Logica contemporanea

Logica contemporanea

Introduzione

La logica formale contemporanea è per antonomasia quella proposta, iniziata da personaggi come Frege e Boole e poi codificata soprattutto dal filosofo e matematico Bertrand Russell, di ampliare e per alcuni versi rettificare il grande patrimonio della logica scolastica. Secondo la scuola analitica, con buona approssimazione, si può definire la logica come quella disciplina scientifica finalizzata alla costruzione e alla valutazione delle argomentazioni.

Definizione di argomentazione

L'argomentazione intesa dalla logica è una serie di proposizioni, concatenate tra di loro con relazioni di implicazione logica, in cui una è intesa come conclusione e le altre come premesse che giustificano la sua verità. Queste proposizioni devono essere rigorosamente proposizioni assertive, cioè delle frasi linguistiche che identificano degli stati di cose – quindi che sono strutturalmente dotate di valore di verità. Le proposizioni assertive sono necessariamente anche dichiarative, cioè conferiscono implicitamente un assenso soggettivo alla credenza che lo stato di cose descritto sia attuale quanto è descritto attuale (non sono dichiarativi gli ordini, le domande...).

Verifiche semantiche

Le proposizioni assertive possono venire giustificate attraverso due tipi di processi:

• Immediato, quando noi abbiamo una qualche conoscenza diretta dello stato di cose descritto, con cui possiamo verificarne l'attualità. Per esempio, la proposizione "La lavagna è bianca" può essere immediatamente verificata vedendo la lavagna. I mezzi più evidenti attraverso fare verifica immediata sono i sensi e l'intuizione intellettuale.
• Mediato (o per inferenza), quando noi verifichiamo la verità della proposizione facendola discendere dalla verità presupposta di altre proposizioni – cioè attraverso argomentazioni, ragionamenti.

Valori dei segni logici

La struttura sintattica della proposizione rispecchia in qualche misura lo stato di cose che essa vuole descrivere sul piano ontologico. Esistono perciò nella logica contemporanea così intesa dei segni logici che indicano sostanze (nomi), alcuni che indicano attributi (predicati) e alcuni che indicano le loro relazioni (operatori). I primi due tipi di segni logici possiedono sempre di per sé due proprietà fondamentali:

• Intensione (che individua un senso): il legame tra il piano linguistico e quello concettuale, il contenuto semantico del segno. In parole povere, è il concetto che viene associato ad un segno.
• Estensione (che individua un referente): il legame tra il piano linguistico e quello ontologico, l'oggetto reale indicato dal segno.

1 - La definizione è di Frege: lo stato di cose è una categoria ontologica che descrive la realtà, cioè che è in grado di rappresentare uno scenario reale in quanto composto da alcune sostanze e alcune relazioni tra di esse. Uno stato di cose può essere attuale o meno, a seconda che descriva qualcosa di effettivamente reale nel nostro mondo oppure no; la proposizione che descrive uno stato di cose attuale è vera, altrimenti è falsa.

2 - Secondo molti, una proposizione assertiva che ha come oggetto uno stato di cose che descrive il futuro non è dotato di valore di verità. Questo dubbio fu espresso per primo dallo stesso Aristotele, anche se la Scolastica (da Boezio in poi) s'è successivamente schierata dall'altra parte per motivi teologici: le proposizioni dei profeti e di Dio sono dei futuri necessari e perciò sono sempre veri.

3 - È questione dibattuta quale sia esattamente l'estensione di quei segni che indicano degli attributi. Un platonista affermerebbe che l'estensione di un segno che indica un attributo è l'attributo sussistente in sé; una teoria più cauta vorrebbe l'insieme di tutti quegli oggetti a cui è associabile l'attributo.

