Ingranaggi - Cinematica

O C O C

impostato su , poi traccio l’arco no a . Disegno

1 2 M M

quindi le primitive, indicate rispettivamente con e .

1 2

Ho già disegnato solo metà delle primitive per semplicità.

Successivamente, rappresento una coppia di denti in

contatto. Per comprendere meglio il disegno, ho lasciato

che il CAD generasse l’illustrazione. Tuttavia, per chiarire

ulteriormente il concetto, posso eseguire il disegno a mano

O O centri,

libera. Partiamo da e come con C come punto di contatto tra le primitive.

1 2

Disegno la sagoma di una ruota (anzi, sarebbe più corretto dire della sua super cie primitiva) per

visualizzare la struttura.

È importante ricordare che, nel disegno tecnico di un ingranaggio, si rappresentano solamente le

super ci primitive, mentre i denti non vengono tracciati, salvo casi speci ci di analisi. In questo

caso, rappresenteremo i denti per comprendere meglio il meccanismo.

almeno una coppia di denti sarà

Ora, in un determinato istante, in presa. Quando parliamo di

una coppia di denti “in presa”, intendiamo che i due denti sono a contatto e si scambiano una

forza. Il contatto implica che esista una posizione precisa nel piano in cui avviene l’interazione.

de nizione

Ricordate la di contatto tra due punti?

Due punti sono a contatto in una speci ca posizione.

Questo signi ca che, una volta stabilita la posizione del

piano, un punto assume una posizione speci ca e un altro

punto in contatto con esso assume la corrispondente

posizione opposta.

due punti, appartenente dente della

Consideriamo uno al

ruota uno al dente della ruota due.

e l’altro In una

determinata posizione di contatto, ciascun punto – uno del

dente della ruota uno e uno del dente della ruota due –

occupa esattamente quella posizione. Ora scelgo una

posizione di contatto speci ca, che chiamerò P . Questa

posizione P rappresenta il punto di contatto tra le due

ruote; vi si troveranno, quindi, un punto del dente della ruota

uno e un punto del dente della ruota due.

Per maggiore chiarezza, disegnerò questi punti. Tuttavia, nel rappresentarli, devo rispettare una

serie di condizioni fondamentali che vanno sempre soddisfatte. Procediamo quindi con il disegno.

Supponiamo, inoltre, che all’istante di rappresentazione

ruota uno

considerato, la stia ruotando con una velocità

ω ruota due

angolare , mentre la ruoti con una velocità

1

angolare opposta, dato che si tratta di ruote esterne.

Rappresento quindi i versi delle velocità angolari come

positivi, in modo da ottenere un rapporto di trasmissione

positivo. Disegnando le ruote in questo modo, si visualizza

sicamente il loro movimento.

Ora passiamo alla rappresentazione dei pro li dei due denti

a contatto. Per disegnarli a mano libera, comincio con il

pro lo del dente della ruota uno. Poiché deve esserci un

punto di questo pro lo che passa per P , traccio il pro lo in

modo tale che includa P come punto di contatto.

Osservate come disegno il pro lo: questo dettaglio anticipa

la forma del dente, che risulterà delineato in modo da

soddisfare le condizioni cinematiche del sistema.

fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi

Nella posizione attuale, un altro punto del pro lo del dente della ruota due si trova anch’esso a

contatto. Tuttavia, questa situazione si veri ca solo in questa speci ca posizione. Ora

far ruotare le ruote per un tempo t

supponiamo di : la ruota due si sposterà leggermente verso

destra, così come il dente coinvolto, che si muoverà anch’esso un po’ più a destra. Anche il dente

nuovo punto di contatto,

della ruota uno si sposterà di conseguenza, determinando un che P′

chiameremo “nuova posizione P’”. Supponiamo, per semplicità, che questa nuova posizione

si trovi in un punto leggermente spostato rispetto alla posizione iniziale.

I denti coinvolti nel contatto sono sempre gli stessi due. A questo punto, però, sorge la P′

quale sarà il punto del pro lo del dente della ruota uno che si troverà ora in ,

domanda:

ovvero, quale punto del pro lo si trasferirà in questa nuova posizione dopo il tempo t ?

O

Dato che il dente si muove assieme alla ruota, ruotando attorno al centro , tutti i punti del

1

O

pro lo del dente seguiranno delle traiettorie circolari con centro in . Pertanto, il punto del

1

P′ O

circonferenza centro

pro lo che si troverà in dopo il tempo t si situerà su una avente in 1

O no al punto in considerazione.

e raggio da 1 ruota uno

Se traccio questa circonferenza, posso individuare il punto speci co del pro lo della

P′

che si trasferirà in , dimostrando come il contatto lungo il pro lo della ruota uno si sposti

gradualmente da un punto del pro lo a un altro. P′

quale sarà il punto che si troverà in dopo il

Analogamente, per il pro lo della ruota due,

tempo t ? centro

Il movimento del pro lo della ruota due segue una traiettoria circolare con in

O O no al punto in considerazione.

e raggio da Tracciando questa traiettoria, posso

2 2 P′

identi care un altro punto speci co del pro lo della ruota due che si porterà in .

