Ingranaggi e Rotismi

A A

esempio, di avere due assi e che si intersecano in un

1 2 α

punto O . Per semplicità, assegniamo un angolo di incidenza

tra i due assi. Inoltre, supponiamo che il rapporto di

τ

trasmissione sia de nito come il rapporto tra i moduli delle

ω ω

velocità angolari e :

2 1

| |

ω

2

τ = | |

ω

1 ω A ω

Le velocità angolari possono essere rappresentate vettorialmente, con lungo e lungo

1 1 2

A di istantanea rototraslazione,

. Per descrivere la dinamica del sistema, consideriamo l’asse

2 α α α

due parti:

che divide l’angolo in e . La relazione tra questi angoli e il rapporto di

1 2

trasmissione è data da:

sin α

1 = τ

sin α 2

Questo implica che il rapporto di trasmissione in uisce direttamente sulla distribuzione degli

α α

angoli e .

1 2 scorrimento lungo l’asse di

Inoltre, è noto che, anche in questo caso, lo

istantanea rototraslazione è nullo. La velocità angolare totale relativa,

Ω , del moto rototraslatorio tra le ruote è data dalla somma vettoriale:

±

Ω = ω ω

1 2

Se rappresentiamo gra camente le velocità angolari come vettori

Ω

applicati ai rispettivi assi, possiamo determinare la direzione di

ω ω

tracciando le parallele ai vettori e . La risultante di questa somma

1 2

vettoriale rappresenta la direzione e il modulo della velocità angolare

totale.

fi fi fi fi fl

A questo punto, per determinare le super ci coniugate

A A

associate agli assi e , procediamo come segue. Da un

1 2

Ω

dell’asse

punto qualsiasi , tracciamo le perpendicolari agli

A A

assi e . Gli angoli di semiapertura dei coni coniugati

1 2 α α

corrispondono agli angoli e , calcolati in precedenza.

1 2

triangolo

Facendo ruotare un rappresentante una generatrice

intorno al proprio asse, otteniamo la super cie conica

A

l’asse

associata. Per esempio, per , la super cie conica è

1 A

generata triangolo

dalla rotazione del attorno a , e

1

A

analogamente per .

2

Le ruote di frizione risultano essere tronchi di cono. Per

due sezioni

determinarne la forma e le dimensioni, scegliamo

super cie conica dall’origine

della a distanze arbitrarie h O .

sezioni

Le ottenute rappresentano le basi dei tronchi di cono.

α

Ad esempio, se consideriamo un’altezza h e l’angolo , il

1

A

super cie

raggio della base della conica associata a è dato

1

da:

ρ = h ⋅ sin α

1 1 A

cono associato a

Analogamente, per l’altro , il raggio della

2

base è:

ρ = h ⋅ sin α

2 2 posti a contatto lungo una

Questi tronchi di cono, generatrice

comune, costituiscono le ruote di frizione. Il moto viene

trasmesso per attrito lungo la super cie di contatto. Questa

con gurazione garantisce che il rapporto di trasmissione sia

rispettato, grazie al continuo contatto tra le super ci coniche

tronche.

In conclusione, stabiliti i parametri geometrici e cinematici delle

super ci coniche e delle velocità angolari, è possibile progettare

e rappresentare le ruote di frizione in modo coerente e preciso,

garantendo l’e cacia della trasmissione del moto rotatorio.

ρ A

Abbiamo determinato che il raggio della sezione conica associata all’asse è pari a

1 1

h ⋅ sin α ρ A h ⋅ sin α

, mentre il raggio della sezione conica associata all’asse è , dove h

1 2 2 2

rappresenta la distanza del piano di sezionamento dal vertice comune dei due coni. Di

conseguenza, il rapporto tra i raggi risulta essere:

ρ sin α

1 1

=

ρ sin α

2 2

fi fi fi ffi fi fi fi fi fi fi

sin α

1 τ

Osserviamo che corrisponde esattamente al modulo del rapporto di trasmissione .

sin α 2

Pertanto, anche nelle ruote coniche, il rapporto di trasmissione può essere determinato come

rapporto dei raggi delle sezioni coniche ottenute mediante piani di sezionamento posti alla stessa

distanza dal vertice del cono.

Mi fermo qui nella trattazione delle ruote coniche, ricordandovi che, come già discusso nelle

lezioni precedenti, il meccanismo di trasmissione del moto si basa sull’attrito statico nei punti di

contatto delle super ci. Nel caso delle ruote cilindriche o coniche, tale attrito statico gioca un

ruolo fondamentale nel garantire la trasmissione del moto. Tuttavia, l’attrito statico ha un valore

μ F

massimo, che dipende dal coe ciente di attrito e dalla forza di chiusura , ossia la

N

componente della forza esterna applicata perpendicolarmente alle super ci di contatto.

Inoltre, la forza di contatto massima determina il massimo valore della potenza trasmissibile tra le

ruote. Questa potenza è proporzionale al prodotto della forza di contatto e della velocità relativa

tangenziale delle super ci nel punto di contatto. Poiché la forza di contatto è limitata dal valore

massimo dell’attrito statico, anche la potenza trasmissibile è limitata. Possiamo aumentare la

forza trasmessa agendo sul coe ciente di attrito (ad esempio, migliorando i materiali delle

super ci) o aumentando la forza di chiusura. Tuttavia, entrambi questi fattori presentano limiti

pratici: i materiali utilizzati hanno un coe ciente di attrito massimo, e la forza di chiusura non può

essere aumentata inde nitamente senza compromettere la struttura del sistema.

