Appunti - interpolazione e approssimazione

Interpolazione polinomiale

Siano dati (n+1) punti x₀,..., x_n due a due distinti, e le immagini y₀, y₁ di quei punti tramite y_i=f(x_i). Il problema dell'interpolazione polinomiale non consiste nel calcolare il polinomio di grado.

Esistenza e unicità del polinomio interpolatore

Teorema di esistenza: Dati n+1 punti distinti x₀, x₁,..., x_n, il polinomio p_n(x)=Σ detto < x_k |- un polinomio di grado in x la moltiplicazione per uno scalare di questo, è somma di questi.

Teorema di unicità: Dati n+1 punti distinti: d_i: per ogni i esiste un unico ciascuno dei polinomi interpolatori: l_i(x)=Πx-/, costruire e unicità con matrice di Vandermonde.

Costruzione e unicità con matrice di Vandermonde

Infatti: Se p_n(x)=Σa_i grande d. Se p_n(x) è il polinomio interpolatore allora p_n(x)=Σ si definisce una matrice V=, detto il Vandermonde: Il tutto si riduce al sistema lineare Va=g. Si mostra poi che detV(p_n)=0 quindi Vandermonde è invertibile e dal teorema di Rouche-Capelli: esiste una e una sola soluzione.

Esempio

Calcolare il polinomio di grado base. Si applica la definizione dei l_n(x)=e quindi il polinomio interpolatore:=p_n(x)=Σ.

Errore di interpolazione

Teorema di: Se f10 compreso che ogni- finita a, siano a x tra due a due distinti di allora p₀(2-1)x_k. Allora ci calcola l'errore compreso interpolatore la funzione 2-1 al polinomio е: con il e intervallo punto contenente x=x_k.

Siano dati (n+1) punti x_i a due a due distinti, e le immagini y_i di questi punti tramite y_i=f(x_i). Il problema dell'interpolazione polinomiale in generale si concretizza nel calcolare il polinomio di grado al più n p_n(x) tale che p_n(x_i)=y_i.

Esempio: per grado n=1: dati x₀,x₁ e le loro immagini y₀,y₁, determiniamo il polinomio tale che p₁(x)=ax+b, p₁(x_i)=y.

Esistenza e unicità del polinomio interpolatore

Teorema di esistenza: dati (n+1) punti distinti x₀, x₁,...x_n, le immagini y₀, y₁,...y_n. Il polinomio... E il polinomio... Detto ciò, che si ottiene un polinomio di grado n, la moltiplicazione per uno scalare di questo, e somma di questi, non altera il grado. Infatti p_k(x)=y_k(∏_i=0,i≠kⁿ x-x_i / x_k-x_i) con un grado n. (0 se k=i)

Teorema di unicità: dati n+1 punti distinti x₀, x₁,...x_n le immagini y₀, y₁,...y_n il polinomio interpolatore tale che p_n(x_i)=y_i è al più uno. Dim: per assurdo si suppone esistano due polinomi interpolatori: Uno per λ ^i∞ p_n(x_i)=y_i, quindi (p-_n* - (p._n) dalla forma (x-x₀)(x-x₁),...) λ_i=λ_i'. Allora (x-x₀)(x-x₁)(x-x_n)) = 0 (i=0,...,n) che è ... polinomio...p_n-p_n'=0 in x₀,x₁,...,x_n quindi p=0 distruggendo possiamo dimostrare che p-_n=p-1.

Costruzione e unicità con matrice di Vandermonde

(Sim desay de var) (con yent) vect of... α₀+α₀x₁+α₀x₂+α₀x₃= y_n α_xix₀+α_x1x₁+α_x2x₂= y₁&natural;-&natural;

α₀x₀₀+α₁x₁+α₂x₃₁=y_n-x_nαx²+1 x²+2 x³=y_n-1 V=detta la Vandermonde+V=detta la...+y=det+a...V=

Esempio

Calcolate... di grado base che assume il... 0, x₁ -...(x₂, ...2=(x=1), x₃ y₌₉ ...x₁ e y₁)y.