Teoria dei segnali - campionamento, conversione A/D e D/A e interpolazione

CONVERTITORE A/D:

La conversione A/D si compone di due operazioni distinte:

• CAMPIONAMENTO: tale operazione consente di ottenere un segnale TD x(n) = x (nTc), ottenuto

a

prelevando da x (t) i suoi campioni equispaziati nel tempo di una prefissata quantità Tc € R.

a

• QUANTIZZAZIONE: poiché x (t) è un segnale ad ampiezza continua, il codominio del segnale TD

a

x(n) ottenuto a valle del campionamento è generalmente un sottoinsieme continuo di R, per cui x(n)

non è ancora un segnale digitale. A partire da x(n), l’operazione di quantizzazione consente di

ottenere un segnale TD x (n) che può assumere solo un numero finito di possibili valori.

q

CONVERTITORE D/A:

La conversione D/A è l’operazione duale della conversione A/D e realizza la seguente operazione:

• INTERPOLAZIONE: a partire dal segnale digitale x (n), tale operazione consente di

q

ottenere un segnale analogico, mediante interpolazione tra due qualsiasi campioni

consecutivi di x (n).

q

CAMPIONAMENTO IDEALE:

L’operazione di campionamento consiste nel convertire un segnale TC in un segnale TD, ovvero:

x(n) = x (nTc) –

a

dove Tc è detto periodo o passo di campionamento, e il suo reciproco f = 1/Tc è la frequenza di

c

campionamento.

Si osservi che il campionatore è un sistema ibrido, ovvero che ha in ingresso un segnale TC e

produce in uscita un segnale TD.

Le questioni teoriche fondamentali connesse con l’operazione di campionamento sono le seguenti:

• E’ possibile ricostruire esattamente il segnale analogico x (t) a partire dalla sequenza x(n)? O,

a

meglio, il sistema campionatore è invertibile?

• Se vero, in che modo è possibile riottenere x (t) a partire da x(n)? Qual è il sistema inverso del

a

campionatore?

Rispondiamo al primo quesito.

In generale, se non imponiamo alcun vincolo, la sequenza x(n) non consente di determinare

univocamente (potrebbero esistere diversi segnali interpolanti, e quindi esattamente) il segnale

analogico x (t).

a

Vediamo però che, la perfetta ricostruzione di x (t) può avvenire soltanto se sono soddisfatte alcune

a

condizioni aggiuntive.

Condizione di Nyquist: Una condizione necessaria riguarda il periodo di campionamento Tc (o

equivalentemente, la frequenza di campionamento fc = 1/Tc). Per poter ricostruire un segnale

analogico x (t) a partire dalla sequenza x(n) dei suoi campioni, occorre ridurre significativamente il

a

passo di campionamento. Poiché però la variabilità di un segnale nel dominio del tempo è legata

alla banda del segnale nel dominio della frequenza, ciò implica che deve sussistere una relazione tra

il periodo di campionamento, o equivalentemente, la frequenza di campionamento, e la banda del

segnale x (t). Detta W la larghezza di banda (monolatera) del segnale x (t), vedremo che la

a a

condizione addizionale da imporre e che fc >= 2W: cioè, maggiore è la larghezza di banda di x (t),

a

maggiore deve essere fc o, equivalentemente, minore deve essere Tc.

Teorema del campionamento o Teorema di Shannon: Per determinare, quindi, un unico segnale

interpolante, bisogna imporre delle condizioni aggiuntive al problema, ma tale condizione non

dovrà essere così restrittiva da rendere tale soluzione di scarso interesse pratico.

Per semplificare lo studio matematico del campionamento, è conveniente schematizzare il processo

in due stadi.

Il primo stadio effettua la moltiplicazione tra il segnale analogico x (t) ed un pettine di Delta di

a

periodo Tc, detto pettine campionatore ideale, il secondo stadio invece converte il segnale impulsivo

nel segnale TD x(n).

Il processo di campionamento è invertibile solo se si pone qualche restrizione sul segnale analogico

di partenza x (t). Il vincolo più semplice è quello che il segnale x (t) sia a banda rigorosamente

a a

2

limitata. (ad esempio x (t) = sinc o sinc ).

a

Come abbiamo visto in precedenza, un campionamento nel dominio del tempo corrisponde ad una

replica nel dominio della frequenza, pertanto lo spetto del segnale avrà un andamento periodico nel

dominio della frequenza, con repliche equidistanti di fc.

Osserviamo che, se 2W è la larghezza delle repliche e fc la distanza tra le stesse, si hanno allora le

seguenti situazioni:

• Se fc > 2W, le repliche di X (f) non si sovrappongono nel dominio della frequenza;

a

• Se fc = 2W, le repliche di X (f) si affiancano perfettamente nel dominio della frequenza;

a

• Se fc < 2W, le repliche di X (f) si sovrappongono nel dominio delle frequenza;

a

Si nota, che lo spettro X (f) del segnale di partenza può essere recuperato univocamente solo nei

a

casi 1 e 2.

A questo punto diventa intuibile che per recuperare lo spettro del segnale originario X (f) basta

a

effettuare un filtraggio passabasso ideale con frequenza di taglio maggiore di W (fine del primo

segnale) e minore di fc – W (inizio della prima replica).

CAMPIONATORE IDEALE

INTERPOLATORE IDEALE

INTERPOLAZIONE IDEALE:

Il teorema del campionamento consente di individuare le condizioni affinchè il campionatore sia un

sistema invertibile.

Tale teorema consente di stabilire anche qual è il sistema inverso del campionatore.

Il sistema inverso è quello riportato in figura, dove il convertitore n/delta realizza l’operazione

inversa del convertitore delta/n, associando ad ogni campione del segnale x(n) un impulso centrato

nell’istante di campionamento nTc e avente area pari proprio a x (nTc).

a

Il filtro di ricostruzione si può scrivere come:

da cui per antitrasformazione ricaviamo la risposta impulsiva di tale filtro:

Il legame i-u nel dominio del tempo consiste allora nella convoluzione tra h (t) e il segnale di

r

ingresso al filtro x (t), per cui si ha:

delta

L’espressione, che prende il nome di serie di Shannon, trovata in effetti restituisce x (t) = x (t) nelle

r a

ipotesi del teorema del campionamento, e quindi esprime il segnale x (t) direttamente in funzione

a

dei suoi campioni.

ALIASING:

Se la frequenza di campionamento fc non soddisfa la condizione di Nyquist, le repliche dello spettro

del segnale campionato X (f) si sovrappongono in frequenza, non consentendo più l’univoca

a

ricostruzione del segnale x (t). In questo caso si dice che il segnale all’uscita del filtro di

a

ricostruzione è affetto da aliasing.

CAMPIONAMENTO ED INTERPOLAZIONE IN PRATICA:

Quanto visto finora, si basa su alcune ipotesi non realistiche. Le ipotesi che richiedono rivisitazione

in un contesto più applicativo sono le seguenti:

• Il segnale campionato consiste di impulsi di ampiezza e durata finita;

• Il segnale da campionare non è a banda rigorosamente limitata.

• Il filtro di ricostruzione (interpolatore) non è ideale;