Un altro aspetto da considerare è che, pur assumendo super ci perfettamente rigide, nella realtà

queste tendono a deformarsi sotto carico, generando fenomeni aggiuntivi come lo

schiacciamento delle super ci di contatto. Tali e etti, se contenuti entro certi limiti, sono

generalmente accettabili.

Le ruote di frizione, per loro natura, o rono vantaggi signi cativi: sono semplici da costruire,

essendo solidi di rivoluzione facilmente realizzabili al tornio; sono silenziose durante il

funzionamento, poiché il moto si trasmette per attrito senza impatti o urti; hanno un buon

rendimento, dato dal rapporto tra l’energia fornita al sistema e l’energia e ettivamente trasmessa

all’esterno sotto forma di lavoro. Tuttavia, presentano due limiti principali:

1. Potenza massima trasmissibile limitata: la potenza trasmissibile è vincolata dal

valore massimo della forza di attrito, che a sua volta dipende dal coe ciente di attrito e dalla

forza di chiusura.

2. Mancanza di fasatura precisa tra gli alberi: sebbene in condizioni nominali il moto

sia trasmesso senza scorrimento, è possibile che si veri chi uno slittamento relativo tra le

super ci di contatto. Questo slittamento compromette la sincronizzazione (fasatura) tra i due

alberi, rendendo le ruote di frizione inadatte in applicazioni dove è richiesta una trasmissione di

moto rigorosamente sincronizzata.

Per superare questi limiti, si è sviluppata un’evoluzione del sistema basata sull’introduzione di

denti lungo la periferia delle ruote di frizione, trasformandole in ruote dentate. Il principio di

progettazione rimane simile:

1. Si calcolano le ruote di frizione necessarie, in base alla posizione relativa degli

alberi e al rapporto di trasmissione richiesto.

2. Si progettano e realizzano i denti sulla periferia delle ruote, in modo che le super ci

dentate possano ingranarsi correttamente.

fi

fi fi fi fi fi ffi ffi ff ffi ff fi fi fi ffi fi ff fi

Ad esempio, consideriamo due ruote cilindriche con assi

paralleli. Determiniamo l’interasse e il rapporto di

trasmissione, trovando così la posizione del punto C , ovvero

ruote di frizione.

il punto di contatto nominale tra le

Successivamente, si realizzano i denti sulle ruote:

ω

ruota senso

supponiamo che la motrice ruoti in

1 ω

ruota

antiorario e trasmetta il moto alla condotta ,

2

senso

anch’essa in antiorario. Il rapporto di trasmissione è

positivo, e le ruote dentate si scambiano il moto grazie

all’azione meccanica diretta dei denti.

due denti

Quando si trovano a contatto, si scambiano una

orientata

forza. Questa forza è perpendicolarmente alla

super ci dei denti nel punto di

tangente comune alle M

contatto. ruota

Tale forza produce una coppia sulla

12

condotta, determinando il suo movimento rotatorio. La stessa

M uguale e opposta, ruota

forza genera una coppia , sulla

21

motrice.

La trasmissione del moto risulta quindi meccanicamente precisa e non soggetta a slittamenti,

eliminando il problema della mancanza di fasatura.

In sintesi, l’introduzione dei denti consente di superare i limiti delle ruote di frizione tradizionali,

rendendo possibile una trasmissione di moto più potente e sincronizzata. Tuttavia, la

progettazione delle ruote dentate richiede un’accurata analisi delle forze, dei materiali e dei pro li

dei denti per garantire un funzionamento ottimale.

Analisi del Contatto tra Pro li

Quando passiamo da un meccanismo basato sull’attrito statico a uno basato su un contatto

diretto tra i pro li dei denti delle ruote, ci troviamo di fronte a una forza di contatto anziché a una

forza d’attrito. È fondamentale comprendere le caratteristiche di questo contatto. Istante per

istante, durante il moto relativo delle ruote, esiste un punto di contatto P , che corrisponde a un

punto della ruota 1 e a un punto della ruota 2 che occupano esattamente la stessa posizione nello

punto, curve

spazio. In questo le tangenti alle dei due pro li sono comuni. P P

A nché non si veri chino urti o distacchi tra i pro li, il moto relativo tra i punti e delle due

1 2

condizione fondamentale:

ruote deve soddisfare una la velocità relativa tra i due punti deve

tangente comune punto contatto.

avere componente solo lungo la nel di Non deve esistere

alcuna componente di velocità relativa lungo la normale al punto di contatto.

Pro li Coniugati e Polari del Moto

pro li

Per garantire questa condizione, i devono essere coniugati nel moto relativo. I pro li

coniugati sono de niti in modo tale che le curve associate ai due pro li rotolino l’una sull’altra

del moto

senza scivolare lungo la tangente comune e senza distacchi lungo la normale. Le polari

le curve geometriche fondamentali associate alle

(note anche come primitive) rappresentano

ruote. rotolano una sull’altra senza strisciare.

Queste polari, nel moto relativo,

Le primitive sono le sezioni ideali delle ruote di frizione e de niscono il comportamento

sistema sso,

cinematico del sistema. In altre