Operatività della logica

Le argomentazioni complesse

Le argomentazioni che la logica contemporanea è in grado di trattare sono anche più complesse del tipico sillogismo di prima figura, in cui la logica scolastica era obbligata a sezionare i discorsi per compiere le sue analisi. Per esempio: "Non credo che Maria verrà a cena da noi, perché Sam andrà alla festa e quindi anche Maria ci andrà." La premessa "Sam andrà alla festa" determina una conclusione intermedia "Anche Maria andrà (alla festa)", che a sua volta è premessa per la conclusione "Non credo che Maria verrà a cena da noi".

Un ulteriore elemento di complessità ammesso dalla logica contemporanea sono i cosiddetti argomenti convergenti: più argomenti indipendenti che hanno come conseguenza la stessa conclusione. Per esempio: "Sarebbe bene non fumare, perché non è sano e dà fastidio a chi ci sta intorno." La premessa "Non è sano" conclude da sola "Sarebbe bene non fumare", così come fa indipendentemente anche la premessa "Dà fastidio a chi ci sta intorno".

Correttezza e validità

La logica si occupa di valutare delle argomentazioni. Propriamente, la disciplina si occupa della struttura del discorso in sé, quindi non opera mai valutando semplicemente la sola conclusione dal punto di vista semantico – può accadere benissimo che una struttura logicamente inconsistente porti ad una conclusione vera, oppure che una struttura impeccabile ma fondata su premesse false porti a conclusioni false. I criteri secondo cui lavora la logica sono due:

• Correttezza, quando le premesse dell'argomentazione sono vere.
• Validità, quando, se le premesse dell'argomentazione sono vere, la sua conclusione è necessariamente vera.

La verità delle premesse è qualcosa di più complicato dei parametri puramente linguistici, perché in molti ambiti la logica da sola non può determinarla. Nelle argomentazioni scientifiche, per esempio, la verità delle premesse è compito delle scienze particolari. Invece, la validità delle argomentazioni è sempre scopo esclusivo della logica. La logica, in quanto scienza formale, è in grado di porre le condizioni di validità delle argomentazioni con leggi fisse, le stesse regole del ragionamento.

4 - Attenzione: esistono argomentazioni abbastanza valide, quindi non accettabili dal punto di vista logico, quando spingono a credere ad una conclusione ma non la garantiscono in modo necessario. Tipicamente, sono di questo tipo le argomentazioni statistiche. Per esempio: "Il 90% degli Svizzeri si alza alle 8 del mattino, Tu sei Svizzero, quindi Tu ti alzi alle 8 del mattino" – la conclusione è appunto probabilmente vera, ma non necessariamente vera.

Piano sintattico

La logica lavora su due piani: quello sintattico (propriamente linguistico) e quello semantico (concettuale). Sul primo dei due, l'obiettivo è elaborare ed utilizzare un corretto linguaggio formale, in grado di descrivere le proposizioni del linguaggio naturale in termini di formule, per poi tradurci il contenuto del linguaggio naturale con la formalizzazione. Una buona formalizzazione è in grado di mettere in evidenza e sotto un'accurata chiarezza quegli elementi del discorso che presentano il suo valore di verità; il significato di tale traduzione sta nello sciogliere le ambiguità del linguaggio naturale e nell'annullare le possibili diverse interpretazioni dei suoi prodotti. La logica è mera manipolazione di simboli tramite delle regole di derivazione che tramutano formule in altre, in modo da simulare un'argomentazione naturale con pretesa di rigore scientifico.

Piano semantico

Sul piano semantico, è necessario valutare la verità delle proposizioni impiegate e quindi anche della conclusione. Per garantire ciò, al di là della relazione tra linguaggio e ontologia, è doveroso che ogni sistema formale sia almeno:

• Corretto: i ragionamenti che governano la manipolazione dei simboli impiegati sono validi,
• Completo: ogni ragionamento valido è esplicitato con una regola formale.

