Formulario Secondo esonero Campi elettromagnetici

LINEE DI TRASMISSIONE

Si ha che l’impedenza caratteristica della linea di trasmissione è data dal rapporto tra l’impedenza in

serie e l’ammettenza in parallelo: ̃

= √

0 ̃

Si afferma inoltre che .

= √

Le costanti secondarie della linea sono e . , nota la struttura della linea, viene ricavata da

0 0

una formula notevole.

Se è puramente reale allora ho la certezza che il mezzo in questione è privo di perdite. Si vuole

appunto specificare che, se il mezzo è privo di perdite, allora è reale. Vien da sé dunque che:

2

=

Per le diverse strutture guidanti, ricavo:

LINEA BIFILARE CAVO COASSIALE GUIDA A PIATTI

PIANI

L 2

ln ( ) ln ( ) ∗

2

C ∗

2

ln ( ) ln ( )

R 2 1 1

2∗

( )

∗ +

2

G 2

∗

2

ln ( ) ln ( )

2

( )

ln ( )

ln ∗

2

= √

2

"

=

0

L’impedenza lungo la linea cambia sezione per sezione. In linee adattate, si ha che

() () = .

0

1+ ()

^

Esiste una corrispondenza biunivoca tra e Infatti: (impedenza

().

() () =

1− ()

normalizzata). + ()

Di fatto, quindi: .

() = ∗

− ()

+ ()

FORMULA IMPORTANTE: () = ∗

− ()

(2 + )

Il coefficiente di riflessione può scriversi come: () | |

=

Punto notevole: quando il coefficiente di riflessione ha fase nulla, l’impedenza è puramente

resistiva.

Conoscendo , so determinare, nel carico, il coefficiente di riflessione? La risposta è sì, e si ha:

−

0

(0)

=

+

0

Per adattare una linea, posso chiuderla su un carico che ha impedenza pari all’impedenza

caratteristica della linea .

0

Il coefficiente di riflessione, in mezzi privi di perdite, si ripresenta periodicamente ogni volta che si

percorre una distanza . In particolare: Mentre, dopo una distanza ,

= () = ( + ). =

2 2 4

si ha ()

= − ( + ).

4

La formula generale per determinare l’impedenza lungo la linea è data da:

cos( ) − ( )

0

() = ∗

0 cos( ) − ( )

0

2

(N.B: lunghezza elettrica in una linea senza perdita).

= →

A multipli di :

2

( )

= =

2

Mentre, a multipli di :

( )=

= +

Dunque, si badi, l’impedenza lungo la linea si ripete a multipli della lunghezza d’onda

(trasformatore in quarto d’onda). ′

Altresì, definiamo due parametri utili e

(

) ( ),

come: |)

= −20 log (|

10 | |

() 1 +

{

= = | |

() 1 −

L’andamento della tensione lungo la linea in funzione del coefficiente di riflessione è

()

+ +

+ −

descritto da: |()| |() | | ()| | ()| | |

= ∗ + = | | ∗ + = ∗

avendo posto .

| ()|

+ , =

L’andamento grafico della tensione lungo la linea in funzione del coefficiente di riflessione è dato

0+ 0+

da una curva oscillante lungo z tra e tra con periodo dato da

| | ()) | | ())

∗ (1 + ∗ (1 −

2

e, ovviamente, come specificato: .

=

2

Altra informazione da precisare è che abbiamo in tutti i casi considerato incidenza nomale. Quando

l’incidenza non è normale e avviene ad un certo angolo vanno fatte alcune modifiche alle

,

costanti secondarie: = ∗ ()

()

: {

=

0 cos ()

= ∗ ()

()

: { ()

= ∗ cos ()

0

Adattamento della linea

Per adattare la linea, ovvero per fare in modo che l’impedenza di carico sia pari all’impedenza

caratteristica del mezzo, posso percorre due vie.

