Introduzione alle matrici con eliminazione di Gauss e studio del determinante

Algebra Lineare

Introduzione ai sistemi lineari

Def Un sistema lineare e un insieme di equazioni di primo grado ( = lineare) considerate tutte simultaneamente

Es:

• lineare

  non lineare

Esempio esplicito: Bilanciare la reazione chimica

C₇H₈ + HNO₃ ⟶ C₇H₅O₂N₅ + H₂O

Se si usa 1 molecola di C₇H₈, quante molecole di HNO₃ servono?

1 C₇H₈, x HNO₃, y C₇H₅O₂N₅, z H₂O

C 7 = 7y

H 8 + x = 5y + 2z

N x = 3y

O 3x = 5y + z

risolvo per sostituzione

y = 1

8 + 3 = 5 + 6

x = 3

9 - 6 = 3

quest sistema lineare ha esattamente una soluzione

(x y z) ( 3 7 3)

Esempio esplicito: In un bar

1 caffè + 2 spremute, 1 toast = 10€

1 caffè + 3 toast = 10€

1^o domanda: 2 caffè + 2 spremute + 4 toast = 15€

x + 2y + 3z = 10

x + 3z = 10

2x + 2y + 4z = 15

2y - 2z = 0

x = 10 - 3z

2x = 15 - 6z

risolvo 20 - 6z = 15 - 6z

conti trovati

1 soluzione

Def Un sistema lineare è detto compatibile se ha almeno una soluzione,

incompatibile se non ammette soluzioni.

Esempio esplicito: in un bar

1 caffè + 2 spremute + 1 toast = 10€

1 caffè + 3 toast = 10€

2° domanda: 2 caffè + 2 spremute + 4 toast = 20€

x + 2y + 3z = 10

x + 3z = 10

2x + 2y + 4z = 20

2y - 2z = 0

x - 10 - 3z

2x = 20 - 6z

7 = z

x = 10 - 3z

26 = 68 - 20 96

0 = 0

Dato che l'eq. 0 = 0 è inutile, il sistema iniziale è equivalente

al sistema semplificato

{

y = z

x = 10 - 3z

}

Def Due sistemi lineari sono equivalenti se hanno esattamente le stesse soluzioni

Questo sistema semplificato è compatibile e ha ∞ (infiniti) soluzioni:

z "variabile libera", chiamiamola z = t ∈ R

tutte le terne ′

t ∈ R

OSS x — variabile libera

7 = z

x = 10 - 3z

(

)

t ∈ R

Prodotto di matrici

In alcuni casi, per fare il prodotto di due matrici, servono dimensioni compatibili:

Casofacile: prodotto di una matrice riga per una matrice colonna

A = (a₁, a₂, ... a_n) ∈ M_1,n(ℝ)   B = ^(b₁)/_(b2) . . . ^(b_n) ∈ M_n,1(ℝ)

A · B = (a₁, a₂, ... a_n) ^(b₁)/_(b2) . . . ^(b_n) = a₁b₁ + a₂b₂ ... a_nb_n = ^{(a₁ b₁)}

Casointermedio: prodotto matrice per vettore

A ∈ M_m,n(ℝ)   x ∈ ℝⁿ

A ∙ x = b ∈ ℝⁿ

^{(a₁₁ a₁₂ ... a_1n) (x₁)} = ^{(a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n)}  cioè il prodotto scalare per il vettore riga: primo con il vetore colonna x. per ogni 1 ≤ i ≤ n si ottiene un vettore b ∈ ℝⁿ di termini noti.

Quindi un sistema lineare di m equazioni e n incognite può essere scritto in forma matriciale Ax = b

A ∈ M_m,n(ℝ) matrice dei coefficienti.

x ∈ ℝⁿ vettore delle variabili.

b ∈ ℝ^m vettore dei termini noti.

ex. A = ^{(3 0 2)}   b = ⁽⁰⁾   risolvere A . ^(x) = b

^{(1 0 1) (5 )} = ^{(3x + 2z) (0 )}

(1) ^{(0 2 1) (x = 2z) (3x +1 y + 2z)} &(emsp;con  Ax = L

Se b = 0 , il sistema è detto sistema lineare omogeneo

Casogenerale del prodotto di matrici:

A ∈ M_m,n(ℝ) , B ∈ M_n,p   ex   A · B = C ∈ M_m,p

Riassumendo, le operazioni ammesse sulla matrice completa (dette operazioni elementari) sono:

• scambiare due righe
• moltiplicare una riga per un numero diverso da 0
• sostituire una riga con la somma della riga stessa e di un’altra riga

Def. Si chiama eliminazione di Gauss per sistemi quadrati il procedimento di trasformazione di un sistema quadrato S (con matrice A) nel sistema equivalente triangolare S’ (con matrice A’) mediante operazioni elementari.

ex.

(^{1 2}_{0 0}   ³₀) ( ¹₀ )        x^{0 0}_{0 0} ¹₀ )        z

Matrice completa   1^{(2 1_{0 0}   1 . ._{0 1})}oggetto/fare  priminotte _elementari 1^{(0₀ 1₀)}

1^{riga invertita}

 → 1^{sola soluzione}

Def. Data A^{∈ M_n} (R) quadrata chiamiamo A’ la matrice triangolare ottenuta da A tramite eliminazione di Gauss, A é detta non singolare se gli elementi sulla diagonale principale di A’ sono tutti non nulli. Altrimenti A é detta singolare.

ex.A=^{(1 1₀ 1₀   121₀ 0)}A’=^{(1 2001 01) → A è singolare}

Calcolo dell'inversa

A ∈ M_n,n(R) invertibile

step 1: cof A = matrice composta dai i cofattori di A

step 2: (cof A)^T trasposta della matrice cofattori

step 3:

1. A^-1 = 1/det A (cof A)^T
2. caso 2x2: A =
3. A^-1 = 1/(ad - bc)