Formulario Primo esonero Campi elettromagnetici

Tramite apposite semplificazioni, si ha che, in un metallo vale:

2

0

= +

0

La conducibilità, misurata in può avere parte reale e parte complessa. In

[ ]

→

particolare: .

{ →

La parte reale di assume lo stesso significato fisico della parte immaginaria di

,

andando ad indicare degli effetti dissipativi.

Un conduttore si comporta da buon conduttore per pulsazioni tali che .

≪

0

Come fatto per i buoni dielettrici, possiamo fare delle considerazioni analoghe per le

onde di tipo 2A anche per buoni conduttori.

Si badi, per un buon conduttore: ≫ .

In un buon conduttore, per il calcolo della parte reale ed immaginaria del numero

d’onda k, tenendo sempre conto del fatto che si sta parlando di un’onda 2A:

√

≈ =

2

Ovviamente, anche in questo caso: = "

0

NOTA: Si giunge a queste conclusioni sfruttando le condizioni di separabilità per

onde di tipo 2A.

Per quanto riguarda invece l’impedenza caratteristica del mezzo nel caso di buoni

conduttori e con onda piana del tipo 2A:

√

= =

2

E dunque, dobbiamo esplicitare: = +

3) Plasma

Il plasma può essere studiato come un dielettrico usando le opportune modifiche al

modello.

Il plasma, se poco denso, va inteso privo di collisioni. Non avendo forze di collisione,

si ha che: = 0.

0

Dunque: 2

()

= 1 −

2

Nel caso generale, quindi valutando le collisioni (e avendo perciò un plasma

particolarmente denso): 2

()

= 1 +

2

− +

Considerazioni sul comportamento dei materiali

Quando un materiale presenta, ad una certa pulsazione, un valore della permittività

relativa minore di zero, quest’ultimo non è in grado di essere “penetrato” dalle

radiazioni e dunque si osserva un cambiamento repentino sul suo comportamento.

Valgono anche per conduttori, dielettrici e plasma:

2

2

=

0

Magnetismo e anisotropia naturale dei mezzi (materiali girotropici)

Nella stragrande maggior parte dei casi vale Infatti, materiali diamagnetici e

= 1.

paramagnetici hanno permeabilità magnetica relativa tendente a 1 rispettivamente da

sinistra e da destra.

Discorso diverso vale nel caso delle ferriti: la permeabilità magnetica relativa nella

ferrite è molto grande.

Nell’ambito delle micro-onde, i materiali possono essere suddivisi, per caratteristiche

anisotrope, in materiali giroelettrici o giromagnetici. In particolare:

à →

{

à →

La presenza di un campo di induzione magnetica costante quando trattiamo mezzi

0

anisotropi di questo tipo fa sì che, nel calcolo della permittività, ad esempio, va

considerata la “pulsazione di ciclotrone”:

= 2 =

0

La presenza di provoca una rotazione su una carica con frequenza descritta

0

appunto dalla pulsazione di ciclotrone.

Comportamento del plasma magnetizzato:

− 0

⊥

0

()

= [ ]

⊥

0 0

//

2

= 1 −

⊥ 2

2

−

2

Ove:

= 2

2

( − )

2

= 1 −

{ // 2

La permeabilità magnetica della ferrite ha invece la seguente forma:

− 0

1 2

()

= [ ]

0

2 1

0 0 1

Ove, definendo come “frequenza di Larmor” e come “frequenza di

0 0

magnetizzazione”, si ha:

0

= 1 −

1 02

2

−

{

=

2 02

2

−

Per mezzi eterogenei, dunque composti con 2 o più materiali costituenti, valgono le

seguenti: 3

1

=

2 1

2 +

1 2

1 + 2∆

=

1

1 − ∆

−

2 1

∆=

{ 2 +

1 2

Si badi che: sarebbe la percentuale del mezzo ospitato nel mezzo ospitante,

esplicita la permittività effettiva. Ovviamente: = .

