Interpolazione

Inoltre la distribuzione dei nodi di Chebyshev è quella che rende minima la quantità

Questo a sua volta minimizza la maggiorazione dell’errore. In pratica, con i nodi di Chebyshev il mal

condizionamento è più contenuto.

Si nota che se pn è il polinomio di interpolazione relativo ai nodi di Chebyshev, per il teorema di

Bernstein Se f ([a,b]) la successione pn converge uniformemente a f.

∈C1

• polinomi di Chebyshev

Hanno n zeri reali distinti che coincidono con i nodi di Chebyshev (per n punti). Inoltre i polinomi di

Chebyshev di grado crescente sono linearmente indipendenti e possono essere usati come base.

(

coS)2k

Una radice di questo polinomio è un nodo di Chebychev ed è del tipo: Xk =

* ba

ab

Su [a,b] diventano: k 1

, M

+ =

=

k ...,

1.6 condizionamento dell’interpolazione polinomiale

Il condizionamento del problema dell’interpolazione è legato a come gli errori nei dati si propagano nel

polinomio interpolante. E((i(x))

• Funzione di Lebesgue (Λn): è definita come è la sua norma uniforme

(Mnlo +z

b] è la costante di Lebesgue, un indicatore del condizionamento del

maxx([a (Li(x))

= ,

problema.

• Crescita di Λn: 2h

→∞,

– Con nodi equispaziati, per n . Questo indica che l’interpolazione polinomiale con nodi

1 = nen(n)

n

equispaziati `e un problema mal condizionato per n grande.

→ ((n)

– Con nodi di Chebyshev, per n ∞ . Questo mostra che i nodi di Chebyshev riducono

=

1n

,

significativamente il mal condizionamento.

1.7 Differenze divise - polinomio interpolate nella forma di newton

La rappresentazione in forma di Newton offre vantaggi in termini di complessità computazionale e nella

possibilità di aggiungere nuove coppie di dati riusando i calcoli precedenti.

Differenze divise

Proprietà: Le differenze divise sono simmetriche rispetto ai loro argomenti (l’ordine dei nodi

non cambia il risultato). L’n-esima differenza divisa f[x0,...,xn] coincide con il coefficiente di

xn nel polinomio di interpolazione di grado al più n.

Polinomio interpolate di Newton

Il polinomio di Newton si presenta nella seguente forma:

Differenza ore Ordine

a 2

a f

orinen

L’espressione del polinomio di Newton è conseguenza del seguente teorema:

Poiché il polinomio di interpolazione di grado al più n è unico, il polinomio di Newton è il

polinomio di interpolazione di f(x) in x0,...,xn.

I punti x0,x1,...,xn possono essere ordinati in modo arbitrario. ~ evita

Si fenomeno di Runge

W

differenze divise V

L Si tratta di un metodo efficace per valutare un polinomio di

riduce la complessità computazionale a O(n) newton evitando calcoli inutili

somme e n prodotti per la valutazione, e O(n2) per

il calcolo delle differenze divise. Questo è più

efficiente della forma canonica e di Lagrange

Si parte dal fondo riscrivendo il polinomio in forma annidata:

È molto uitle per l’implementazione, poichè dimezza il costo computazionale rispetto al polinomio di

Lagrange.

1.8 interpolazione mediante spline

Le funzioni spline sono polinomi a tratti che soddisfano determinate condizioni di continuità delle

derivate ai punti di raccordo (nodi).