Funzioni e successioni

Funzioni

DEF: siano X ≠ ∅, una funzione f: X→Y è una relazione che associa ad ogni elemento di X 1 e 1 elemento di Y.

• DOMINIO di f: insieme X
• CODOMINIO di f: insieme Y
• INSIEME IMMAGINE f: sottoinsieme del codominio formato da tutti gli elementi y⊂Y tali che ∃x⊂X per cui y=f(x).

∴ dunque è l’insieme delle immagini 量 unique preimmagine è univocamente determinante

GRAFICO di f

G(f)= {(x,y)} ∈ X,y=f(x)}

• f è una funzione suriettiva se e solo se Im(f) = Y
• f è una funzione iniettiva se ∀x₁,x₂ ⊂ X, x₁ ≠ x₂ => f(x₁) ≠ f(x₂)
• una funzione è biettiva se e solo se è iniettiva e suriettiva.

RESTRIZIONE DI CAMPO

DEF: Sia D⊆R,f: D→f. D=_f

• estremo superiore se t = estremo superiore della sua immagine ➔ sup(f) = max (Im(f))
• estremo inferiore se t = estremo inferiore della sua immagine

DEF: superiormente limitato se sup(f) ∈ ℝ.

• f è inferiormente limitato se inf(f) ∈ ℝ.
• f è limitato se sup(f) e inf(f) ∈ ℝ
• t è limitato se ∃k ∈ ℝ quindi se ∃k ∈ ℝ

∀x ∈ D

FUNZIONI PARI E DISPARI

Sia D⊆ℝ, f: D→f.

• f è pari se è simmetrica rispetto all’asse y ⇒ se ∀x ∈ D f(x) = f(-x)
• f è dispari se è simmetrica rispetto all’origine del s.d.r. ⇒ se ∀x ∈ D f(-x) = -f(x)

Funzione periodica

DEF: f: ℝ→ℝ è periodica ∃T∈ℝ per cui f(x+T) = f(x) ∀x ∈ ℝ.

PERIODO

Andamenti

• Crescente se x₁ < x₂ ⇒ f(x₂) > f(x₁)
• Str. crescente se x₁ < x₂ ⇒ f(x₂) > f(x₁)
• Decrescente se x₁ < x₂ ⇒ f(x₂) < f(x₁)
• Str. decrescente se x₁ < x₂ ⇒ f(x₂) < f(x₁)
• Monotona se è solo crescente/decrescente in D

∀x₁,x₂ ∈ D

TEOREMA

Sia D_f ≠ ∅ e sia f : D_f → R,

• se f è STR. MONOTONA IN D, allora f è INIETTIVA in D.

Dim: x₁, x₂ ∈ D, x₁ ≠ x₂ quindi:

• se f STR. MON. CRESCENTE → g(x₁) < g(x₂)
• se f STR. MON. DECRESCENTE → g(x₁) > f(x₂)

Ha in ogni caso ∅ f(x₁) ≠ f(x₂)

Quindi è INIETTIVA.

FUNZIONI COMPOSTE

Sono D_f, F ≠ R e u sono ∅ : D_f, D_R due funzioni tali che Im(u) ⊆ D_g e D_f ; sono tali iportesti si può costruire una funzione:

(g o f) : D_R ≠ R x → g(f(x))

Funzioni Inverse

Sia D_f, f ∅ e ∅ : D_R e supponiamo che f sia INIETTIVA.

1. Rendiamo f SURIEETTIVA facendo coincidere l'insieme Immagine.
2. Costruirlo una funzione g:R ≠ Im(u) tale che g = u^-1 e questa funzione si chiamerà FUNZIONE INVERSA di g.

I grafici di f, g sono simmetrici rieetto ala bisettrice dei 1 e II quadrante.

TEOREMA

Sia D_f, f ∅ e u ∅ R unie funzione niia sull'intervallo I,

allora u è INVERTIBILE sull'intervallo u^-1 la guis estste I_m($_u-1

DEF:

Sia E ∅, f №, chiamiamo successione una funzione a : E_n ≠ R

Sia a_n, f №

1. sup. LIMITATA se ∃ S_R : a_n ≤ S ∃ V_n≠
2. inf. LIMITATA se ∃ m_R : a_n ≥ m ∃ V_n≠
3. LIMITATA se 3 ∃ K_R : |a_n| ≤ ∃ V_n≠

Sia E ∅, f № e a, h №, dieami che la sucespione è CONVERGENTE se x// Er a cui la successione tende al crescere

ovvero se ∃ O : |a_n - &equal;| ‘ine ∃ N≠ : V ∃ N ‘, |a_n - &equal;| ≤ E

Sia E ∅, f № e a, h №

diremo che la successione è OSCILLANTE se non è ne' negativamente ne' positivamente divergente

e se – convergente

oam a, I

ORDINI DI INFINITO

Siano a_n e b_n 2 successioni entrambe infinite, (lim a_n = +∞ e lim b_n = +∞)

Calcoliamo lim a_n/b_n

• = 0 = a_n è un infinito di ordine inferiore a b_n
• = α ∈ (0, +∞) = a_n e b_n sono dello stesso ordine di infinito
• = +∞ = a_n è un infinito di ordine superiore

Se α = 1 = a_n e b_n sono comparabili

ORDINI DI INFINITESIMI

Siano a_n e b_n 2 successioni infinitesime, (lim a_n = 0 e lim b_n = 0)

Calcoliamo lim a_n/b_n

• = 0 = a_n è un infinitesimo di ordine inferiore rispetto a b_n
• = α ∈ (0, +∞) = a_n e b_n sono dello stesso ordine di infinitesimo
• = +∞ = a_n è un infinitesimo di ordine superiore

Se α = 1 = a_n e b_n sono comparabili

Successioni Asintoticamente equivalenti

a_n e b_n sono ASINTOTICAMENTE EQUIVALENTI se e solo se lim a_n / b_n = 1 allora a_n ≃ b_n

Teorema di Stabilitá dell'Equivalenza Asintotica

Siano a_n, b_n, c_n 3 successioni tali che

• 1) a_n ≃ d_n
• 2) b_n ≃ e_n
• 3) c_n ≃ f_n

allora (a_n - b_n)/c_n ≃ (d_n - e_n)/f_n (ha lo stesso comportamento/addizione)

Teorema di Stirling

Il fattoriale n! è asintoticamente equivalente alla seguente successione:

∀n ∈ N n! ≃ (√2πn)(n/e)ⁿ Successioni di Stirling

Successione di Fibonacci

F_n+1 = F_n + F_n-1 F_n=0 ∀n∈N

applichiamo il teorema del rapporto

lim F_n+1/F_n = apply theorem ratio

Successione di Cauchy

Def: Sia E⊆N,t=φ e A_n∈P, diremo che A_n è una successione di Cauchy se ∀ε>0 ∃n∊N: ∀n,m ≥ n |a_n - a_m|