Formulario Matematica 1

SUCCESSIONI

Sequenza ordinata di infiniti numeri detti termini della successione

In cui sia possibile identificare unicamente chi è il primo, il secondo

Una funzione ℕ → ℝ può essere calcolata solo per valori naturali

di una variabile indipendente (n) → An termine generale

Grafico della successione → insieme discreto di punti

f (ℝ) = retta, può assumere qualsiasi valore

1) f (An) si dice limitata superiormente (inferiormente) se ∃ M: An ≤ M ∀ n

∃ m: An ≥ m ∀ n

È limitata se è limitata superiormente e inferiormente.

2) Monotonia crescente ⇔ An ≤ An+1 ∀ n ∈ ℕ

Decrescente ⇔ An ≥ An+1

Monotona strettamente crescente ⇔ An < An+1 ∀ n ∈ ℕ

{An} possiede una certa proprietà definitivamente se ∃ N ∈ ℕ: An soddisfa

Quella proprietà ∀ n > N ∈ ℕ (I termini della successione godono di quella proprietà da un certo termine in poi)

LIMITI DI SUCCESSIONE

Calcolare il limite di una successione lim An = Equivalente a chiedersi che tipo di comportamento ha la successione quando n tende a diventare molto grande

1. lim An = +∞ La successione diverge a +∞

Se fissato un qualunque M ∈ ℝ: An > M definitivamente ⇛ ∀ M ∈ ℝ ∃ N0 ∀ n > N0 An > M.

2. lim An = -∞ la successione diverge a -∞

Se fissato un qualunque numero M ∈ ℝ: An < M definitivamente ⇛ ∀ M ∈ ℝ ∃ N0 ∀ n > N0 An < M

3. Se esiste un numero reale L che gode di questa proprietà: fissato un qualunque numero reale >0 |An-L| < ε definitivamente

Da un certo termine in avanti i termini della successione distano da L meno di ε

La successione converge lim An = L

4. Se non si verifica nessuno dei casi precedenti lim An non esiste → indeterminata

Successioni

Sequenza ordinata di infiniti numeri detti termini della successione

• In cui sia possibile identificare univocamente chi è il primo, il secondo e chi ogni genericamente nth
• Una funzione a_n

Il grafico della successione è sempre un insieme discreto di punti

• f(x) = retta, può assumere qualunque valore com uni dei punti

1. a_n si dice limitato superiormente (inferiormente) se

a_n è limitata se è limitata superiormente e inferiormente.

2. Monotonia crescente

Monotonia strettamente crescente

a_n possiede una certa proprieta definitavimente se

3. Quella proprieta ∀n ≥ N (i termini della successione godono di quella proprieta da un certo termine in poi)

Limiti di successione

• Calcolare il limite di una successione

a_n equivalente a chiedersi che tipo di comportamento ha la successione quando n tende a diventare molto grande

1. Se lim a_n = +∞ la successione diverge a +∞

Se fissato un qualunque numero M;

• Se lim a_n = -∞ la successione diverge a -∞

Se fissato un qualsiasi numero M;

3. Se esiste un numero reale L epsilon definitavimente da un certo termine in avanti

Si dice che la successione converge lim a_n = L

4. Se non si verifica nessuno dei casi precedenti lim a_n non esiste

Serie

Data una successione di numeri reali {a_n} si chiama serie dei termini a_n.

La somma degli infiniti termini della successione = ∑_n=0^∞ a_n

Per formalizzare l'idea della somma degli infiniti termini della successione S_n = a₀ + a₁ + ... + a_n

Successione delle somme parziali di una serie

Se esiste il limite   lim S_n = ∑_n=0^∞ a_n = L

1. lim S_n = L ∈ ℝ   Serie converge ad L
2. lim S_n = ∞ L ± ∞   Serie diverge a L
3. lim S_n non esiste Serie indeterminata

Serie Geometriche

∑_n=0^∞ qⁿ   con q ∈ ℝ   q - ragione della progressione geometrica

S_n = q⁰ + q¹ + q² + ... + qⁿ =

lim S_n     =        •          

Serie Telescopiche (Mengoli)

∑_n=1^∞ (a_n - a_n+1)

Mengoli   =        

lim S_n = 1

a_n             

Ciascun termine della successione si semplifica con quello immediatamente successivo, tranne il termine.

