Logica contemporanea

A B ¬A ¬A˅B

1 1 0 1

1 0 0 0

0 1 1 1

0 0 1 1

12 - Non è detto che debba sempre essere così al di fuori del linguaggio considerato. Per esempio, quello che nel linguaggio naturale è il connettivo

perché non è vero-funzionale: se si dice C'è il sole perché il tavolo è nero, i due componenti sono veri e il loro composto è falso, mentre, se si dice

C'è il sole perché c'è alta pressione, i due componenti sono veri eppure il loro composto stavolta è vero. 9

A˄B = ¬(¬A˅¬B)

A ˄ B

1 1 1

1 0 0

0 0 1

0 0 0

A B ¬A ¬B ¬A˅¬B ¬(¬A˅¬B)

1 1 0 0 0 1

1 0 0 1 1 0

0 1 1 0 1 0

0 0 1 1 1 0

A˅B = ¬(¬A˄¬B)

A ˅ B

1 1 1

1 1 0

0 1 1

0 0 0

A B ¬A ¬B ¬A˄¬B ¬(¬A˄¬B)

1 1 0 0 0 1

1 0 0 1 0 1

0 1 1 0 0 1

0 0 1 1 1 0

A→B = ¬(A˄¬B)

A → B

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 1 0

A B ¬B A˄¬B ¬(A˄¬B)

1 1 0 0 1

1 0 1 1 0

0 1 0 0 1

0 0 1 0 1 10

FORMULE E REGOLE SINTATTICHE

DEFINIZIONE DI FORMULA

I segni logici possono essere utilizzati per lavorare agevolmente sulle argomentazioni elaborate nel

linguaggio naturale, dopo essere state trattate con un'adeguata formalizzazione. Gli strumenti per

farlo sono le formule logiche. n

Avendo un predicato ad n posti P in un linguaggio logico L e avendo una sequenza di n variabili ,

n n

la formula generale P ( ) è il caso generale della formula che è la negazione (¬P ( )), della

n n n

congiunzione (P ( )˄P' ( )), del quantificatore esistenziale (∃xP ( )) e così via. Questa definizione

induttiva, estesa a tutti gli operatori logici del linguaggio formale di prim'ordine, permette di

elencare precisamente cos'è una formula logica sintatticamente corretta e cosa non lo è. Per

∃x(A(x)˄B(x))

esempio, sapendo che A(x), B(x) e C(x) sono formule, allora anche è una formula,

∃x(A(x)˄B(x))˄C(x)

anche lo è.

VARIABILI LIBERE E VINCOLATE

Le formule lavorano utilizzando operatori logici, costanti predicative e variabili individuali. Di

queste variabili, alcune sono dette vincolate – solitamente da un quantificatore o simili – e alcune

sono libere di variare arbitrariamente. Per esempio:

Ɐx((A(x) ˄ B(y)) → C(x)) ˄ D(x)

METODO DEL CALCOLO DELLE SEQUENZE

Le formule sono in grado di operare delle derivazioni (o calcoli) da sistemi formali ad altri.

Esistono tre modi principali per esprimere queste derivazioni nel linguaggio formale, ognuno dei

quali si applica particolarmente bene ad ambiti specifici. L'ultimo di questi è utile proprio ad

esprimere il linguaggio predicativo di prim'ordine:

Metodo di Hilbert,

• Metodo di Getzen, a sua volta distinto nel metodo della deduzione naturale e nel metodo del

• calcolo delle sequenze.

Si dice sequenza una successione di formule in cui si distinguono un antecedente ed un

conseguente separati dal simbolo di derivazione . Per esempio: A,B C. L'antecedente è un insieme

di assunzioni, cioè di singole formule, formalmente separate da virgole. Una sequenza in generale si

formalizza con le lettere maiuscole dell'alfabeto greco chi e ypsilon: X e Y.

DEFINIZIONE DI REGOLA SINTATTICA

13

Una successione di sequenze è una regola sintattica e si formalizza in questo modo:

X

X'

X''

…

____________________

Y

Le regole sintattiche possono essere ovviamente primitive oppure derivabili da altre, a seconda del

fatto che abbiano una giustificazione immediata, evidente, oppure una giustificazione mediata,

deducibile da regole primitive o ancora derivabili.

13 - Le regole possono avere un numero variabile di premesse, ma sempre una sola conclusione. Alcune regole primitive, in particolare – si veda

appena più avanti – hanno la peculiarità di non avere premesse. 11

LISTA DELLE REGOLE SINTATTICHE

REGOLE SINTATTICHE PRIMITIVE

Il linguaggio di prim'ordine accoglie 15 regole primitive, di cui 3 sono strutturali del linguaggio

mentre 12 riguardano i segni logici in particolare:

14

Regola di assunzione (A ) ˫

X α con α∈

X

Se io conosco delle premesse, allora posso concludere per la validità di queste premesse. Per esempio: Io so che piove,

che la luce è accesa, che il gatto è sul tavolo, quindi piove.

Regola di monotonia (RM) ˫

X α

___________________

˫

X β α

,

Se io so che una proposizione deriva da una serie di premesse che conosco, allora so anche che la stessa proposizione

deriva dalla stessa serie di premesse più una qualsiasi altra premessa aggiuntiva (in cui compaia o meno qualcosa a

riguardo della proposizione). Per esempio: Io so che tutti gli uomini sono mortali e che quindi Giovanni è mortale,

quindi, se io so che tutti gli uomini sono mortali e che oggi piove, so anche che Giovanni è mortale.