Considerazioni energetiche

Di rilevante importanza in termini energetici è il teorema di Poynting: ne esisterà una

formulazione nel dominio del tempo e una nel dominio della frequenza.

1) Dominio del tempo

Nel dominio del tempo abbiamo: )

∮ ∗ + ∫ + ∫ + ∫ = ∫( +

Analizziamo i termini presenti:

- vettore di Poynting;

:

- : associato alla corrente di conduzione può essere intesa come la potenza

,

che il campo elettrico fornisce alle cariche in movimento che generano la

corrente nel volume. In assenza di cariche libere, il termine è nullo (viene

anche considerata come potenza delle perdite ohmiche che controbilancia

);

- : potenza magnetica ed elettrica scambiate nel mezzo;

,

- potenze erogate dalle grandezze impresse. Se non sono presenti dei

, :

generatori, queste quantità sono nulle.

Il vettore di Poynting è legato alla potenza irradiata .

+ + + = +

Tutte queste grandezze si misurano in [ ].

2

2) Dominio della frequenza

Nel dominio della frequenza vale: ∗ + + + =

∮ ∫ ∫ ∫

∫( )

+

La forma è analoga a quella trovata nel tempo, però definiamo:

1 ∗

=

2 1 ∗

=

2

∗

=

2

∗

= −

2

1 ∗

= −

2

1 ∗

= −

{ 2

Dunque: + + + = +

Tutte queste grandezze si misurano in [ ].

2

Valgono inoltre in generale le seguenti uguaglianze, che mettono in relazione tra loro

i valori medi in un periodo di quantità istantanee con la parte reale che dà contributi

nel dominio della frequenza. Indicando ad esempio come il valor medio di

()

in un periodo T, abbiamo, in generale per tutto:

() ]

= [

() = []

In mezzi isotropi dispersivi, inoltre: 2

0 ′

= − ( + ")||

2

{ ′

( − ") 2

0

= ||

2

Quindi, in mezzi isotropi dispersivi, ad esempio:

1 2

() ]

= [ = "||

0

2

{ 1 2

() ]

= [ = "||

0

2

Diversi tipi di onde piane

Considereremo 4 tipologie di onde piane diverse a seconda di .

−1

Innanzitutto, ricordiamo che (misurate entrambe in sono rispettivamente

)

la costante d’attenuazione e la costante di fase e, ricordiamo che un’onda EM

(considerando il campo elettrico) piana assume la seguente forma nel dominio della

frequenza e del tempo: −∗

−∗

() =

0

{ −∗

(, ) = [ cos − ∗ ) − − ∗ )]

( (

0 0

Definendo i parametri secondari dell’onda come:

2

=

=

= √

{

−1

In generale, il numero d’onda (misurato in può avere parte reale e parte

)

immaginaria. Vedremo al seguito che i primi due casi faranno riferimento a mezzi

non dissipativi, i secondi due casi faranno riferimento a mezzi dissipativi.

1) CASO ONDA 1A

Abbiamo un mezzo non dissipativo ( = 0).

In questo caso dunque l’ampiezza dell’onda è la stessa ovunque.

= 0,

Si avrà: = = = √.

L’onda in questo caso è uniforme e si parla di onda piana uniforme non attenuata.

Valgono: 2

=

= =

2) CASO ONDA 1B

Abbiamo sempre un mezzo non dissipativo ( stavolta però consideriamo:

= 0),

⊥ .

Se di per sé allora ci sarà attenuazione e questo tipo d’onda prende il nome di

≠ 0,

onda piana non uniforme evanescente.

Una differenza sostanziale rispetto al caso precedente sta nel fatto che la velocità di

fase è minore della velocità della luce nel mezzo (che invece si aveva nel caso 1A).

In particolare, analizzando la posizione di un osservatore:

, ove è l’angolo di apertura del cono.

= =

0

2

cos () √1+ cos ( )

0

2

1

Affinchè )

= → cos( =

0 2

√1+ 2

< →