Limiti parte 1 con definizioni, dimostrazioni, teoremi, notazioni, osservazioni, corollario ed esercizi

Limiti

Limiti di successioni:

2 ∈ ℕ → ℝ

Successione = funzione con dominio ℕ

1en ∈ ℝ

Es. 2n = nⁿ ∀n = 1

Successioni definite per algoritmo (induttivo)

2n + 1 < 2 + 2

Proprietà del limite:

Data una successione (2) vogliamo dare senso alla frase "per valori di n grandi 2 si avvicinano ad un valore limite 2εℝ"

∀ε>0 ∃n∈ℕ talo che ∀n>n vale |2n - 2| ≤ ε

Riscriviamo:

La successione (2n) converge al limite 2εℝ per l che tende a +∞

∀n>n: 2εℝ

Risolvendo: 2 -1≤ε → ε≤3m -2 ≤ε ⇔→ ε - ε|≤2 ≤ε + ε

Es. fisso ε = 100

Cerco n tal che ∀n>n; n = 100

Chi c'è in buono? n=101

ε = 1 → nР:100:0 → n = [100:2.2+1]

Attenzione!!!

Il limite non esiste sempre!

Es. 2 = (-1)¹

Non ha limite:

Non esiste 2εℝ tal che ∀ε>0 ∃n tal. che ∀n>n |2¦ -2| ≤ ε

∀εℝ ε>0 ∃ε tal che ∀n>n; |2−2|>ε

Cas (۱) sep|2ε (101): V'n cerca n, sintomas ∃2 n(1..1 n)

n ∈ pari

n è dispari n=2n+1+2

Def: Se (a_n) non ammette limite l∈ℝ si dice successione non convergente

es. a_n=1/n

l=2im a_n

n∈ℕ

Teorema unicità del limite

Sia (a_n) una successione convergente avrà: lim a_n ∈ unico n→+∞

Dim. (x assurdo)

(a_n) converge a due limiti l₁ e l₂

scelgo ε < (l₁ - l₂)/2

∃n₁ ∀n ≥ n₁ |a_n - l₁| < ε <= l₁ - l₂ <= ε K < l₁ e a_n < l₁ + ε

∃n₂ ∀n ≥ n₂ |a_n - l₂| < ε <= l₂ - l ∀ ^⇒ a_n > l₂ + ε**

∀n ≥ max {n₁, n₂}

(a_n e l₁ + l₂)/2

l₁ + l_{2 **} ⇒ a_n = l

Contraddizione

Def:

Dato (a_n) una proprietà sui numeri naturali, diciamo che (a_n) vale definitivamente (a_n)↔∃n≡ ⋁(R(n_n) vale

es. n/2 lim∞ definitivamente: si scelgo n̄ = 0 ∀n ≥ n: lim es. logn/n+2 ^★★ definitivamente: si logn/n+2≥1 vale se logn+7.1≥1 → 2.2n+1 + log⁡n=1n

∪ = 2 N̄7.1=0

quindi ∀∈ℝ {n_in}

⇒ limn → ∞ a_n e l ∀l∈ℝ {n - 1 < a_n - _l}

definitivamente

Def:

(a_n) successione, come per le funzioni

1. (a_n) limitata superiormente: se ∃M∈ℝ c.c a ≤ M void (b∈ℕ: n∈ℕ, limsup)
2. (a_n) limitata inferiormente: ∃M loci if a_n lim ∪ lim ∑
3. (a_n) limitata se e solei qualo: limit ≤ Nederda ≤ n∈ℕ

Teorema successione comptrìona

(a_n) BGC convegon previous ∀l∈ ℝHr. uguave allimitata

Dim

Step 1 convergenza defin. Inonen liminata

Step 2 definitivamente limitata ∞ limitata

Step

(a_n) e defin. limitata ⇒ ∃∈ |: ∀∈ ℝc inunitate ⇔ ∃U > 0

∋∀:ε:ε✷:∀n≥n:∃U >0

1. l∈ℝ
2. ∀€:∀n➡∞ε, εcc endgent eyes
3. brook ^áll cc ^triv∃

no⇒stepp on (only) _∀l∈ℕ

Step

Step 2 ℋ definitivamente Unanch ^é 0 negli ∧

∞ 

vedi ≔ ∣ _ℝ⋀ ε. limitata ^{∀len=∪∞}

M  − max[|b,1|,|b|=1|] lim, ε infirm vel N

P infinito value vrst≡k ☰M..− xerM

∪=∂1 ∞

M

convergenza con ● inimitataTнe uspnojjingevenolAgnA

non limitata ⇒ non converge

Se lim an/bn = +∞ allora lim bn = 0

n→+∞ n→+∞

Se lim an/bn = 0 allora definitivamente allora lim an = 0

n→+∞ n→+∞

Se an≥0 definitivamente allora lim an = 0 ⇒ n→+∞ an = 0

n→+∞

IMPORTANTE!!!

Ogni (an) successione si dice INFINITESIMA se lim an = 0

n→+∞

Es: an = 1/n

(an) è successione INFINITA se lim an = +∞

n→+∞

Somma su unità fitte 21.10.22

(an), (bn)

lim an = a∈ℝ lim bn = b∈ℝ

n→+∞ n→+∞

∃ lim an+bn = a+b

Def: fisso ∃ε₀ corpo R(ε) te un'int atto: ∃ε s.t ∀n>n

Usiamo ie ipotesi:

∀ε₁ ∃ n₁ t.c. ∀n≥n₁ |an - a|n₁ n>/n₂

ε= max(ε₁, ε₂). ∀n > ᾶn

|a+b- (an+b₁)| = |an-a+bn-b| ≤ |an-a|+ |bn-b|basta che ε₁+ε₂≤ε

Es. ε₁=ε₂ = ε

Limite del reciproco

Se an·bn = +∞ allora lim 1/an = 0

n→+∞

Def: fisso ∃ n₁ t.c ∀n≥n | -ε ≤ n ≤ ε

dall'ipotesi sappiamo che ∀ M>0 ∃m∞ t.c ∀n>n mn> M

basta prendere M≥0 t.c 1/c n n>γ 1/c ≤ ε

Limite del reciproco (⟘)

∃ lim an = 0 ∧ an ≥0 definitivamente allora lim 1/an = +∞

n→+∞ eng n→+∞

Def

(a_n), (b_n) successioni. Sono asintoticamente equivalenti se e solo se lim _n→+∞ a_n/b_n = 1

Note

a_n ∼ b_n equivalenza asintotica

(a_n), (b_n) successioni

Diciamo che (a_n) è un o piccolo dei (b_n) e scriviamo a_n = o(b_n) per n→+∞

Se lim _n→+∞ a_n/b_n = 0

a_n infinitesima allora a_n = o(1) per n→+∞

a_n = o(b_n) se esiste c_n con lim _n c_n = 0 e a_n = c_nb_n

(c_n) indica una generica successione infinitesima per n→+∞

Fatto

Sono equivalenti:

1. a_n ∼ b_n per n→+∞
2. a_n = b_n(1+o(1)) per n→+∞
3. a_n = b_n + o(b_n) per n→+∞

Allora

• lim _n→+∞ a_n = C