Regola di concatenazione (RK) ˫

X,α β

˫

X α

____________________

˫

X β

Se io so che una serie di premesse e un'altra proposizione sono sufficienti per derivare una conclusione, e che la serie di

premesse da sola contiene quella proposizione di sostegno, allora la serie di premesse da sola in realtà è sufficiente a

spiegare tale conclusione. Per esempio: Io so che c'è il sole e non ci sono nuvole e che dunque il tempo è sereno, e, se

so che c'è il sole, allora non ci sono nuvole, quindi, se so che c'è il sole, allora il tempo è sereno – senza

necessariamente sapere anche che non ci sono nuvole.

Regola della negazione minimale (¬J) ˫

X,α β

˫

X,α β

¬

______________________

˫

X α

¬

Se da una proposizione deriva sia una conclusione che il suo opposto, allora dalla sequenza di assunzioni originali può

derivare anche l'opposto della prima premessa. Intuitivamente, se delle premesse sono globalmente contraddittorie,

allora possono derivare qualunque proposizione coinvolta. Per esempio: Io so che, se piove e il cielo è coperto, allora

c'è brutto tempo e contemporaneamente, se piove e il cielo è coperto, allora c'è bel tempo, quindi, se piove, allora il

cielo è sereno.

14 - Ogni regola primitiva ha una sigla che compare nelle dimostrazioni delle regole derivabili. 12

Regola della negazione classica (¬K) ˫

X, α β

¬ ˫

X, α β

¬ ¬

________________________

˫

X α

Se dalla negazione di una proposizione deriva sia una conclusione che il suo opposto, allora dalla sequenza di

assunzioni originali può derivare anche la proposizione non negata. Intuitivamente, ha significato analogo a quello della

15

regola precedente, concludendo tuttavia in modo leggermente diverso .

Regola di introduzione della congiunzione dell'antecedente (˄I)

˫

X,α β

______________________

˫

X,α˄γ β

Se da una proposizione deriva una conclusione, allora la stessa conclusione può derivare dalle stesse premesse più una

nuova proposizione congiunta. Per esempio: Io so che oggi piove e che il cielo è coperto e dunque che c'è brutto tempo,

quindi, se so che oggi piove e il cielo è coperto e le nubi sono nere, allora c'è brutto tempo.

Regola di introduzione della congiunzione nel conseguente (I˄)

˫

X α

˫

X β

______________________

˫

X α˄β

Se dalla stessa serie di premesse derivano due conclusioni, allora da quella deriva una e l'altra conclusione.

Intuitivamente, non conta l'ordine dei congiunti né tra le conclusioni né tra le premesse, perché antecedente e

conseguente sono di per sé degli insiemi di formule sintattiche. Per esempio: Io so che oggi c'è il sole e che quindi è bel

tempo e che non ci sono nuvole, quindi, se io so che oggi c'è il sole, allora è bel tempo e non ci sono nuvole.

Regola di introduzione della disgiunzione nell'antecedente (˅I)

˫

X,α γ

˫

X,β γ

______________________

˫

X,α˅β γ

Se da due proposizioni diverse deriva la stessa conclusione, allora dalla disgiunzione delle due deriva la stessa

conclusione. In altre parole, se una conclusione deriva dalla verità di una premessa e da quella dell'altra, sicuramente

deriva dalla verità di una o l'altra premessa. Per esempio: Io so che oggi c'è brutto tempo perché piove e perché è

coperto e anche perché piove e le nubi sono nere, quindi, se io so che oggi piove e che è coperto o le nubi sono nere,

allora so che c'è brutto tempo.

15 - Se si applicasse la regola della negazione minimale alla regola della negazione classica canonica, si otterrebbe strettamente parlando che X ˫ ¬¬α

13

Regola di introduzione della disgiunzione nel conseguente (I˅)

˫ ˫

X α X β

______________________ ______________________

˫ ˫

X α˅β X α˅β

Se una conclusione deriva da una serie di premesse, allora dalla stessa serie di premesse deriva quella conclusione o – in

modo contingente, insomma – anche un'altra conclusione. Per esempio: Io so che oggi piove e dunque c'è brutto tempo,

quindi, se io so che oggi piove, allora so che c'è brutto tempo o l'erba è bagnata.

Regola di introduzione dell'implicazione (I→)

˫

X,α β

_________________________

˫

X α→β

Se da una proposizione deriva una conclusione, significa che la prima implica la seconda. Per esempio: Io so che piove

e che non c'è il sole e dunque che c'è brutto tempo, quindi, se io so che piove, allora so che dal fatto che non c'è il sole

deriva il fatto che c'è brutto tempo.

Regola di eliminazione dell'implicazione (E→)

˫

X α→β

_________________________

˫

X,α β

Se una proposizione ne implica un'altra, allora il suo antecedente fa derivare il suo conseguente. Per esempio: Io so che,

se penso, allora esisto, quindi io so che penso e perciò esisto.

Regola di introduzione del quantificatore universale nell'antecedente (ⱯI)

˫

X,α β

____________________________

˫

X,Ɐx(α) β

Se da una proposizione ne deriva un'altra, allora dalla premessa, considerando ogni possibile variabile che ci compare o