizzato alla luce dei risultati acquisiti. Fa della modifica una sua strutturazione

Se ho una situazione problematica e se la prima ipotesi è quella giusta, significa che non è poi così problematica

e quindi non avevo bisogno di fare ricerca-azione. La ricerca-azione è in genere su casi problematici le cui ipotesi

possono essere numerose, come dieci, venti…

Esempio: i ragazzi di quarta non riuscivano a seguire la programmazione di matematica; i risultati erano per la

maggior parte dei casi negativi.

1° ipotesi: “i ragazzi non hanno i prerequisiti tali a star dietro alla programmazione” Corsi aggiuntivi nel



pomeriggio per ridare agli studenti le armi necessari per comprendere la progettazione. I risultati erano peggiorati

e la problematicità della classe era ancora più alta, la matematica era diventata ancora più ostica.

2° ipotesi: “bisogna dar loro più tempo per ottenere un miglioramento dei risultati” Fare in maniera più



concentrata certi argomenti, dare agli studenti più tempo per dar loro modo di sedimentare. Neanche questo

tipo di programmazione più lenta, che dava più spazio ai tempi di apprendimento dei singoli alunni ha funzionato

3° ipotesi: “forse è una metodologia troppo trasmissiva, forse vanno coinvolti in una didattica più laboratoriale”

Predisposizione di laboratori per fare in modo che i concetti passassero.



Si è scoperto che i bambini avevano un rifiuto alla matematica perché per tre anni avevano avuto un’insegnante

che ripeteva loro la lezione e dava poi molti esercizi a casa.

I soggetti, poi, che fanno ricerca sono gli stessi soggetti che agiscono nella situazione e ne divengono gli attori,

• essendo contemporaneamente sia ricercatori sia operatori. L’insegnante è attore e ricercatore.

La ricerca-azione è quindi prioritariamente ed essenzialmente

una ricerca operativa: opera sulla realtà perché vuole cambiare la situazione problematica e trasformarla.

 volta all’azione pratica

 che si attua in un determinato e preciso contesto con lo scopo di cambiarlo (la situazione problematica è

 contingente ad un contesto: avviene in uno spazio e in un tempo)

in cui il soggetto che agisce è anche ricercatore

 che si svolge in processo (mentre la si fa: pensiero e azione sono ricorrenti e ciclici, si attuano di continuo

 

pensiero in azione)

La ricerca-azione si qualifica pertanto come una ricerca idiografica (avviene in un contesto), che ha come oggetto

l’azione efficace e come finalità quella della trasformazione, in cui il soggetto operatore è anche ricercatore ed

evolve attraverso una spirale di ricorsive analisi-riflessioni-azioni-valutazioni

Efficace: fa riferimento ad un rapporto tra risultato e obiettivo. Ha l’obiettivo di riuscire.

Efficienza: fa riferimento al rapporto tra risultato e tempo (nel più breve tempo possibile)

PREREQUISITI RICHIESTI

Metodi della ricerca

 Il metodo induttivo o induzione termine che significa letteralmente “portar dentro” è un procedimento che

partendo da singoli casi particolari cerca di stabilire una legge universale. Dal particolare al generale tante



osservazioni mi fanno indurre che…

 Il metodo deduttivo o deduzione, al contrario, procede dall’universale al particolare. Dal generale al particolare

si parte dalla teoria e si scende nel particolare.



La conoscenza umana si può svolgere in due direzioni, scegliendo una delle due seguenti strade:

- avere una prima conoscenza sensibile del particolare e da questa risalire all'universale (via dell'induzione).

La scienza viaggia su questi due canali: es. la medicina lavora per induzione (virus che non conosciamo –

prova della medicina su tot persone – induco che la medicina è utile per questa malattia: è probabile e non

certo).

- seguire la strada opposta, cioè partire dall'universale per andare al particolare (via della deduzione).

Tipico del ragionamento deduttivo è il SILLOGISMO: Per ottenere una conoscenza veramente fondata, indubitabile

e quindi certa bisogna, scegliere questa seconda strada, facendo ricorso al sillogismo che nella filosofia aristotelica,

rappresenta il tipo perfetto di ragionamento deduttivo per cui, date due premesse, ne segue necessariamente una

conseguenza che parte sempre da premesse vere e necessarie.

