Funzioni e successioni

Funzioni

Definizione di funzione

DEF: siano X ≠ ∅, una funzione f: X→Y è una relazione che associa ad ogni elemento di X 1 e 1 elemento di Y.

Dominio, codominio e insieme immagine

Dominio di f: insieme X
Codominio di f: insieme Y
Insieme immagine f: sottoinsieme del codominio formato da tutti gli elementi y⊂Y tali che ∃x⊂X per cui y=f(x). ∴ dunque è l’insieme delle immagini 量 unique preimmagine è univocamente determinante.

Grafico di una funzione

Grafico di f: G(f)= {(x,y)} ∈ X,y=f(x)}
f è una funzione suriettiva se e solo se Im(f) = Y
f è una funzione iniettiva se ∀x₁,x₂ ⊂ X, x₁ ≠ x₂ => f(x₁) ≠ f(x₂).
Una funzione è biettiva se e solo se è iniettiva e suriettiva.

Restrizione di campo

DEF: Sia D⊆R,f: D→f.
D=_f estremo superiore se t = estremo superiore della sua immagine ➔ sup(f) = max (Im(f))
Estremo inferiore se t = estremo inferiore della sua immagine.
DEF: superiormente limitato se sup(f) ∈ ℝ.
f è inferiormente limitato se inf(f) ∈ ℝ.
f è limitato se sup(f) e inf(f) ∈ ℝ.
t è limitato se ∃k ∈ ℝ quindi se ∃k ∈ ℝ ∀x ∈ D.

Funzioni pari e dispari

Sia D⊆ℝ, f: D→f.
f è pari se è simmetrica rispetto all’asse y ⇒ se ∀x ∈ D f(x) = f(-x)
f è dispari se è simmetrica rispetto all’origine del s.d.r. ⇒ se ∀x ∈ D f(-x) = -f(x)

Funzione periodica e periodo

DEF: f: ℝ→ℝ è periodica ∃T∈ℝ per cui f(x+T) = f(x) ∀x ∈ ℝ.

Andamenti

Crescente se x₁ < x₂ ⇒ f(x₂) > f(x₁)
Strettamente crescente se x₁ < x₂ ⇒ f(x₂) > f(x₁)
Decrescente se x₁ < x₂ ⇒ f(x₂) < f(x₁)
Strettamente decrescente se x₁ < x₂ ⇒ f(x₂) < f(x₁)
Monotona se è solo crescente/decrescente in D ∀x₁,x₂ ∈ D

Teorema

Sia D_f ≠ &emptyset; e sia f : D_f → R,
se f è strettamente monotona in D, allora f è iniettiva in D.
Dim: x₁, x₂ ∈ D, x₁ ≠ x₂ quindi:
se f strettamente monotona crescente → g(x₁) < g(x₂)
se f strettamente monotona decrescente → g(x₁) > f(x₂)
Ha in ogni caso &emptyset; f(x₁) ≠ f(x₂)
Quindi è iniettiva.

Funzioni composte

Sono D_f, F ≠ R e u sono &emptyset; : D_f, D_R due funzioni tali che Im(u) ⊆ D_g e D_f ; sono tali iportesti si può costruire una funzione: (g o f) : D_R ≠ R
x → g(f(x))

Funzioni inverse

Sia D_f, f &emptyset; e &emptyset; : D_R e supponiamo che f sia iniettiva.

1. Rendiamo f suriettiva facendo coincidere l'insieme Immagine.
2. Costruirlo una funzione g:R ≠ Im(u) tale che g = u^-1 e questa funzione si chiamerà funzione inversa di g.

Teorema

Sia D_f, f &emptyset; e u &emptyset; R unie funzione niia sull'intervallo I,
allora u è invertibile sull'intervallo u^-1 la guis estste I_m($_u-1

Successioni

Definizione di successione

DEF: Sia E &emptyset;, f №, chiamiamo successione una funzione a : E_n ≠ R
Sia a_n, f №

1. Sup. limitata se ∃ S_R : a_n ≤ S ∃ V_n≠
2. Inf. limitata se ∃ m_R : a_n ≥ m ∃ V_n≠
3. Limitata se ∃ K_R : |a_n| ≤ ∃ V_n≠

Successioni convergenti e oscillanti

Sia E &emptyset;, f № e a, h №, diremo che la successione è convergente se esiste un limite al crescere.
Ovvero, se ∃ O : |a_n - &equal;| ‘ine ∃ N≠ : V ∃ N ‘, |a_n - &equal;| ≤ E
Sia E &emptyset;, f № e a, h №
Diremo che la successione è oscillante se non è né negativamente né positivamente divergente
e se – convergente.

Ordini di infinito e infinitesimi

Siano a_n e b_n 2 successioni entrambe infinite, (lim a_n = +∞ e lim b_n = +∞)
Calcoliamo lim a_n/b_n

• = 0 = a_n è un infinito di ordine inferiore a b_n
• = α ∈ (0, +∞) = a_n e b_n sono dello stesso ordine di infinito
• = +∞ = a_n è un infinito di ordine superiore
• Se α = 1, a_n e b_n sono comparabili

Siano a_n e b_n 2 successioni infinitesime, (lim a_n = 0 e lim b_n = 0)
Calcoliamo lim a_n/b_n

• = 0 = a_n è un infinitesimo di ordine inferiore rispetto a b_n
• = α ∈ (0, +∞) = a_n e b_n sono dello stesso ordine di infinitesimo
• = +∞ = a_n è un infinitesimo di ordine superiore
• Se α = 1, a_n e b_n sono comparabili

Successioni asintoticamente equivalenti

a_n e b_n sono asintoticamente equivalenti se e solo se lim a_n / b_n = 1 allora a_n ≃ b_n

Teorema di stabilitá dell'equivalenza asintotica

Siano a_n, b_n, c_n 3 successioni tali che

• a_n ≃ d_n
• b_n ≃ e_n
• c_n ≃ f_n

Teorema di Stirling

Il fattoriale n! è asintoticamente equivalente alla seguente successione: ∀n ∈ N n! ≃ (√2πn)(n/e)ⁿ.

Successione di Fibonacci

F_n+1 = F_n + F_n-1 F_n=0 ∀n∈N
Applichiamo il teorema del rapporto lim F_n+1/F_n.

Successione di Cauchy

Def: Sia E⊆N,t=φ e A_n∈P, diremo che A_n è una successione di Cauchy se ∀ε>0 ∃n∊N: ∀n,m ≥ n |a_n - a_m|.