Geometria A

K

n

standard

Dimostrazione

K) K,

V,

(A, dim =

A

Sia uno spazio affine su sul quale è fissato un

n,

K

= (O, : → n

S B). A

riferimento affine Sia l’applicazione che a ogni punto

f

∈ ≡ (x , ..., )

A, associa la –pla delle coordinate affini di P rispetto a

P P x n

1

S n

:

S ) = (x , … , )

f(P x

1 n

L’applicazione è biunivoca per le proprietà degli spazi affini

f ∈

K

n

Indico con l’isomorfismo di V in che a ogni vettore v V associa la –pla

φ n

B ⇒ :

B

delle componenti di v rispetto alla base è l’isomorfismo associato a

φ f

B

∀ , ∈ ≡ (x , ..., ), ≡ (y , ..., ) ⇒

A,

infatti, P Q P x Q y

1 1

S S

n n

)f(Q) = (x , … , )(y , … , ) = (y − , … , − ) = ( )

f(P x y x y x φ PQ

1 1 1 1 B

n n n n

⇒ K

n

A

è un isomorfismo di in

f

TRASFORMAZIONI AFFINI 2

K)

V,

(A,

A indica uno spazio affine

Proposizione 1

∈ A

Sia un punto fissato.

O

′

∀ ∈ ∀ ∈ ∃! : → =

A A A

punto e automorfismo, affinità :

O φ GL(V) f f(O)

′ e è l’automorfismo associato

O φ

Dimostrazione : →

A A

Definiamo l’applicazione come l’applicazione che trasforma il punto

f ′

∈ ) ∈ ) = )

A A

nel punto che soddisfa la condizione

P f(P O f(P φ(

OP

⇒

Per la proprietà (SA1) ed essendo automorfismo di V è ben definita e risulta

φ f

essere biunivoca ′ ′

= ) = ) ⇒ = ) =

Ponendo nella condizione

P O O f(P φ(

OP O f(O) φ(

OO

′

0,

= =

da cui

φ(0) f(O) O

Dimostro che è l’automorfismo associato a

φ f

)f(Q) = )f(O) + =

f(P f(P f(O)f(Q)

′ ′

= − ) + = − ) +

f(O)f(P f(O)f(Q) O f(P O f(Q)

′

∀ , ∈ ) = ), ∀ ∈

A A

e poichè vale la relazione si ha

P Q O f(P φ(

OP P

′ ′

− ) + = −φ( ) + ) = + ) = )

O f(P O f(Q) OP φ(

OQ φ(− OP OQ φ(

PQ

)f(Q) = ) , ∈ A,

da cui per ogni coppia pertanto è

f(P φ(

PQ P Q φ

⇒

l’automorfismo associato a resta così definita l’affinità che ha come

f f φ

′

=

automorfismo associato e tale che f(O) O

Dimostro che è unica

f ′

∃ : → =

A A

Suppongo che altra affinità : e è l’automorfismo

g g(O) O φ

∈ A

associato. Per ogni punto si ha

P

) = ) = ) = ) = )

′

f(O)f(P φ(

OP g(O)g(P O g(P f(O)g(P

⇒ ⇒

) = ), ∀P ∈ =

A per la proprietà (SA1)

f(P g(P g f

TRASFORMAZIONI AFFINI 3

Teorema fondamentale delle affinità

K

A

Sia uno spazio affine su di dimensione finita Siano

n.

(P , , ..., ), (Q , , ..., ) (n + 1)

due –ple di punti affinemente

P P Q Q

0 1 0 1

n n

A

indipendenti di

⇒ ∃! : → : ) = , ∀i = 0, ...,

A A

affinità f f(P Q n

i i

Dimostrazione

(P , , ..., ), (Q , , ..., )

Poiché i punti sono affinemente indipendenti, i

P P Q Q

0 1 0 1

n n

( , , ..., ), ( , , ..., ) B

vettori formano una base

P P P P P P Q Q Q Q Q Q

0 1 0 2 0 0 1 0 2 0

n n

′

B

e di V, rispettivamente V

∃! : →

Per il Teorema fondamentale delle trasformazioni lineari, automorfismo φ

′

V , ) =

B B

che trasforma la base nella base più precisamente, tale che φ(

P P

0 i

∀i = 1, ...,

Q Q n

0 i : →

A A

Definisco l’applicazione come l’applicazione che trasforma il punto

f

∈ ) ∈ ) = )

A A

nel punto che soddisfa la condizione

P f(P Q f(P φ(

P P

0 0

Per la proprietà (SA1) ed essendo un automorfismo di V, l’applicazione è ben

φ f

definita, inoltre risulta essere biunivoca ⇒

= ) = ) ) =

Ponendo nella condizione

P P Q f(P φ(

P P Q f(P

0 0 0 0 0

⇒

0

) = = ) =

φ(

P P φ(0) f(P Q

0 0 0 0 ⇒

= , = 1, … , ) = )

Ponendo nella condizione

P P i n Q f(P φ(

P P

0 0

i

) = ) = ) = , ∀i =

per definizione di da cui

Q f(P φ(

P P Q Q φ, f(P Q

0 0 0

i i i i i

1, … , n

Resta da dimostrare che è l’automorfismo associato a

φ f

∀ , ∈ A si ha

P Q )f(Q) = )f(P ) + )f(Q) =

f(P f(P f(P

0 0

= − )f(P ) + )f(Q) = − ) +

f(P f(P Q f(P Q f(Q)

