Limiti, potenze, teoremi fino ad esponenziali

LIMITE

Si dice che an TENDE AL LIMITE l

Per ogni intervallo centrato in l, esiste un indice (che dipende dall'intervallo) tale che per tutti gli indici successivi i valori di an stanno nell'intervallo.

es. an = 1/n

(perché nϵ>0)

Teorema

Il limite, se c'è, è unico.

dim. Per assurdo, supponiamo che l₁≠l₂

Supponiamo che l1 < l2, la condizione che definisce il limite deve valere ∀ϵ>0.

scelgo ϵ in modo che non hanno intersezioni

ovvero l1 + ϵ < l2 - ϵ

lim_n→+∞ a_n = l₁ → ∃n_ε,1 ∀n>n_ε,1 a_n ∈ (l₁-ε, l₁+ε)

lim_n→+∞ a_n = l₂ → ∃n_ε,2 ∀n>n_ε,2 a_n ∈ (l₂-ε, l₂+ε)

Se n > n_ε,1, n_ε,2

IMPOSSIBILE

allora IL LIMITE È UNICO.

Una successione può non avere un limite. Es.: a_n = (-1)ⁿ

è una successione periodica

xk= gli intervalli non hanno p.ti in comune

x⠀equivalente a "tende a"

lim_x→+∞ a_n = l ⟺ a_n CONVERGE a l

Teorema

lim_n→+∞ a_n = l ⟹ ∀n_k : lim_k→+∞ a_nk = l

Es. a_n = (-1)ⁿ ha sottosuccessioni costanti (e infinite)

a_2k = (-1)^2k = 1 ⟹ lim_k→+∞ a_2k = 1

a_2k+1 = (-1)^2k+1 = -1 ⟹ lim_k→+∞ a_2k+1 = -1

2^a osservazione

a_n ≤ b_n

lim_{n → +∞} a_n = l_a

lim_{n → +∞} b_n = l_b

quindi

se a_n ≤ b_n definitivamente,

lim_{n → +∞} a_n = l_a

lim_{n → +∞} b_n = l_b

allora l_a ≤ l_b

Teorema dei 2 carabinieri

a_n ≤ b_n ≤ c_n definitivamente

lim_{n → +∞} a_n = l

lim_{n → +∞} b_n = l

⇒ lim_{n → +∞} b_n = l

∀ n > n_εa, n_εc

l - ε < a_n ≤ b_n ≤ c_n < l + ε

lim_{n → +∞} b_n = c

f: E→ℝ

_def f ∈ ℝ UNITATA ⟺ Ɐ I = [e,d] : f(E) ≤ I

⟺ ∃ e,d . e ≤ f(x) ≤ d Ɐ x ∈ E

oppure se ∃ e,d minoranti e maggiorante

va bene anche se E = ℕ e quindi parlo di successione

___________________________

y = d

[grafico]

___________________________

y = e

ALGEBRA DEI LIMITI

Teorema

lim _n→+∞ a_n = l_a ∈ ℝ

lim _n→+∞ b_n = l_b ∈ ℝ

{

(1) lim _n→+∞ (a_n + b_n) = l_a + l_b

(2) lim _n→+∞ (a_n ⋅ b_n) = l_a ⋅ l_b

diversa scrittura del limite (compatta):

a_n → l_a

b_n → l_b

a_n + b_n → l_a + l_b

a_n ⋅ b_n → l_a ⋅ l_b

Corollario

a_n = k

b_n → l_b

k ⋅ b_n → k ⋅ l_b , e particolarmente

vero con k = -1

a_n = -1

b_n → l_b

→ -b_n = -l_b

③

a_n → l_a

b_n → l_b

→ -b_n → -l_b, quindi a_n - b_n = a_n + (-b_n)

a_n - b_n = l_a - l_b

l_a + (-l_b) = l_a - l_b

Teorema

④

a_n → l_a

b_n → l_b ≠ 0

→ a_n / b_n

l_a / l_b

[grafico]

l +

l_a = l +

l -

y = l

lim_n→+∞ a_n = +∞ ⟷

1. lim_n→+∞ ¹/_an = 0
2. a_n > 0 def.mente

a_n = ⁿ²⁺¹/_n²+1

1. lim_n→+∞ ¹/_an = 0
2. a_n > 0 def.mente

a_n diverge ⟷ lim_n→+∞ a_n = +∞ oppure lim_n→+∞ a_n = -∞

Teorema

grd(P) > grd(Q) ⇒ ^P(n)/_Q(n) diverge

P(n) = α_hn^h + term. di grd inferiore ⇒

Q(n) = β_ln^l + term. di grd inferiore ⇒

grd(P) ; grd(Q)

^P(n)/_Q(n) diverge

• +∞ se α_hβ_l > 0
• -∞ se α_hβ_l < 0

Teorema

grd(P) = grd(Q)

lim_n→+∞ ^P(n)/_Q(n) = ^α_h/_βh ≠ 0

grd(P) ; grd(Q)

lim_n→+∞ ^P(n)/_Q(n) = 0

lim_n→∞ P(n) = lim_n→∞ P(n)

P(n)----- con Q(n)=1Q(n)

lim_n→∞ P(n)---------- = ^+∞1 (se coeff. )

lim_n→∞ P(n)--------- = ^-∞ (se coeff. )1

Es.lim_n→∞ n⁵ - 7n² +1 = +∞

lim_n→∞ 5n² + 2 = -∞

Successioni definite per ricorrenza