Lezioni di Fisica del nucleo

D D K K

traie0oria. Voglio definire la densità di carica ele0rica associata a questa par6cella.

(̅

Si definisce come , ) = (̅ − ̅ ())

D D D

∑

Per più par6celle avrò (̅ , ) = ( ̅ − ̅ ())

V D D

̅

( ∑

La densità di corrente ele0rica è ̅ , ) =

š ()(̅ − ̅ ())

D D K D

Operatore densità di carica ele0rica = (̅ − ̅ ())

°

K D D

D∗ & #

( ) ( ) | (̅ )|

Valore di aspe0azione della densità di carica ele0rica < > = ± š =

° °

∫

K K D K D D D

Osservazione

Consideriamo il momento di dipolo ele0rico per un sistema quan6s6co. ̅

# #

| (̅ )| | (−̅ )| )

Se è un autostato di parità avrò

= (̅ → (−̅ ) = 0 ( = 1)

D D D

Se ho un sistema fisico per cui il momento di dipolo è nullo, posso dire che gli autosta6 di quel sistema sono

autosta6 di parità e viceversa.

Per tu> i nuclei il momento di dipolo è ele0rico è 0. Infa>, il nucleo è una distribuzione di carica ele0rica.

Il nucleo è faAo di autosta= di parità.

Osservazione )

Consideriamo il caso in cui la densità di carica ele0rica abbia simmetria sferica. (̅ = () =0

Se una distribuzione di carica ele0rica ha simmetria sferica il suo momento di quadrupolo ele0rico è nullo. 9

Se di un nucleo si misura l’energia potenziale e si trova il momento di quadrupolo diverso da zero allora il

nucleo non ha forma sferica.

Osservazione

Spesso per i momen6 di quadrupolo ele0rico si normalizza questo rispe0o alla carica ele0rica elementare.

1

=

Nel caso invece dell’energia potenziale magnetosta6ca posso fare un’operazione simile:

sviluppo in serie di Taylor il potenziale ve0ore e o0engo

_̅ ̅ …(0)

&

= − ∙ = −̅ ∙ + ⋯

∫

Cl / " ̅ &

≡ × )

∫(̅

#/

Primo contributo all’energia potenziale di una distribuzione di corrente ele0rica in un campo magne6co.

̅

è il momento di dipolo magne6co associato alla distribuzione di corrente .

" " V V š

&

() ) +

= ̅

š (̅ −

š =

š ×

š =

š ×

š =

∫ H D K K D K K K K K

#/ #/ #) / #) /

+ +

Se ho pari, i mul6poli magne6ci sono nulli.

Serie binomiale, esponenziale di operatori/matrici d(d*")

d #

(1

- Serie binomiale per x piccolo

+ ) = 1 + + + ⋯

#

Esempio fisico: u6lizzo per dimostrare in modo approssimato il limite non rela6vis6co

!

*

( (

Y " Y

(

# con

( − 1) → = j1 − k ≪ ~1 +

( (

/ # /

" H

j

H -

∑

- Sviluppo in serie di potenze = = lim j1 + k

9i7 9! -

-→j

Questo converge per tu> I numeri reali e complessi. Può essere esteso al caso di matrici e operatori.

"

j

( 9 ( 5P (

∑

Esempio fisico - A matrice (det

= = )

9i7 9!

"

j

∇ 9

∑

- consente di ragionare su

= ∇

9i7 9! "

(4Z∙∇) j 9

∑

- = (

… ∙ ∇)

9i7 9!

Questo u6le perché questo è lo sviluppo in serie di Taylor quando si espande intorno

ad la funzione Questo operatore determina la traslazione di questa

(̅ + …).

funzione, genera la traslazione associata alla funzione; (4Z∙∇)

Sviluppo in serie con ve0ore a 3 parametri con6nui

… (̅ + …) = (̅ )

D

̅¸ ̅¸

Operatore quan6tà di moto: = −ℏ∇ → ∇= ℏ

D p Z

ℏ:̅ ∙4

(4Z∙∇)

=

Serie di Fourier

A seconda del contesto posso scriverla in diversi modi:

j

∑ (

- Forma trigonometrica () = + cos + sin )

2 9 9

9i"

j D9H

∑

- Forma complessa () =

9

9i*j

I coefficien6 di Fourier avranno legami tra le due forme in base al contesto.

Z

j D 9 ∙H̅

) ∑

Campo a notazione complessa: (̅ =

Z

9i*j 9 9Z∙H̅ 9Z∙H̅

̅(̅ ∑̅ ̅(̅ ∑̅

D D

) )

Per un campo ve0oriale posso scrivere = = ̂

9Z 9Z 9E

E

̅ ̅ ̅ ̅

Dove definisco una base per i coefficien6 nello sviluppo = ̂ = ̂ + ̂

9Z 9Z 9Z 9 9 9 9

! ! ( (

/ /

̅ è un ve0ore che si definisce in diverse basi.