Formalizzazione

Fondamenti

Linguaggio formale di prim'ordine

I linguaggi formali della logica sono tanti e diversi, e ancora di più lo sono quelli di altre discipline formali (matematica, informatica...). Quello che verrà utilizzato qui è il linguaggio predicativo logico di primo ordine: la sua caratteristica è di cercare di mettere in evidenza le condizioni metafisiche di verità delle proposizioni che codifica.

Per esempio, la proposizione "Socrate corre". Questa proposizione è vera quando descrive uno stato di cose attuale, cioè quando, sul piano ontologico, sussiste effettivamente un oggetto ascrivibile nel concetto <Socrate> a cui è effettivamente legato un attributo ascrivibile nel concetto <Essere corrente>. Il linguaggio formale, per descrivere qualcosa del genere, dovrà esplicitare qual è il soggetto, qual è il predicato e qual è la loro relazione in modo chiaro.

La relazione di attribuzione

In questo linguaggio, i predicati si formalizzano indicandoli con una lettera maiuscola (costante predicativa); gli individui, invece, si rappresentano con una lettera minuscola (costante individuale). La relazione di attribuzione di un predicato ad un individuo si indica mettendo tra parentesi la costante individuale dopo la propria costante predicativa. La proposizione "Socrate corre" si formalizza come: C(s).

I posti del predicato

Un predicato può essere logicamente associato a più individui, come accade nella proposizione "Aristotele stima Platone". Si dice che questo predicato ha due posti, cioè regge due oggetti separati – il che si formalizza indicandoli nella stessa parentesi e distinti con delle virgole. Nel linguaggio predicativo di prim'ordine, un predicato può avere uno, due o tre posti. La formalizzazione dell'esempio sopra è S(a,p). Per convenzione si indica sempre nel primo posto il soggetto della proposizione rispetto al predicato considerato, anche se questo linguaggio logico non tiene particolarmente conto di simili distinzioni poiché non comportano differenze per quanto riguarda il valore di verità. La proposizione "Platone è stimato da Aristotele" si formalizza per esempio come S(p,a), ma anche S(a,p) non è sbagliato.

La descrizione definita

Nel linguaggio naturale si usa, per questioni sostanzialmente stilistiche, riferirsi a nomi talvolta con veri sostantivi, talvolta con descrizioni definite. Per esempio, <Excalibur> può essere indicato in una frase come "Excalibur" e nella successiva con una caratteristica essenziale antonomastica, "La spada (di cui si parlava...)". Il problema è che, sebbene il linguaggio indichi con questo espediente degli individui, effettivamente quelli sono termini che ne identificano un predicato – l'attributo <Essere spada> di <Excalibur>. Si ha insomma un attributo che è anche descrizione definita quando si riferisce ad un individuo concreto esistente nel contesto considerato e in modo univoco – se l'individuo non sussiste, l'espressione diventa insensata, se non è univoca, diventa incomprensibile. In logica, l'individuo di una descrizione definita è inteso come una variabile – indicata con le lettere x, y, z – a cui è associata la caratteristica di essere unico grazie allo iota-termine, la lettera greca iota girata al contrario. Per esempio: <La spada> inteso come attributo generico si formalizza S, inteso come descrizione definita x(S(x)). Formalizzarla nel primo modo significa riferirsi a una spada in quanto spada, alla sua specie, nel secondo significa riferirsi all'individuo preciso concreto che ne sta incarnando l'attributo.

5 - Anche la forma Cs è ammissibile.

6 - Ad ogni modo, si preferisce convenzionalmente rendere le proposizioni naturali in forma attiva prima di formalizzarle.

7 - Quell'unico x tale che x è S. È ammissibile anche omettere le parentesi più ampie.

Linguaggio formale di second'ordine

Il linguaggio formale di prim'ordine è un linguaggio relativamente semplice, che non può rendere tutti i tipi di proposizione espresse dal linguaggio naturale. L'estensione più immediata che può aiutare il linguaggio di prim'ordine è l'apporto della logica modale. Esiste inoltre una possibile applicazione del linguaggio di second'ordine, utile soprattutto per giudizi di tipo temporale.

