Geomteria e algebra lineare - Appunti completi per il primo parziale

Corso di Geometria e Algebra Lineare

Alessandro Peccenini

Ingegneria Gestionale - Secondo Semestre - a.a. 2024/2025

1 Numeri complessi

Definiamo i numeri complessi come le espressioni nella forma

z = a + ib

∈

Dove a, b mentre i è la cosiddetta unità immaginaria, tale che

R, 2 −1

i =

Dal punto di vista puramente insiemistico, un numero complesso non è altro che

una coppia di numeri reali, ossia un punto nel piano cartesiano, che in questo

contesto si chiama piano di Gauss. L’insieme dei numeri complessi si indica

con C.

Definizioni ∈

Dato un numero complesso z = a + ib, dove a, b chiameremo:

R,

• Re(z) = a parte reale di z

• Im(z) = b parte immaginaria di z

• −

z = a ib complesso coniugato di z

√

• 2 2

|z| = a + b modulo di z 1

|z| ≥

è reale e 0. Esso rappresenta la distanza tra z e l’origine.

In particolare abbiamo che |z| ⇐⇒

= 0 z = 0

I numeri complessi nella forma z = ib

∈

Con b si chiamano immaginari puri.

R, 2

1.1 Operazioni sui numeri complessi

La somma e il prodotto in si effettuano imponendo che le usuali regole valide

C

in continuino a valere in Esse sono:

R C.

• Commutatività della somma: z + z = z + z

1 2 2 1

• Commutatività del prodotto: z z = z z

1 2 2 1

• Associatività della somma: (z + z ) + z = z + (z + z )

1 2 3 1 2 3

• Associatività del prodotto: (z z )z = z (z z )

1 2 3 1 2 3

• Distributività: (z + z )z = z z + z z

1 2 3 1 3 2 3

Calcoliamo quindi la somma e il prodotto di z = a + ib e w = c + id, dove

∈

a, b, c, d R.

Somma z + w = (a + ib) + (c + id) =

= a + ib + c + id =

= a + c + ib + id =

= a + c + i(b + d)

Ossia Re(z + w) = a + c = Re(z) + Re(w)

Im(z + w) = b + d = Im(z) + Im(w)

Prodotto

zw = (a + ib)(c + id) = a(c + id) + (ib)(c + id) =

= (ac + a(id)) + ((ib)c + (ib)(id)) = (ac + aid) + (ibc + ibid) =

2

= (ac + iad) + (ibc + i bd) =

−

= (ac + iad) + (ibc bd) =

−

= ac bd + i(ad + bc)

Si noti che ̸

Re(zw) = Re(z)Re(w)

̸

Im(zw) = Im(z)Im(w)

3

Osservazione

La somma e il prodotto in sono quelli dei polinomi di primo grado (a coeffi-

C 2 −1.

cienti reali) in una variabile i tale che i =

Osservazione

Vale la relazione √

|z| zz

=

∈

Infatti se z = a + ib, con a, b allora

R,

√ p −

zz = (a + ib)(a ib) =

p 2 2

−

= a (ib) =

p 2 2 2

−

a

= i b =

p 2 2

a + b =

= |z|

=

Osservazione

Se z = a + ib, allora −

a ib

−1

z = 2 2

a + b

Infatti 1

−1 =

z = a + ib −

1 a ib

·

= =

−

a + ib a ib

−

a ib =

= 2 2

−

a (ib)

−

a ib

= 2 2

a + b

̸

Se z = a + ib = 0 e w = c + id, allora −

w c + id a ib

·

= =

−

z a + ib a ib

−

(c + id)(a ib)

= =

2 2

a + b 2

− −

ac + iad ibc i bd

= =

2 2

a + b −

ac + bd + i(ad bc)