9Z 10

Se ho un campo ve0oriale ho un’espansione che coinvolge il fa0o di avere un campo, quindi legata alla

variabile x del campo, e dalla natura tensoriale del campo, coinvolge lo sviluppo in componen6 di un campo

tensoriale. 9Z∙H̅

D

Per un campo ve0oriale, il set completo , espansione in onda piana, richiede anche la base che mi

occorre per sviluppare il rango tensoriale o spinoriale che sto considerando.

Osservazioni 9Z∙H̅ 9Z∙H̅

9∗

D *D

)

Se f è reale (̅ = ∑( + )

9

Se scrivo l’espansione come un’ogge0o con il suo complesso coniugato, mi da una funzione reale.

9Z∙H̅ 9Z∙H̅

D *D

)

Se f è complessa (̅ = ∑( + )

9 9

Per la funzione complessa non ho questa proprietà, a e b non sono lega6 tra di loro.

Se funzione è reale o complessa quindi, dovrò avere coefficien6 opportuni.

Osservazione 9Z∙H̅

D

()

Se è campo dinamico

(̅ , ) (̅ , )∑

9

Ho dipendenza, oltre alla variabile spaziale, dal tempo. I coefficien6 dello sviluppo devono dipendere anche

loro dalla variabile tempo. I coefficien6 di Fourier assumono valore di variabili dinamiche ((), ()).

Serie in basi complete ortonormali di spazi

Supponiamo di avere a disposizione un set di funzioni ().

-

è insieme delle variabili indipenden6 (con6nue/discrete) è insieme degli indici (discre6/con6nui).

Se è un set può essere considerato completo e ortonormale, allora posso esprimere ogni funzione che

appar6ene allo spazio considerato come -∗ F

( )(′)′

dove

() = ∑ () =

- - -

-∗ F F

• ∑ ( ) () )

Completo: = ( −

- -

-∗

• () ()

Ortonormale: =

∫ - )-

Osservazione

Se la funzione considerata è funzione, oltre di essere funzione del set di variabili indipenden6 su cui si

ragiona in relazione allo spazio funzionale considerato, è funzione di altre variabili indipenden6, allora anche

()

il coefficiente dello sviluppo dovrà dipendere da questa variabile. (, ) →

-

Se non conosco la funzione in ques6one, come nella maggior parte dei casi in fisica, le equazioni servono per

avere equazioni per i coefficien6.

In questo caso ricade il caso in considero un campo in cui il ve0ore posizione è espresso in coordinate

̅

sferiche (, , ).

Un esempio di set completo, che mi consente di esprimere la dipendenza funzionale dalle variabili angolari

0) D)q

(, (, (cos

è l’esempio del set completo dato dalle armoniche sferiche.

) ) = )

0) 0)

Posso espandere in serie la dipendenza angolare della funzione facendo uso del set delle armoniche sferiche.

Le armoniche sferiche dipendono da e La dipendenza da e è una dipendenza fa0orizzata. La

.

dipendenza da teta è data dai polinomi associa6 di Legendre e la dipendenza dalla variabile è del 6po

variabile complessa.

Consideriamo quindi l’espansione in armoniche sferiche di una funzione

) ∑ () ∑ ∑

con

(̅ = ( , ) : (0, +∞) : (−, +)

0,) -0 0) 0 )

Se la funzione è funzione del ve0ore e uso l’espansione in armoniche sferiche per quanto riguarda e i

̅ ,

coefficien6 dello sviluppo saranno funzioni della variabile di coordinata radiare .

Osservazione

Se ho (, ) →

07 11

Esempi di fisica classica #

)

Potenziale generato da , densità di carica eleArica

(̅ ∇ ø = −4

Consideriamo una distribuzione di carica ele0rica e mi chiedo come è fa0o il potenziale ele0rosta6co e

scalare generato da questa distribuzione di carica ele0rica.

La risposta è data dalla soluzione delle equazioni di Poisson, legge di Gauss sos6tuita.

F)

r(H̅ & F

)

La soluzione di questa equazione per il caso esplicito è ø(̅ =

∫ 0

|H̅ |

*H̅

F

Per sapere cosa succede in devo quindi sapere anche .

̅ ̅ F

Mi chiedo allora se sia possibile separare la dipendenza da e .

̅ ̅

"

Per rispondere considero uno sviluppo in serie della funzione di armoniche sferiche

0

|H̅ |

*H̅

2

" P

j

∑

= (cos )

1+. 0

0i7 25!

0

|H̅ |

*H̅ P

134 g.

Invece di considerare gli angoli assolu6 considero l’angolo rela6vo

Lo sviluppo in serie richiederà di usare solo i polinomi di Legendre invece delle armoniche sferiche. La prima

parte è quella radiale. F

Faccio l’assunzione che , mi trovo fuori dalla distribuzione di carica, posso quindi riscrivere

>

2

P

j

∑ (cos )

0

0i7 25!

P

Teorema di addizione delle armoniche sferiche: dimostra la seguente relazione. Si basa sul fa0o che è

(,

funzione di e posso sviluppare il polinomio in termini di armoniche sferiche.

)

%t u0 ∗ F F

∑ ( )

(cos ) = , (, )

0 0)

)*0 0)

#0u" " "

j 0 ∗ F F

∑ ∑ ( )<