Geometria descrittiva, Scienza della rappresentazione 1

VEDERE ESEMPI DUI DIVERSI ANGOLI.

Costruire la prospettiva:

Come si inquadra la prospettiva? È simile ad una fotogra a.

Si deve progettare con il disegno di prospetto, in cui metto sistema tutti gli elementi ragionando sulle

disposizioni: è un progetto preliminare (disegni un impianto proporzionato).

La prospettiva è infatti una rappresentazione immersiva, c’è un punto di vista e per comodità

associamo l'osservatore a noi stessi. Ci sono diversi fasi:

-dove si trova l’osservatore? pongo l'osservatore nel punto in cui voglio vedere la gura

che non è astratta.

-dove metto il piano di quadro (che si trova tra osservatore e l’oggetto)? è molto

importante de nire la distanza osservatore-piano di quadro. Faccio passare il quadro in

un punto dell'elemento che sto disegnando (per rendere l'oggetto misurabile). C'è

sempre una relazione tra il piano di guerra e la stanza principale: sono sempre perpendicolari.

-distanza e l'osservatore dal quadro? (Quanto sto vicino o lontano all'oggetto?). Per comodità possiamo

mettere ad una distanza tale per cui tutto l'oggetto è contenuto nell’angolo.

-come si costruisce il punto di fuga? E l'oggetto a generare punti di fuga (solo concetti relativi e non assoluti).

Si tratta una retta proiettante (soprallineata e passante per O) parallela alla retta reale r che buca il π nel punto

di fuga di r. Stessa cosa per s. Osserviamo che r soprallineata è parallela ad r ed s soprallineata è parallela ad

s quindi ci sono due angoli da 90°.

-quanto è alto l'osservatore, rispetto al disegno da fare? Questo cambia gli angoli. L'altezza dell'osservatore è

uguale alla distanza dall'orizzonte alla traccia del π.

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fi fi fi

Dopo aver costruito il progetto preliminare, possiamo posizionare gli elementi nella

prospettiva no a raggiungere il disegno in prospettiva stessa, ci sono diversi casi (gli

angoli e la distanza sono fondamentali e cambiano il tutto).

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geometria descrittiva

La è la scienza che permette, attraverso determinate costruzioni geometriche, di

rappresentare in modo inequivocabile su uno o più piani, oggetti bidimensionali e tridimensionali. La

rappresentazione può essere nalizzata a visualizzare oggetti già esistenti, come nel rilievo (per lo più

architettonico), e/o di oggetti mentalmente concepiti, come nella progettazione di manufatti tridimensionali.

I metodi di rappresentazione (di prospettiva, di assonometria e di Monge) della geometria descrittiva si basano

principalmente su due operazioni fondamentali, dette operazioni di proiezione e sezione.

Gli assiomi della geometria descrittiva elementare sono sostanzialmente i postulati di Euclide, ma modi cati

dall’aggiunta della nozione di ente improprio (direzione, giacitura), secondo una costruzione analoga a quella

della geometria proiettiva (si veda anche la voce V postulato di Euclide).

Fin dall’antica civiltà egiziana, è stato dimostrato, attraverso il ritrovamento di disegni che illustravano copertura

un corretto utilizzo delle doppie proiezioni ortogonali.

ellittica di tombe,

Tra il I secolo a.c. e il I secolo d.p. Vitruvio, nei suoi tratti intitolati “De architectura” usava come elementi di

rappresentazione di edi ci le piante ed i prospetti da lui denominati iconogra e e ortogra e. In epoca

successiva, l’opera di Jacopo Barozzi da Vignola “i cinque ordini di architettura” in cui viene adoperato il

metodo di Monge.

Nello stesso periodo, Alberto Dürer (1471-1528) de nì alcuni procedimenti gra ci riguardanti le coniche, come

sezioni piane di un cono quadrico e, anche, lo studio della prospettiva.

Nel 1600 gli studiosi Girard Desargues e Guarino Guarini hanno posto i fondamenti per la nascita della

disciplina “geometria descrittiva”, con questo nome è stata battezzata dallo scienziato francese Gaspard

Monge (1746-1818).

Nel 1700 fu pubblicato il libro “Geometrie descriptive” in cui vengono poste le regole fondamentali della

geometria descrittiva. Regole che sono nalizzate, soprattutto, a rappresentare, su uno stesso piano (detto

piano di proiezione), gli oggetti in 3D. Attualmente la geometria descrittiva comprende come parte integrante la

geometria proiettiva in cui studi più signi cativi e conclusivi si devono a Jean Victor Poncelet (1788-1867)

discepolo di Monge.

Con la geometria proiettiva viene introdotto il concetto di Ente geometrico improprio (punto, retta e piano), che

determina una sostanziale differenza con la geometria euclidea, pur considerando validi i rimanenti postulati di

Euclide.

metodo di Monge – rappresentazione degli enti fondamentali

Gaspard Monge (1746-1818) ha de nito il metodo della doppia proiezione ortogonale usato come

rappresentazione fondamentale per la descrizione gra ca di un qualsiasi oggetto nello spazio.