= 2 2

a + b

4

1.2 Significato della somma in C

∈

La somma z + z , dove z , z si costituisce con la regola del parallel-

C,

1 2 1 2

ogramma, come per la somma di vettori. Infatti: Ci sono due conseguenze

importanti di questa interpretazione geometrica:

|z | |z | |z |

1. Disuguaglianza triangolare: + z =≤ +

1 2 1 2

|z − |

2. La distanza tra z e z è data da z

1 2 1 2

5

1.3 Forma trigonometrica dei numeri complessi

1.3.1 Richiamo sulle coordinate polari

Un punto su un piano può essere identificato sia tramite le sue coordinate carte-

siane che mediante l’utilizzo di coordinate polari. Il principio è molto sem-

plice: ogni punto è identificato dalla sua distanza dall’origine, che si può

rappresentare come un segmento che va dall’origine fino al punto P , indicata

con ρ, e dall’angolo compreso tra ρ e l’asse delle ascisse. Dato un punto P (x, y),

valgono le seguenti relazioni: ( x = ρ cos θ

y = ρ sin θ

Per ricavare le coordinate polari si utilizza:

p 2 2

x + y

ρ =

θ è invece determinato dalle relazioni x

cos θ = p 2 2

x + y

y

sin θ = p 2 2

x + y

1.3.2 Forma trigonometrica

Finora abbiamo utilizzato la cosiddetta forma algebrica di un numero comp-

lesso, ossia z = x + iy

Introduciamo ora una seconda rappresentazione di z, legata alle coordinate

polari nel piano.

Sia z = x + iy un numero complesso in forma algebrica. Sostituendo x = ρ cos θ

e y = ρ sin θ, otteniamo la forma trigonometrica

z = ρ(cos θ + i sin θ)

p 2 2 |z|

Dove ρ = x + y =

L’angolo θ viene detto argomento di z e si indica con arg(z).

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Teorema (Formule di De Moivre)

a) Se z = ρ (cos θ + i sin θ ) e z = ρ (cos θ + i sin θ ) sono due numeri

1 1 1 1 2 2 2 2

complessi in forma trigonometrica, allora

z z = ρ ρ [cos(θ + θ ) + i sin(θ + θ )]

1 2 1 2 1 2 1 2

̸

e se z = 0

2 z ρ

1 1 − −

= [cos(θ θ ) + i sin(θ θ )]

1 2 1 2

z ρ

2 2

In altre parole

|z | |z ||z |,

z = arg(z z ) = arg(z ) + arg(z )

1 2 1 2 1 2 1 2

|z | z

z

1 1 1 −

= , arg = arg(z ) arg(z )

1 2

|z |

z z

2 2 2

b) Se z = ρ(cos θ + i sin θ) è un numero complesso in forma trigonometrica e

n = 0, 1, 2, ..., allora n n

z = ρ [cos(nθ) + i sin(nθ)]

In altre parole n n n

|z | |z|

= , arg(z ) = n arg(z)

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1.4 Interpretazione del prodotto in C

∈

Fissiamo z e consideriamo la trasformazione del piano

C

0 →

z z z

0

Dalla prima formula di De Moivre abbiamo che

|z |z ||z|

z| =

0 0

arg(z z) = arg(z ) + arg(z)

0 0

Dove:

• |z | rappresenta un coefficiente di dilatazione

0

• arg(z ) rappresenta un angolo di rotazione

0 →

Segue che z z z è una trasformazione che comprende una rotazione di angolo

0 |z |.

arg(z ) in senso antiorario composta con una dilatazione di coefficiente

0 0

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1.5 Forma Esponenziale dei numeri complessi ∈

Definiamo l’esponenziale del numero complesso z = x + iy, dove x, y R,

come z x+iy x

e = e = e (cos y + i sin y)

∈

Per y = 0 (ossia se z = x abbiamo che

R)

x+i·0 x x ∀x ∈

e = e (cos 0 + i sin 0) = e R

z ∈

Quindi la nuova definizione di e coincide con quella vecchia se z R.

Per x = 0 abbiamo invece la formula di Eulero

iy

e = cos y + i sin y

iy iy

Ossia Re(e ) = cos y, Im(e ) = sin y Nell’insieme dei numeri complessi c’è

allora un legame tra la funzione esponenziale e le funzioni trigonometriche.