Sono giudizi di second'ordine le proposizioni i cui predicati sono predicati di predicati, anziché di soli individui. Per esempio: "La saggezza è una virtù", V(S). Il termine "saggezza" è grammaticalmente un sostantivo, ma dal punto di vista logico-ontologico non si riferisce ad un individuo, bensì ad un attributo. Dunque la sua formalizzazione è V(S).

Attenzione: esistono dei logici che rifiutano la logica di second'ordine. Nella loro ottica, la traduzione della proposizione precedente sarebbe: ∀x(S(x)→V(x)). Ci sono però dei casi in cui sarebbe troppo complicato tradurre delle proposizioni nel linguaggio di prim'ordine; per esempio: "La saggezza è la più importante di tutte le virtù".

8 - Anche se si potrebbe dire che questa è un'altra proposizione: "Il saggio è virtuoso". Comunque, si veda per chiarezza la parte successiva sul quantificatore universale.

Operazioni logiche

Identità

I legami di predicazione sono indicati sempre dal verbo essere. Tuttavia, lo stesso verbo essere può essere utilizzato anche in un altro senso oltre che come copula: è possibile che esprima il legame non tra un predicato e un nome, ma tra due nomi. In questi casi, il predicato è completamente implicito nel verbo essere. Nella frase "Superman è Clark Kent", è sottintende per sua funzione propria il predicato "essere identico a". La formalizzazione corretta della relazione di identità si indica con il simbolo =. L'esempio precedente sarebbe formalizzato come s=c anziché come I(s,c).

Negazione

La negazione si indica con il simbolo ¬, anteposto alla proposizione negata. Per esempio, "Socrate non corre", che è negazione di "Socrate corre", si formalizza come ¬C(s).

Il significato semantico della negazione è quello di invertire il valore di verità della proposizione a cui si riferisce:

Come appare chiaro dalla tavola di verità della doppia negazione, ad un livello di analisi abbastanza superficiale la doppia negazione equivale sempre semanticamente ad una semplice affermazione.

Congiunzione

La congiunzione si indica con il simbolo ∧, frapposto alle due proposizioni congiunte. Per esempio, la proposizione complessa "Socrate corre e Platone salta" si formalizza come C(s)∧S(p). Questo simbolo unisce sempre e solo due proposizioni, mai due elementi separati.

Il significato semantico della congiunzione è quello di affermare un valore di verità positivo quando e solo quando entrambi i congiunti sono veri. Dal punto di vista del linguaggio naturale, questa operazione corrisponde alla coordinazione di due frasi.

9 - Come verrebbe forse da fare nel caso di congiunzioni dallo stesso soggetto o dallo stesso predicato. "Socrate corre e salta" si formalizza come C(s)∧S(s); "Socrate e Platone corrono" si formalizza come C(s)∧P(s).

Disgiunzione inclusiva

La disgiunzione (inclusiva) si indica con il simbolo ∨, frapposto alle due proposizioni disgiunte. Per esempio, la proposizione complessa "Socrate corre o Platone salta" si formalizza come C(s)∨S(p).

Il significato semantico della disgiunzione è quello di affermare un valore di verità positivo quando almeno uno dei disgiunti è vero. Dal punto di vista del linguaggio naturale, questa operazione è resa in modo ambiguo: la disgiunzione naturale corrisponde almeno a due diversi operatori logici.

Disgiunzione esclusiva

Nel linguaggio naturale, la disgiunzione può avere anche un'altra funzione, spesso espressa dalla parola "oppure": quella della disgiunzione esclusiva. Si indica con il simbolo ⊕ o con il simbolo . Per esempio, la proposizione complessa "Il tavolo è verde o il tavolo è rosso" si formalizza come V(t)⊕R(t).