• Adattamento tramite trasformatore in quarto d’onda

La prima consiste nell’adattamento in quarto d’onda: questa metodologia permette, tramite il

dimensionamento e la modifica della struttura mediante l’aggiunta di una sezione di dielettrico

opportunamente calibrato, di annullare la riflessione sul carico, facendo dunque sì che ci sia

appunto la condizione di adattamento ( ).

=

0

Lo strato di dielettrico che fa da cuscinetto va scelto in modo che ; da cui:

=

√

02 01 03

= √

2 1 2

Dunque, il dielettrico va scelto con permittività relativa indicata qui sopra. Inoltre, il

dimensionamento si effettua riprendendo le proprietà del coefficiente di riflessione:

0

= →=

4

√

Ove rappresenta lo spessore dello strato di dielettrico.

In generale, sfruttando la proprietà del trasformatore in quarto d’onda, tecnicamente, lo spessore va

scelto in modo tale che sia e dunque basta scegliere uno spessore che soddisfi

= +∗

4 2

questa legge. Per semplicità si pone = 0.

Un’espressione semplice viene ricavata per il coefficiente di riflessione in funzione di un singolo

trasformatore in quarto d’onda:

− 2

0

| | |cos

= ()| → = .

2√

0 1

N.B: cosa accade se nella linea è presente un conduttore? Per adattarla, deve essere: .

= =

0

N.B: l’impedenza d’ingresso quando ho come carico un cortocircuito è data da: ()

= ( )

0

N.B: l’impedenza d’ingresso quando ho come carico un circuito aperto è data da: ()

=

− cot ( ).

0

Si ricorda che qualsiasi tipo di impedenza d’ingresso reattiva si ripete con periodicità = .

2

• Adattamento con stub in serie/parallelo

Un’altra tecnica di adattamento prevede l’utilizzo della carta di Smith e consiste

nell’implementazione di uno stub in serie/parallelo chiuso opportunamente su un circuito aperto o

su un cortocircuito. Come si procede?

1) Si traccia la circonferenza avente raggio pari alla resistenza normalizzata. Si traccia l’arco

di circonferenza associato alla reattanza normalizzata. Il punto 1 è l’intersezione tra le

due.

2) Si traccia la circonferenza associata a Il punto 2 è l’intersezione tra l’arco di

= 1.

circonferenza che descrive la reattanza e la circonferenza associata a Adesso si

= 1.

prende il compasso e si traccia la circonferenza avente per centro l’origine e per raggio la

distanza tra il centro e il punto 1. L’intersezione tra la circonferenza appena tracciata e la

circonferenza ci dà la reattanza adattata.

= 1

3) Si individua la condizione sulla quale si vuole chiudere lo stub. Il punto di cortocircuito o di

circuito aperto rappresenterà il punto 4 sulla nostra carta. Il punto 3, in particolare in

impedenze/ammettenze immaginarie, è speculare alla reattanza (es: = 0,9 →

= −0,9).

Una volta fatto questo sulla carta di Smith, si calcolano i parametri fondamentali:

∆

12

=

720

∆

34

=

{ 720

Questi costituiranno i parametri di dimensionamento dello stub. Lo stub andrà posto in posizione

, ove l’origine è il carico. Si badi al fatto che, se andiamo a adattare usando uno stub in

= −

serie, stiamo ragionando in termini di impedenza e di coefficiente ; se invece andiamo ad

adattare usando uno stub in parallelo, stiamo ragionando in termini di ammettenza e di

coefficiente : la carta di Smith, in questo caso, va pensata “capovolta”.

Per adattare strutture come i cavi coassiali, è conveniente usare uno stub in parallelo.

A titolo di esempio risulta conveniente rappresentare sulla carta di Smith l’impedenza normalizzata

= 0.8 + 0.6

= 0.8

Ovvia deduzione: {

= 0.6 1:

2:

Elenchiamo: { (

3: ℎ )

′

4:

N