L’esponenziale in non gode della proprietà fondamentale dell’esponenziale

C

in Vale infatti:

R.

Proposizione ∈

Per ogni z , z si ha che

C

1 2 z +z z z

e = e e

1 2 1 2

Dimostrazione

Se z = z + iy e z = x + iy , allora

1 1 1 2 2 2

z +z x +iy +x +iy

e = e =

1 2 1 1 2 2

x +x +i(y +y )

= e =

1 2 1 2

x +x

= e [cos(y + y ) + i sin(y + y ] =

1 2 1 2 1 2

x x (cos y + i sin y ] =

= [e (cos y + i sin y )][e

1 2 2 2

1 1

x +iy x +iy z z

= e e = e e

1 1 2 2 1 2

9

Sia ora z = ρ(cos θ + i sin θ)

|z|

Scritto in forma trigonometrica, dove ρ = e θ = arg(z).

Dalla formula di Eulero otteniamo allora la forma esponenziale

iθ

z = ρe

1.6 Radici n-esime in C

∈ ∈

Si dice che z è una radice n-esima (complessa) di w se

C C

n

z = w

Vale il seguente teorema

Teorema

∈ ̸ ∈ ≥

Siano w w = 0 e n n 1. Allora esistono n radici n-esime complesse

C, N,

distinte z , z , ..., z di w.

0 1 n−1

iφ |w|

Se w = re , dove r = e φ = arg(w), esse sono date da

√ −

n r, k = 0, 1, ..., n 1

z =

k

Ovvero si ha che arg(w) 2π

φ+2kπ

p i

n |w|e

|z | = arg(z ) = + k

n

k k n n

Dimostrazione n iφ ̸

Dobbiamo risolvere l’equazione z = w, dove w = re = 0 è assegnato e

iθ

z = ρe è l’incognita.

n n inθ

Poiché z = ρ e , l’equazione diventa

n inθ iφ

ρ e = re

Ciò equivale al sistema ( n

ρ = r ∈

nθ = ϕ + 2kπ, k Z

Le cui soluzioni sono √ ϕ + 2kπ ∈

n

ρ = r, θ = dove k Z

k n

Si verifica infine che θ = θ + 2mπ, cosicché si ottengono radici distinte

k+mn k

−

solo per k = 0, 1, ..., n 1 10

Osservazione iφ

Le radici n-esime di w = re formano i vertici di un poligono regolare di n lati,

√ p |w|.

n

inscritto nella circonferenza C centrata nell’origine e di raggio r =

n

Teorema fondamentale dell’algebra

Consideriamo un polinomio di grado n a coefficienti complessi:

n n−1

P (z) = a z + a z + ... + a z + a

n n−1 1 0

∈ ̸ ∈

Dove a e a = 0. Si dice che z è una radice del polinomio P se

C C

i n 0

P (z ) = 0.

0

Il teorema di Ruffini ci dice che in tal caso esiste un polinomio Q di grado

−

n 1 tale che −

P (z) = (z z )Q(z)

0

Definizione ∈

Diciamo che z è una radice di P di molteplicità m se esiste un polinomio

C

0

Q tale che m

− ̸

P (z) = (z z ) Q(z), Q(z ) = 0

0 0

Se m = 1, si dice che z è una radice semplice di P .

0

Se m = 2, di dice che z è una radice doppia di P .

0 11

Teorema (fondamentale dell’algebra)

≥

Se P è un polinomio di grado n 1 a coefficienti complessi, allora esso ammette

radici in e la somma delle loro molteplicità è n.

C

In altre parole, l’equazione P (z) = 0 ha esattamente n soluzioni (ma alcune

potrebbero ripetersi).

Corollario (teorema di fattorizzazione in C)

n n−1

Il polinomio P (z) = a z + a z + ... + a z + a si può scrivere come

n n−1 1 0

− − −