STUDIO DEL CARATTERE DELLA SERIE

_{(TEST DEL TERMINE N-ESIMO)}

CONDIZIONE NECESSARIA PER LA CONVERGENZA: an → 0

Se vogliamo che la somma degli an sia finita devo aggiungere quanti zero (termini sempre più piccoli) se aggiungessi termini sempre più grandi, non raggiungibili → somma ∞

CRITERI CHE FORNISCONO CONDIZIONE SUFFICIENTE PER LA CONVERGENZA:

SERIE A TERMINI POSITIVI:

• Criterio del rapporto
• Criterio della radice
• Criterio del confronto
• Criterio del confronto asintotico

SERIE A TERMINI DI SEGNO ARBITRARIO:

• Criterio della convergenza assoluta
• Criterio di Leibniz

PROPRIETÀ:

1. Siano _∑an e _∑bn due serie convergenti e k ∊ ℝ allora
• ∑(an+bn), ∑kan
2. Siano an a termini definitivamente non negativi an≥0 converge o diverge a +∞_{Non può essere indeterminata.}

CRITERIO DEL RAPPORTO

an≥0 _lim an+1/an = l

• l1 ⇒ ∑an diverge
• l=1 ⇒ inconcludente

CRITERIO DELLA RADICE

an≥0 _lim ^n√an =l

• Stesse conclusioni

CRITERIO DEL CONFRONTO

(Some matriciale & sviluppi Taylor)

Siano ∑an e ∑bn con an,bn≥0 supponiamo che an≤bn

• 1) ∑bn converge ⇒ ∑an converge
• 2) ∑an diverge ⇒ ∑bn diverge

ESEMPI DI APPLICAZIONE: p-SERIE

_{(Serie armonica generalizzata)}

• ^1/np converge p > 1 diverge p ≤ 1

CRITERIO DEL CONFRONTO ASINTOTICO

Siano ∑an e ∑bn con an,bn>0 se an∼bn

• ∑an e ∑bn hanno lo stesso carattere. _{(Entrambe convergenti/divergenti)}

Serie a Termini di Segno Arbitrario

Convergenza assoluta: se Σ|an| converge(se Σ|an| diverge a +∞, la serie originaria non converge)

Criterio di Leibniz

Sia {an} una successione e supponiamo che:

1. an > 0 definitivamente;
2. an → 0 (n → ∞);
3. an+1 ≤ an (monotona decrescente) ⇒ la serie originaria converge definitivamente

Studio della monotoniaPosso interpretare {an} come la restrizione a IN+ (all'insieme dei numeri naturali positivi) della variabile reale f(x) = |an|Devo trovare che sia definitivamente (da un certo valore in poi) decrescente ⇒ derivata

INTEGRALI

PRIMITIVE ELEMENTARI

cosx → sinx + c

sinx → -cosx + c

e^x → e^x + c

a^x → a^x / ln a + c

xⁿ → xⁿ⁺¹ / n+1 + c

1/x → ln|x| + c

1/(1+x²) → arctg x + c

1 + tg²x = 1/cos²x → tgx + c

1 + ctg²x = 1/sin²x → -ctgx + c

cosh x → sinh x + c

sinh x → cosh x + c

1/√(1-x²) → arcsin x + c

-1/√(1-x²) → arccos x + c

COMPOSTE

f'(x) · cos f(x) → sin f(x) + c

f'(x) · sin f(x) → -cos f(x) + c

f'(x)e^f(x) → e^f(x) + c

a^f(x) · f'(x) → a^f(x) / ln a + c

f'(x) · f(x)ⁿ → f(x)ⁿ⁺¹ / n+1 + c

f'(x)/f(x) → ln|f(x)| + c

f'(x)/(1+f(x)²) → arctg f(x) + c

f'(x)/√(1-f(x)²) → arcsin f(x) + c

PROPRIETA'

∫ [f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx

∫ kf(x) dx = k ∫ f(x) dx

∫ f(g(x))g'(x) dx = F(g(x)) + c

INTEGRAZIONE PER PARTI

∫ f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - ∫ f'(x)g(x) dx

(MOLTIPLICO 1, CICLICI)

INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE

∫_a^b f(g(x)) g'(x) dx = ∫_g(a)^g(b) f(y) dy

• sostituzione y = g(x)
• dy = g'(x) dx

DERIVATA

∫^1+x2_☐4x² t √(1+x²) dt = 1 arctg√(1+t²) - log(e^x+1)

