Formulario Matematica 1

Successioni

Sequenza ordinata di infiniti numeri detti termini della successione

In cui sia possibile identificare univocamente chi è il primo, il secondo (che corrispondono ai numeri naturali) - L'insieme dei numeri reali → una funzione N → R può essere calcolata solo per valori naturali

• della variabile indipendente (n) → a_n (termine generale)
• grafico della successione → insieme discreto di punti f(n) = a_n → retta, possiamo già iniziare

1. a_n si dice limitata superiormente (inferiormente) e limitata se è limitata superiormente e inferiormente.
2. monotona crescente → a_n+1 ≥ a_n ∀ n ∈ N (decrescente ↔ a_n ≥ a_n+1)
3. monotona strettamente crescente ↔ a_n+1 > a_n ∀ n ∈ N
4. fn possiede una certa proprietà definitivamente se ∃ N ∈ N, a_n soddisfa quella proprietà ∀ n > N (i termini della successione godono di quella proprietà da un certo termine in poi)

Limiti di successione

Calcolare il limite di una successione lim a_n n=_n→∞ equivalerà a chiedersi che tipo di comportamento ha successione quando il tende a diventare molto grande

1. lim a_n + ∞ = +∞ la successione diverge a +∞

• se fissato un qualunque numero M ∈ R, a_n > M definitivamente ⇢ ∀ M ∃ N ⇢ ∀ n > N ⇢ a_n > M

2. lim a_n = -∞ la successione diverge a -∞

• se fissato un qualunque numero M ∈ R, a_n < M definitivamente ⇢ ∀ M ∃ N ⇢ ∀ n > N ⇢ a_n < M

3. se esiste un numero reale L che gode di questa proprietà: fissato un qualunque numero reale ε > 0 | a_n-L | definitvamente (da un certo termine in avanti i termini della successione distano al massimo di ε (da L e _ε))
4. → (l = 0 and ≠0) la successione converge lim a_n = L

• (o definitivamente stessa)

4. se non si verifica nessuno dei casi precedenti lim _n→∞ a_n non esiste → indeterminata

Serie

Data una successione di numeri reali {a_n} si chiama serie di termini a_n:

La somma degli infiniti termini della successione: ∑a_n

Per formalizzare l’idea di una somma di un infinito termine si costruisce una seconda successione S_n

{S_n} successione delle somme parziali della serie

Se esiste il limite: lim_n→∞S_n = ∑a_n

Si calcola la somma di un numero finito di termini della successione (S_n) si fa il limite primo di questa somma (lim S_n) se esiste e la serie:

1. lim S_n ∈ ℜ → serie CONVERGE ad S
2. lim S_n = ±∞ → serie DIVERGE a ±∞
3. lim S_n non esiste → serie INDETERMINATA, IRREGOLARE, OSCILLANTE

Serie Geometriche

∑(qⁿ) con q ∈ ℜ

Sn = q⁰ + q¹ + q² + … + qⁿ

lim S_n

Serie Telescopiche (Mengoli)

∑(a_n = a_n+1)

MENGOLI

• &frac;1;_n - &frac;1;_n+1

lim S_n = 1

INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE

∫_a^b f(g(x)) g'(x) dx = ∫_g(a)^g(b) f(y) dy → sostituzione y = g(x) → dy = g'(x) dx

DERIVATA

∫ t / (1+x²) dt = arctg tarctg x = (1 / √1+x²)' / ((1+x²)) - log(e^x + 1) / arctg(log(e^x + 1))

INTEGRALE IMPROPRIO

∫_a^∞ f(x) = lim (b → +∞) ∫_a^b f(x)

SVILUPPI

SVILUPPO DI TAYLOR (RESTO NELLA FORMA DI PEANO)

f(x) = ∑_n=0^∞ f⁽ⁿ⁾(x₀) / n! (x-x₀)ⁿ

⇒ SVILUPPO DI MACLAURIN x₀ = 0

SVILUPPO DI UN INTEGRALE

TAVOLA DEGLI SVILUPPI DI TAYLOR DELLE FUNZIONI ELEMENTARI PER x → 0.

e^x = 1 + x + x² / 2 + x³ / 6 + ··· + xⁿ / n! + o(xⁿ)

sin x = x - x³ / 3! + x⁵ / 5! + ··· + (-1)ⁿ x²ⁿ⁺¹ / (2n+1)! + o(x²ⁿ⁺²)

cos x = 1 - x² / 2 + x⁴ / 4! + ··· + (-1)ⁿ x²ⁿ / (2n)! + o(x²ⁿ⁺¹)

tan x = x + x³ / 3 + 2/15 x⁵ + 17/315 x⁷ + 62/2835 x⁹ + o(x¹⁰)

sinh x = x + x³ / 3! + x⁵ / 5! + ··· + x²ⁿ⁺¹ / (2n+1)! + o(x²ⁿ⁺²)

cosh x = 1 + x² / 2 + x⁴ / 4! + ··· + x²ⁿ / (2n)! + o(x²ⁿ⁺¹)

tanh x = x - x³ / 3 + 2/15 x⁵ - 17/315 x⁷ + 62/2835 x⁹ + o(x¹⁰)

1/(1 - x) = 1 + x + x² + x³ + ··· + xⁿ + o(xⁿ)

log(1 + x) = x - x² / 2 + x³ / 3 + ··· + (-1)ⁿ⁺¹ xⁿ / n + o(xⁿ)

arctan x = x - x³ / 3 + x⁵ / 5 - ··· + (-1)ⁿ x²ⁿ⁺¹ / 2n+1 + o(x²ⁿ⁺²)

arctanh x = x + x³ / 3 + x⁵ / 5 + ··· + x²ⁿ⁺¹ / 2n+1 + o(x²ⁿ⁺²)

(1 + x)^α = 1 + αx + α(α - 1) / 2 x² + α(α - 1)(α - 2) / 6 x³ + ··· + (α / n) xⁿ + o(xⁿ)

con

^(α)_(n) = α(α - 1)(α - 2) ··· (α - n + 1) / n!