0 0 0 0

) = ), ∀P ∈ A

poiché vale la relazione si ha

Q f(P φ(

P P

0 0

−Q ) + = −φ( ) + ) = + ) = )

f(P Q f(Q) P P φ(

P Q φ(− P P P Q φ(

PQ

0 0 0 0 0 0

TRASFORMAZIONI AFFINI 4

⇒

)f(Q) = ), , ∈ A

da cui per ogni coppia di punti è

f(P φ(

PQ P Q φ

l’automorfismo associato a f

∃! : → : ) =

A A

Dunque affinità è l’automorfismo associato e

f φ f(P

i

, ∀i = 0, ..., ) = .

in particolare Per la Proposizione 1, l’affinità è

Q n, f(P Q f

0 0

i

unica

EQUAZIONI DI UNA AFFINITA’ K)

V,

(A,

A indica uno spazio affine di dimensione finita n

Proposizione

= (O,

S B) A

Sia un riferimento affine fissato in

: → ∈

A A

Sia una affinità con autormorfismo associato e tale che

f φ GL(V)

≡ (b , ..., ). ∈ ≡ (x , ..., ),

Per un generico punto pongo

f(O) b P A, P x

1 1

S S

n n

⇒

) ≡ (y , ..., ) si esprime nella forma

f(P y f

1

S n ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

y x b

1 1 1

= +

A

⋮ ⋮ ⋮

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

y x b

n n n e

∈ (K) = (e , ..., )

M B

dove è la matrice associata a rispetto alla base

A φ 1

n n

) B

(la j -esima colonna di A corrisponde alle componenti del vettore rispetto a )

φ(e

j

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

y x b

1 1 1

(y) = , (x) = (b) = ,

Ponendo e l’espressione

⋮ ⋮ ⋮

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

y x b

n n n

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

y x b

1 1 1

= +

A

⋮ ⋮ ⋮

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

y x b

n n n

(y) = + (b)

si può scrivere come A(x) S.

Tali espressioni si dicono equazioni dell’affinità rispetto a La matrice A è

S

la matrice associata a rispetto a

f

TRASFORMAZIONI AFFINI 5

Dimostrazione ∈ v u v,

≡ (v , ..., ), ≡ (u , ..., ) : =

Comunque presi v,u V, per

v u φ(u)

1 1

B B

n n

le proprietà delle trasformazioni lineari si ha

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

v u

1 1

= A

⋮ ⋮

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

v u

n n

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

v u

1 1

(v) = , (u) = ,

Ponendo possiamo scrivere le equazioni di φ

⋮ ⋮

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

v u

n n

(v) =

B

rispetto a come A(u).

⇒

u v

= = = ) = )

,

Per essendo l’automorfismo

OP φ(u) φ(

OP f(O)f(P φ

associato a f

≡ (x , ..., ), ) ≡ (y −b , ..., −b ),

Poiché nelle

OP x f(O)f(P y

1 1 1

B B

n n n

⇒ ⇒

= (v) = (y)−(b), (u) = (x) (y)−(b) =

equazioni ( di

v) A(u) φ A(x)

(y) = + (b)

ossia A(x)

IMMAGINE DI UN SOTTOSPAZIO AFFINE MEDIANTE AFFINITA’

Proposizione

: →

A A W A

Sia un’affinità e sia sottospazio affine –dimensionale di

f h

W A

L’immagine di mediante ossia è un sottospazio affine di avente la

f, f(W),

dim =

W,

stessa dimensione di f(W) h

Dimostrazione dim = +

W

Indichiamo con l’automorfismo associato a Poiché esistono

φ f. h, h

1 , ..., , = 1, ...,

W

punti di affinemente indipendenti, ossia i vettori

P P P P i h,

0 0

h i

sono linearmente indipendenti ), ..., ).

A

L’immagine è il sottospazio affine di passante per i punti

f(W) f(P f(P

0 h

)f(P )

, = 1, ...,

I vettori sono linearmente indipendenti poiché

f(P i h,

0 i

)f(P ) = ) e mantiene la lineare indipendenza dei vettori, essendo

f(P φ(

P P φ

0 0

i i

⇒ dim =

un automorfismo f(W) h

TRASFORMAZIONI AFFINI 6

In quel che segue, introduciamo un risultato che permette di trovare l’immagine di un

W

sottospazio affine –dimensionale usando le immagini degli iperpiani

h

Più precisamente, il sistema lineare minimo di equazioni che definisce le

n−h

W

equazioni cartesiane di si può interpretare come l’intersezione di iperpiani

n−h

, ...,

H H Allora si può ottenere intersecando le immagini di tali iperpiani

f(W)

1 n−h

Proposizione – Immagine di un iperpiano = (O,

n

A S B)

In spazio affine è fissato un riferimento affine rispetto al quale

: →

n n

H A A

l’iperpiano e l’affintà hanno equazioni

f

: + ... + + = 0, (y) = + (b)

H a x a x c A(x)

1 1 n n

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

y x b

1 1 1

(y) = , (x) = (b) =

dove e

⋮ ⋮ ⋮

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

y x b

n n n

S

Allora ha equazione rispetto a data da

f(H) −1 −1

: (a ...a )A (x)−(a ...a )A (b) + = 0

f(H) c

1 1

n n

Dimostrazione : (a ...a )(x) + = 0;

H H

Scriviamo l’equazione di in forma matriciale essendo

c

1 n

(x) :

la matrice A invertibile, ricaviamo l’espressione di dalle equazioni di f

−1

(x) = [(y)−(b)];

A

(x) :

H

si sostituisce tale espressione di nell’equazione matriciale di

−1

(a ...a )A [(y)−(b)] + = 0,

c

1 n

−1 −1

(a ...a )A (y)−(a ...a )A (b) + = 0

c

1 1

n n , ..