Tali premesse non possono essere a loro volta dimostrate, dato che proprio da queste deve partire la dimostrazione

Assioma (dall’assioma costruisco una teoria che non può entrare in contraddizione). Anche la filosofia parte

dall’assioma

filos. Proposizione, posta a base di un ragionamento, che non ha bisogno di dimostrazione perché evidente

• di per sé Si parte sempre da degli assiomi. Dati gli assiomi si costruisce tutta una teoria che è sicura, perché



non in contraddizione con sé stessa

mat. Una delle assunzioni che sono alla base di una teoria e dalle quali si deduce ogni altra affermazione.

•

Aristotele (384 a.C.-322 a.C.) diceva “Dal particolare non si dà scienza”. Egli afferma che la scienza è il massimo del

sapere e non possono esserci dubbi. Lui seguiva il metodo deduttivo: la scienza doveva avere le caratteristiche

dell’universalità.

Il sillogismo è un particolare del ragionamento deduttivo per antonomasia.

Sillogismo deduttivo:

Tutti gli uomini sono animali,

• tutti gli animali sono mortali,

• dunque tutti gli uomini sono mortali.

• Tutti gli uomini sono mortali

• Socrate è un uomo

• dunque Socrate è mortale

•

Si tratta di un ragionamento certo, la cui conclusione era già nella premessa.

In logica il sillogismo ha una:

PREMESSA MAGGIORE

• PREMESSA MINORE

• CONCLUSIONE

•

TUTTI GLI UOMINI SONO BUGIARDI

MARCO È UN UOMO

MARCO È BUGIARDO

Attenzione:

TUTTI I BUGIARDI SONO UOMINI

MARCO E’ UN UOMO

MARCO E’ BUGIARDO

Non è un sillogismo perché “bugiardi” è un sottoinsieme di uomini, per cui potrebbero esserci uomini bugiardi ma

anche uomini non bugiardi

Tutti i ladri sono extracomunitari

Marco è un extracomunitario

Marco è un ladro

Non è un sillogismo

TUTTE le madri sono donne Madri è sottoinsieme di donne, ma potrebbero esserci donne che on sono madri



Forma induttiva da tanti particolari si arriva ad una conclusione. A differenza del sillogismo la conclusione non è



certa. Tuttavia il sillogismo ci porta a scoprire poco perché la conclusione è già contenuta nella premessa.

Ho visto un corvo ed era nero

• Ho visto un secondo corvo ed era nero

• Ho visto un terzo corvo ed era nero

• ------------------------------------------------------

• -------------------------------------------------------

•

Il prossimo corvo che vedrò sarà probabilmente nero o…

Probabilmente tutti i corvi sono neri



L’induzione fa andare oltre il conosciuto ed è di tipo probabilistico. Non è detto che, nonostante io abbia visto molti

corvi neri, anche il prossimo lo sia al 100%; probabilisticamente è nero.

L’induzione fa un’inferenza ampliativa ma solo probabile (inferenza=previsione, andare dall’ignoto al noto).

La deduzione fa un’inferenza non ampliativa ma necessaria, ovvero universale (tutti gli uomini sono mortali e

Socrate è un uomo l’inferenza che Socrate è mortale è necessaria, ma non è ampliativa).



Teniamo presente nell’induzione:

- Si amplia il contenuto della conclusione rispetto a quanto è contenuto nelle premesse ovvero il contenuto

informativo della conclusione non è interamente incluso nelle premesse.

Ad esempio, se le premesse affermano che in n casi gli x osservati hanno mostrato di possedere la proprietà A,

allora si inferisce che il prossimo x che verrà osservato nel caso n+1 probabilmente avrà la proprietà A, oppure

che tutti gli x che verranno osservati mostreranno probabilmente la proprietà A.

- La probabilità della conclusione: mentre è impossibile che la conclusione di un ragionamento deduttivo sia

falsa se le sue premesse sono vere, in un argomento induttivo questa certezza si riduce a un grado di probabilità

maggiore di 0 e inferiore a 1. Si potrebbe dire che questo è il prezzo che si deve pagare per il vantaggio che



gli argomenti induttivi offrono rispetto a quelli deduttivi, cioè la possibilità di scoprire e prevedere fatti nuovi in

base a quelli vecchi.

In un dado non truccato ho la probabilità di 1/6 che esca il 6 a livello di astrazione.



In questo caso la probabilità è pari per ogni numero che esce.

È impossibile che escano numeri maggiori di 6 e minori di 1.