Osservando il movimento del punto di contatto tra i due pro li, notiamo che sul pro lo della ruota

uno il contatto ha percorso un tratto speci co, mentre sul pro lo della ruota due ha percorso un

tratto di erente. Questi tratti non hanno la stessa lunghezza, il che implica che il punto di contatto

si muove a velocità diverse sui due pro li. Di conseguenza, si veri ca uno slittamento tra i due

pro li, noto come strisciamento.

Come possiamo fare in modo che, quando le ruote si spostano nel tempo t , la velocità

relativa tra i punti di contatto – che abbiamo visto essere diversa da zero – non introduca

componenti indesiderate? componente

In particolare, abbiamo osservato che la tangenziale

della velocità relativa, o di strisciamento, è diversa da zero, poiché abbiamo considerato i punti in

prossimità del contatto.

Quindi, come fare a nché non vi sia una componente della

normale velocità relativa? È

fondamentale evitare la componente normale perché, come abbiamo già discusso molte volte,

essa darebbe origine a forze di urto e distacco che sottoporrebbero il sistema a sollecitazioni

elevate, generando vibrazioni e problemi di stabilità nel movimento. collegate

Per ottenere questo risultato, dobbiamo considerare una coppia speci ca di curve, alle

Perché proprio le polari?

polari. Poiché il rotolamento delle polari senza strisciamento è ciò che

determina il moto relativo del sistema e ci permette di calcolare accuratamente le traiettorie di

qualunque punto del sistema. Vi ricordate? Le polari, in un dato moto rigido piano relativo,

l’una sull’altra senza strisciare.

rotolano

Ora, esiste un’altra coppia di curve, collegate alle polari, che si muovono insieme a esse. Tuttavia,

componente

queste curve sono progettate per garantire che esista solo una tangenziale della

velocità relativa, evitando quella normale. Queste curve sono chiamate “pro li coniugati” nel

contesto del moto rigido piano relativo.











 fi

fi

fi fi ff fi fi

ffi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi

pro li denti pro li coniugati

Dimostriamo ora che, se i dei sono progettati come nel moto

rotolamento polari, velocità relativa punto di

relativo determinato dal delle allora la in ogni

contatto posizione di contatto componente

– o meglio, in ogni – avrà esclusivamente una

tangenziale. non vi sarà alcuna componente normale della velocità relativa,

In altre parole, e

quindi non ci saranno urti o distacchi tra i pro li dei denti.

Chi sono le di questo

polari moto rigido piano relativo? Sono le super ci primitive, ossia le due

circonferenze che rotolano l’una sull’altra senza slittamento. Ricordate la proprietà fondamentale

di una coppia di pro li coniugati in un certo moto rigido piano relativo? Questa proprietà

normale pro li posizione contatto

a erma che la ai nella di – una normale comune, poiché i

a contatto, tangente comune

pro li, essendo hanno una –

centro di rotazione istantaneo C

passa per il .

pro li a contatto

Immaginiamo di avere i in una determinata

se traccio la ai in quel

posizione; normale pro li punto di

e i sono allora la passerà

contatto pro li coniugati, normale

per C . Inversamente, i pro li devono essere progettati in

passi

modo tale che la normale in ogni posizione di contatto

per il centro di rotazione istantanea. Perciò, avendo già

disegnato il punto C , so che questa costruzione è corretta.

tracciando la retta che passa per il punto C e

In e etti,

per la posizione di contatto, si osserva che questa è

e ettivamente la normale ai pro li, risultando perpendicolare

alla tangente comune.

Ora, come avrei dovuto procedere per costruire questo disegno in maniera corretta? Prima di

disegnare

tutto, avrei dovuto le super ci primitive, individuare il punto C – che rappresenta il

punto di contatto delle primitive e il centro di rotazione istantanea del moto relativo. Nel moto

assoluto, cioè nello spazio sso, C resta sempre in quella posizione. Tuttavia, nel moto relativo

tra le ruote, il centro di rotazione istantanea si sposta: se considero la ruota uno rispetto alla ruota

due, questo centro si muove lungo la circonferenza della ruota due; se invece considero la ruota

due rispetto alla ruota uno, allora il centro si muove lungo la circonferenza della ruota uno.

Procedendo con la costruzione, scelgo una posizione iniziale di contatto che appartenga a una

certa retta passante per C , che de nirò come normale ai pro li. Traccio quindi questa retta

normale e scelgo la posizione di contatto su di essa. Successivamente, disegno la tangente alla

retta normale in quel punto di contatto. A questo punto, posso tracciare due piccoli archi, uno per

ciascun pro lo, che siano tangenti esattamente in quel punto.

In questo modo, il disegno è coerente con il fatto che i pro li in nitesimali intorno alla posizione di

contatto sono coniugati, assicurando il corretto moto relativo delle primitive.

O O

Dati i punti , e C , disegno le circonferenze

1 2

corrispondenti alle super ci primitive delle ruote. Sebbene

queste circonferenze non siano fondamentali per l’analisi, ci

aiutano a visualizzare il sistema. Suppongo, quindi, che la

normale ai pro li, che deve necessariamente passare per C ,

ipotizziamo che i

sia rappresentata da una retta N . Ora,