INTEGRALE IMPROPRIO

∫_a^∞ f(x) = lim_b→+∞∫_a^b f(x)

SVILUPPI

SVILUPPO DI TAYLOR (RESTO NELLA FORMA DI PEANO)

f(x) = Σ_n=0^∞ f⁽ⁿ⁾(x₀) / n! (x-x₀)ⁿ

• ⇒ SVILUPPO DI MACLAURIN x₀ = 0

SVILUPPO DI UN INTEGRALE

Limiti Notevoli

lim_x→0 ^{sin x}/_x = 1

lim_x→0 ^{tg x}/_x = 1

lim_x→0 ^{ln (1 + x)}/_x = 1

lim_x→0 ^{log_a(1 + x)}/_x = 1/ln a

lim_x→0 ^{1 - cos x}/_x = 0

lim_x→0 ^{arc sin x}/_x = 1

lim_x→0 (1 + ^x/_α)^x = 1

lim_x→0 ^{1 - cos x}/_x² = 1/2

lim_x→0 ^{ex - 1}/_x = 1

lim_x→0 ^{ax - 1}/_x = ln a

lim_x→+∞ (1 + ¹/_x)^x = e

lim_x→0 (1 + ^x/_n)^1/_x = e

lim_x→0 ^{arc tg x}/_x = 1

no asintotici con serie: cancellazione, cambio variabile, gerarchia ∞ o de l'Hospital

Scala degli Infiniti

1. nⁿ
2. n!
3. aⁿ
4. n^β
5. ln(n)

∀ β, β ∈ ℝ⁺∀ a > 1

DERIVATE

• K → 0
• x → 1
• a^x → a^x ln a
• x^a → ax^a-1
• √x → ¹/_2√x
• sin x → cos x
• cos x → -sin x
• a^x → a^x ln a
• e^x → e^x
• log_ax → ¹/_x ¹/_{ln a}
• ln x → ¹/_x
• tg x → ¹/_cos²x = 1 + tg²x
• ctg x → -¹/_sin²x = -(1 + ctg²x)
• arc cos x → -¹/_√1-x²
• arc sin x → ¹/_√1-x²
• arc tg x → ¹/_1+x²

REGOLE DI DERIVAZIONE

• Kf(x) → K · f'(x)
• f(x) ± g(x) → f'(x) ± g'(x)
• f(x)g(x) → f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
• ^f(x)/_g(x) → ^{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}/_g²(x)
• f(g(h(x))) → f'(g(h(x)))·g'(h(x))·h'(x)
• f(x)ⁿ → n f(x)^n-1·f'(x)
• ^f/_g → -^f'/_f²
• f(x)^g(x) = e^{g(x) ln f(x)}
• → e^{g(x) ln f(x) [g(x)·ln f(x)]'}
• = f(x)^g(x) · [g(x)·ln f(x)]'

Criterio del rapporto

a_n > 0, lim a_n+1 / a_n ∈ [0, +∞) *

l < 1 ⇒ converge

l > 1 ⇒ diverge

l = 1 ⇒ inconcludente

Criterio della radice

a_n > 0, lim n√a_n = l *(esile rapporto)

Criterio del confronto

0 ≤ a_n ≤ b_n

Σ b_n converge ⇒ Σ a_n converge

Σ a_n diverge ⇒ Σ b_n diverge a +∞

Σ^∞_n=1 1/n^p p > 1 converge *

Σ^∞_n=1 1/n^p < 1 diverge *

* ∀ ε > 1, β ≥ l

α = 1, β ≥1

lim ln(x) = -∞

x → 0⁺

x → 0^- x → 0 non esiste, ln(x) > 0

|A(x)| > K quadro

nⁿ

n!

aⁿ

n^β

ln(x)^α

CRITERIO DEL CONFRONTO ASINTOTICO

(a_n ≈ b_n)

CRITERIO DI LEIBNIZ

• a_n ≥ 0 definitivamente
• a_n → 0 per n → +∞
• a_n+1 ≤ a_n definitivamente
• ⇒ serie converge

RADICE

• L < 1 conv
• L > 1 diverg
• P > 1 conv
• P ≤ 1 div

cosh = (e^x + e^-x) / 2

sinh = (e^x - e^-x) / 2