Lo sviluppo iniziale del metodo di Monge fu molto lento, forse per le limitate possibilità creative e soprattutto

per la dif coltà di comprendere che le proiezioni ortogonali, al pari della prospettiva e dell’assonometria, sono

in grado di descrivere un oggetto in maniera assolutamente completa e esaustiva tanto da poter ssare una

corrispondenza biunivoca tra la rappresentazione e l’oggetto reale. La dimostrazione che tale corrispondenza

biunivoca sussista per qualsiasi disegno che sia guidato da rigore scienti co è stata la svolta decisiva che ha

permesso di aprire nuovi e inesplorati orizzonti nel campo della geometria descrittiva. Il metodo di Monge o

della Doppia Proiezione Ortofonale si basa sul concetto di proiezione da due o più centri impropri in direzioni

ortogonali a due o più piani di proiezione tra loro ortogonali. Tale metodo di rappresentazione mette in relazione

pianta e prospetto di un oggetto tridimensionale permettendo di individuare inequivocabilmente la restituzione

di qualsiasi misura, forma e volume.

Ha collaborato alla redazione di questa lezione l’arch. A. Paolillo

L’ASSONOMETRIA

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Dopo lo studio della geometria descrittiva da parte dei francesi, questa disciplina diventa interesse culturale

comune di più Stati no a raggiungere un notevole incremento e all'affermazione di uno speci co settore di

essa: quello dell'assonometria. I primi saggi inerenti alla "prospettiva parallela" (denominazione per molto

tempo attribuito all'assonometria) furono opera di Farish, si tratta di ricerche sulle assonometrie ortogonali,

nelle quali l'autore fa rilevare le dif coltà di applicazione pratica. Esso raggiunse una certa divulgazione per

merito di opere come quella di Mollinger che per primo considerò un sistema di tipo di metrico. In Germania

Weisbach studiò l'assonometria in senso lato e poi molti altri ne approfondirono uno studio speci co in vari

settori (Schlomilch).

L’introduzione del termine "assonometria" spetta a Meier. Fu Giovanni Codazzo a dimostrare la facile

applicabilità del nuovo metodo: dalla rappresentazione di un punto, a problemi più complessi. Con Quintino

Sella si arriva a dire che non basta darne la vera e propria proiezione assonometrica, ma è necessaria anche la

raf gurazione assonometrica di una delle proiezioni ortogonali, che sono effettuate sulla terna di piani di

riferimento. Infatti il processo rappresentativo tra spazio piano bidimensionale non doveva venire direttamente,

ma con un passaggio intermedio costituito dalle proiezioni ortogonali. Vengono introdotti triangoli e tre assi che

formano con il piano di quadro.

Vanno ricordati poi Pohlke, pittore e matematico tedesco, cui spetta la formulazione di un teorema

fondamentale, relativo all'assonometria ortogonale, dove la scelta di tre assi delle unità non può essere

arbitraria. Questo teorema sarà dimostrato poi da Schwarz.

L’assonometria è l'ultimo dei metodi classici di rappresentazione architettonica ed è molto importante per

diversi settori gurativi. elementi

In geometria: il metodo dell'assonometria prevede un centro di proiezione improprio o all’in nito. Gli

di riferimento dell'assonometria sono:

- Tre piani ortogonali (perpendicolari due a due) le cui intersezioni determinano tre assi (X, Y, Z)

e un punto comune detto O.

- Un piano di rappresentazione, detto quadro ed indicato con π.

- Unità di misura, unica per tutti e tre gli assi (dipende dalla direzione, rispetto al quadro,

della retta r che contiene il segmento).

- Una direzione assonometrica o centro improprio, non appartenente a π, che si indica con S in nito.

Importante la direzione degli assi!!!

Dunque, considerato un elemento qualsiasi riferito ad una terna ausiliaria, si ha un'immagine assonometrica di

esso quando, da un centro di proiezione improprio S, si proietta il tutto sul piano di quadro π.

Si hanno due tipologie distinte:

- se la direzione di S è perpendicolari al π, l'assonometria è detta ortogonale.

- se la direzione S è obliqua rispetto al π, si ottiene un’assonometria obliqua.

In entrambi i casi l'assonometria si dice isometrica, dimetrica, trimetrica, in relazione al fatto che si abbiano, per

quanto riguarda i rapporti tra le unità di misura assonometriche degli assi, rispettivamente 1,2 o 3 valori distinti.

L'assonometria non altera il parallelismo.

ASSONOMETRIA OBLIQUA:

-vincolo: le rette non sono perpendicolari al π,

-le rette possono essere orientate come vogliamo,

-le assonometrie oblique sono in nite, eccetto per quelle perpendicolari.

Si ha quando nazione assonometrica S incontra il piano di quadro obliquamente. In

questo caso essa gode di una proprietà molto importante: risulta possibile disegnare, sia

pure con alcune limitazioni, ad arbitrio, la terna di assi e le relative unità di misura

assonometriche, con la certezza che questo schema sarà sempre legato a una terna di assi nello spazio,

tra loro ortogonali due a due e aventi un'unica unità di misura.

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teorema di Pohlke

Si può introdurre il che dimostra quanto detto, è molto dif cile da dimostrare per il caso

generale, è invece facilmente veri cabile nel caso dell'assonometria obliqua cavaliera e si può enunciare nel

seguente modo: sono dati, in un piano π, tre segmenti concorrenti x’,y’,z’ in un punto 0’, di lunghezza

arbitraria e orientati, disposti in modo tale che non più di uno degli angoli dei formati e non più di uno dei

segmenti siano ridotti a zero, questi possono sempre considerarsi proiezioni parallele oblique, da un centro

improprio, non appartenente a π, di tre segmenti dello spazio x,y,z uguali tra loro, concorrenti in un punto e

mutuamente ortogonali.

Può essere dimostrato con le circonferenze a raggio unitario: hanno raggio