Geometria dello spazio

1 Geometria dello spazio

Si fissi nello spazio un sistema di assi cartesiani ortogonali (monometrico e de-

⃗k}

{O; {⃗ı,

strorso) x, y, z} e in V la base ⃗ȷ, dei versori degli assi.

3

Equazione cartesiana di un piano. Nello spazio siano π un piano, P (x , y , z )

0 0 0 0

c⃗k

un punto di π e ⃗n = a⃗ı + b⃗ȷ + un vettore ortogonale a π.

Condizione necessaria e sufficiente affinché un punto P (x, y, z) dello spazio ap-

−

partenga a π è che i vettori P P e ⃗n siano ortogonali. Cioè

0

( ) ( )

⃗k c⃗k

∈ ⇔ − · ⇔ − − − · ⇔

P (x, y, z) π (P P ) ⃗n = 0 (x x )⃗ı + (y y )⃗ȷ + (z z ) a⃗ı + b⃗ȷ + = 0

0 0 0 0

− − −

a(x x ) + b(y y ) + c(z z ) = 0. (1)

0 0 0

L’equazione lineare (1) si dice equazione cartesiana del piano π.

Viceversa se l’equazione lineare

ax + by + cz + d = 0 (2)

è soddisfatta dalle coordinate (x , y , z ) di un punto P dello spazio si ha

0 0 0 0

−ax − −

d = by cz , la (2) si può scrivere nella forma (1) e quindi rappresenta

0 0 0 c⃗k.

un piano passante per P (x , y , z ) e ortogonale al vettore n = a⃗ı + b⃗ȷ +

0 0 0 0

Piani in posizione particolare.

• Un piano passante per O(0, 0, 0) ha equazione

ax + by + cz = 0

perché d = 0 è la condizione affinché (0, 0, 0) soddisfi l’equazione (2).

• Un piano ortogonale all’asse x è ortogonale al vettore a⃗ı, parallelo a ⃗ı, quindi

ha equazione ̸ ∈ R.

ax + d = 0 con a = 0 =⇒ x = k con k

In particolare il piano yz ha equazione x = 0.

• Un piano ortogonale all’asse y è ortogonale al vettore b⃗ȷ

, parallelo a ⃗ȷ

, quindi

ha equazione ̸ ∈ R.

by + d = 0 con b = 0 =⇒ y = k con k

In particolare il piano xz ha equazione y = 0.

1 c⃗k, ⃗k,

• Un piano ortogonale all’asse z è ortogonale al vettore parallelo a

quindi ha equazione ̸ ∈ R.

cz + d = 0 con c = 0 =⇒ z = k con k

In particolare il piano xy ha equazione z = 0.

• Un piano parallelo all’asse x ha equazione:

by + cz + d = 0. c⃗k,

Infatti se α è un piano parallelo all’asse x il vettore ⃗n = a⃗ı + b⃗ȷ +

·⃗ı

ortogonale ad α, è ortogonale a ⃗ı; pertanto deve essere ⃗n = 0 cioè a = 0.

In particolare un piano passante per l’asse x ha equazione by + cz = 0.

• Un piano parallelo all’asse y ha equazione:

ax + cz + d = 0. c⃗k,

Infatti se α è un piano parallelo all’asse y il vettore ⃗n = a⃗ı + b⃗ȷ +

·

ortogonale ad α, è ortogonale a ⃗ȷ

; pertanto deve essere ⃗n ⃗ȷ = 0 cioè b = 0.

In particolare un piano passante per l’asse y ha equazione ax + cz = 0.

• Un piano parallelo all’asse z ha equazione:

ax + by + d = 0. c⃗k,

Infatti se α è un piano parallelo all’asse z il vettore ⃗n = a⃗ı + b⃗ȷ +

⃗k; ⃗k

·

ortogonale ad α, è ortogonale a pertanto deve essere ⃗n = 0 cioè c = 0.

In particolare un piano passante per l’asse z ha equazione ax + by = 0.

Rappresentazioni di una retta. Siano P = (x , y , z ), P (x , y , z ) due

0 0 0 0 1 1 1 1

punti distinti di una retta r. Un punto P (x, y, z) appartiene a r se e solo se i

− − ∈ R

vettori P P e P P sono paralleli, cioè se e solo se esiste t tale che

0 1 0

− −

P P = t(P P ). Pertanto

0 1 0 ⃗k )t⃗k

∈ ⇐⇒ − − − − − −

P (x, y, z) r (x x )⃗ı + (y y )⃗ȷ + (z z ) = (x x )t⃗ı + (y y )t⃗ȷ + (z z

0 0 0 1 0 1 0 1 0



 x = x + lt

 0

⇐⇒ ∈ R

con t (3)

y = y + mt

 0

 z = z + nt

0

n⃗k

ove l⃗ı + m⃗ȷ + è un qualsiasi vettore parallelo a r. Al variare del parametro t

R

in le (3) forniscono tutti i punti di r e si dicono equazioni parametriche di r.

2

̸

Se lmn = 0 dalle (3) si ricava

− − −

x x y y z z

0 0 0

= = (4)

l m n

e quindi la retta definita