È possibile che esca un numero compreso tra 1 e 6.

Colui che va a puntare su quel numero che non è mai uscito dopo 30 tiri può aver ragione in quanto la legge de grandi

numeri influisce in matematica: la casualità ha un’incidenza fortissima sui pochi numeri, ma sulla legge dei grandi

numeri se si tira un milione di volte tende a pareggiarsi sempre la stessa probabilità (1/6, 1/6, 1/6, ecc.) se faccio



molti tiri ritornano di continuo.

Tiro due dadi non truccati, regolari da 1 6. Cos’è sicuro che esca? Che esca un numero da 2 a 12. È impossibile che

esca un numero inferiore a 2 e maggiore di 12

In un dado truccato con 1 faccia gialla e 5 facce rosse la probabilità che esce la

faccia rossa è più vicino ad 1 mentre la probabilità che esca una faccia gialla è

vicino allo 0.

NOTA

Della teoria induttiva per cui da un certo numero di casi osservati si può astrarre che ciò accada in tutti i casi sia

• osservati che non osservati, Dewey accetta solamente il fatto che è necessario indagare su casi reali il cui numero,

pochi o molti, però non è determinante poiché ne basta comunque solo uno contrario per far cadere la regola

“induttiva”.

Per quanto, infatti, siano numerosi i casi osservati ciò non giustifica la generalizzazione a tutti i casi.

• Pertanto, l’osservazione di un certo numero di casi può essere considerata condizione necessaria ma non

• sufficiente.

Come osserva Alcaro M. nel capitolo La polemica tra Dewey e Russell, in Alcaro M., John Dewey…, op. cit., p. 307-

• 327, questa è una delle poche affermazioni sull’induzione che avvicina Dewey a Russell, che, al fine di dimostrare,

burlescamente, l’infondatezza dell’induzione, nel giustificare conclusioni, racconta la storia del “tacchino

induttivista”

“Fin dal primo giorno questo tacchino osservò che, nell’allevamento dove era stato portato, gli veniva dato il cibo

alle 9 del mattino. E da buon induttivista non fu precipitoso nel trarre conclusioni dalle sue osservazioni e ne seguì

altre in una vasta gamma di circostanze: di mercoledì e di giovedì, nei giorni caldi e nei giorni freddi, sia che piovesse

sia che splendesse il sole. Così, arricchiva ogni giorno il suo elenco di una proposizione osservativa in condizioni le

più disparate. Finché la sua coscienza induttivista fu soddisfatta ed elaborò un’inferenza induttiva come questa “Mi

danno il cibo alle 9 del mattino”. Purtroppo, però, questa conclusione si rivelò incontestabilmente falsa alla Vigilia di

Natale, quando, invece di venir nutrito, fu sgozzato.”

Antiseri D., Introduzione alla metodologia della ricerca, Sei, Torino 1987, p. 17.

Anche Carl Gustav Hempel con il cosiddetto paradosso dei corvi secondo cui anche un oggetto non nero diverso da

un corvo è una conferma dell’ipotesi che tutti i corvi sono neri, ci mette in guardia sul metodo induttivo, che può

farci giungere a conseguenze insensate ed assurde. Se infatti affermiamo induttivamente che tutti i corvi sono neri,

non potremo mai essere sicuri di tale affermazione, come diceva lo stesso Popper. Se vogliamo delle conferme

potremmo andare a cercare tutti i corvi e verificarne il colore. Ma questa potrebbe rivelarsi un’impresa improba. Si

potrebbe allora utilizzare un equivalente logico dell’affermazione “tutti i corvi sono neri” e cercare conferme in esso.

Se è vero che “tutti i corvi sono neri” allora deve essere pure vero che “tutte le cose non nere non sono corvi”. Perciò

trovare conferma che tutti i corvi sono neri significa trovare conferma all’equivalente logico “tutte le cose non nere

non sono corvi”. Ad esempio, osservare una macchina gialla, un libro verde, cioè cose apparentemente slegate dal

colore dei corvi, costituisce una prova ripetuta che i corvi sono neri. “Il paradosso è tanto più evidente se pensiamo

di presentare ad un giudice, come prova che una pistola ha sparato, un qualsiasi altro oggetto che non ha sparato,

come un sasso!”

Fronte A., L’induzione e i corvi di Hempel, citazione tratta da Pedon A., Gnisci A., Metodologia della ricerca

psicologica, Il Mulino, Bologna