Formulario di Statistica

Statistica Descrittiva

• Distribuzioni

Frequenza Assoluta: f

Frequenza Relativa: fᵣ = ^f/_n n = num. tot. di eventifᵣ% = ^f/_n * 100

Frequenza Cumulata: f꜀ = disporre in ordine crescente le variabili ecalcolare le fᵣ di ognuna:

• f꜀ del 1° elemento = f₁ᵣ
• f꜀ del 2° elemento = somma delle sue fᵣe quelle del 1° elemento
• f꜀ del 8° elemento = somma della sue fᵣ,del 7° e del 1°
• ...
• f꜀ ultimo elemento = 100%

Ampiezza Classi = ^{V.max - V.min}/_{num di classi}

Grafici:- A Barre: Vₒ = qualitative o quantitative discrete- A Torta: Vₒ = qualitative- Istogramma: V = qualitative continue- Ogliva: V = quantitative continue- Ramo-Foglia: V = qualitative

Indici di Tendenza Centrale

Media:x̄ = ^{X₁ + X₂ + ... + Xₙ}/_n = ¹/_n∑_i=1ⁿ X_i

Media di popolazione: M = ¹/_N∑_i=1^N X_iN = una statistica che costituisce la popolazionen = campione modellistico che la variabileVᵢ assume nel campione

- Con frep Amm.: x̄ = ¹/_n ∑_i=1ⁿ β_i V_i

- Con frep Rel.: x̄ = ∑_i=1ⁿ f_ri V_i

Moda = valore più frequente

Mediana = valore centrale in una serie ordinata di n valori- n dispari: median occupa la posizione(n + 1)/2- n pari: median è la media tra i valori di posizionen/2 e (n/2 + 1)

Quartili:1° quartile (Q1) = mediana dei valori minori2° quartile (Q2) = mediana3° quartile (Q3) = mediana dei valori maggiori

Box-Plot[1]:a = max {X_min, Q1 - 1,5 (Q3 - Q1)}b = min {X_max, Q3 + 1,5 (Q3 - Q1)}

Indici di Variabilità

Campo di Variazione = X_max - X_min

Varianza Campionaria: S² = (x_i - x̄)²

Varianza della Popolazione: σ² =

Momento N-esimo: μ_n = (x_i)ⁿ

Deviazione Standard: σ = √(x_i - μ)²

Deviazione Standard Campionaria: s = √(x_i - x̄)²

Coefficiente di Variazione: CV = σ / |μ|

Differenza Interquartile: DQ = Q₃ - Q₁

Covarianza: cov(x, y) = (x_i - x̄)(y_i - ȳ)

Indice di Correlazione: r = (x_i - x̄)(y_i - ȳ) / S_xS_y

Variabili

• Qualitative: esprimono una caratteristica
  • Nominali: non ordinabili
  • Ordinali: ordinabili
• Quantitative: misurano una quantità
  • Discrete: sono valori interi (es. numero di)
  • Continue: assumono infiniti valori compresi in un intervallo

VARIABILI ALEATORIE DISCRETE

FUNZIONE DI MASSA DI PROBABILITÀ: P(x) := P(X = x)

• P(x) > 0 ∀ x ∈ X
• P(x) = 0 ∀ x ∉ X
• Σ_x∈X P(x) = 1

FUNZIONE DI RIPARTIZIONE: F(a) := Σ_x≤a P(x)

COPPIE DI VARIABILI ALEATORIE DISCRETE

FUNZIONE DI RIPARTIZIONE:

• → CONGIUNTA: F(x, y) := P(X ≤ x, Y ≤ y)
• → MARGINALE x: F_X(x) = P(X ≤ x, Y < ∞)
• → MARGINALE y: F_Y(y) = P(X < ∞, Y ≤ y)

FUNZIONE DI MASSA DI PROBABILITÀ:

• → CONGIUNTA: p(x_i, y_j) = P(X = x_i, Y = y_j)
• → MARGINALE x: p_X(x_i) := Σ_j P(X = x_i, Y = y_j)
• → MARGINALE y: p_Y(y_j) := Σ_i P(X = x_i, Y = y_j)

INDIPENDENZA V.A. DISCRETE: p(x, y) = p_X(x)p_Y(y)

FUNZIONE DI MASSA DI PROBABILITÀ CONDIZIONATA: p_X|Y(x|y) = ^P(X=x,Y=y)/ _P(Y=y) = ^p_XY(x,y) / _pY(y), p_Y(y) > 0

VALORE ATTESO: E[X] := Σ_i x_ip(x_i)

FUNZIONE GENERATRICE DEI MOMENTI: φ(t) := E_X[e^tX] = Σ_x e^txp(x) ∀t ∈ ℝ

MODELLI PER VARIABILI ALEATORIE DISCRETE

➔ BERNOULLI: X~Ber(p)

• ->Esperimento causale: esperimenti di tipo successo/insuccesso, vero/falso
• ->Spazio degli eventi: Ω = {V, F}
• ->Variabile aleatoria X assume valori in X ={0,1}
• FUNZIONE DI MASSA DI PROBABILITÀ: P(X = 0) = 1 - p , P(X = 1) = p
• p = parametro della distribuzione, corrisponde alla probabilità di successo.
• VALORE ATTESO: E[X] = 1 ⋅ P(X = 1) + 0 ⋅ P(X = 0) = p
• VARIANZA: Var(X) = p ⋅ (1 - p)

➔ BINOMIALE: X~Bin(n,p)

• ->Esperimento causale: n ripetizioni indipendenti di esperimenti di tipo successo/insuccesso, vero/falso
• Spazio degli eventi: {(F,F,...,F), (F,V,...,V), ..., (V,V,...,V)}\
• ->Variabile aleatoria Y indica il numero di successi nelle n prove e assume valori in Y ={0,1,...,n}. Essa è la somma di n variabili di Bernoulli indipendenti.
• Se Y₁~Bin(n₁, p) e Y₂~Bin(n₂, p) = Y₁ + Y₂~Bin(n₁ + n₂, p)
• FUNZIONE DI MASSA DI PROBABILITÀ: P(X = i) = ^{(n _i)} pⁱ(1 - p)^n-i i = 0,1,...n
• p = parametro del modello, n è un intero essere assunto noto.
• Coefficiente binomiale= numero di combinazioni semplici di n elementi in classe i: ^n!/ _i!(n-i)!
• VALORE ATTESO: E[X] = np
• VARIANZA: Var(X) = np ⋅ (1 - p)

T di STUDENT

T_n = ^Z/_√(Cn/n)

Z = normale standard, C_n = chi-quadro

VALORE ATTESO: E[T_n] = 0 per n ≥ 2

VARIANZA: Var[X] = ⁿ/_n-2 per n ≥ 3

P(T_n ≤ t_α,n) = α

F_n,m di FISHER-SNEDECOR

F_n,m = ^C_m/m/_Cn/m

P(F_n,m > f_n,m,α) = α

VERIFICA DELLE IPOTESI

H₀: ipotesi nulla da verificare su θaccetto H₀ se (x₁,x₂,...,x_n) ∉ C → C = regione critica

H₁: ipotesi alternativa (H₁ ≠ H₀)

α = probabilità di errore di 1^a SPECIE = probabilità che il campione cada nella regione critica

VERIFICA DI IPOTESI SU μ : μ ∼ N(μ, σ²), σ² NOTA

H₀: μ = μ₀ vs H₁: μ ≠ μ₀

REGIONE CRITICA: C = (x₁,x₂,...,x_n): |X̄ − μ₀| > ccon X̄ = 1/n Σ_i=1ⁿ x_i → stimatore puntuale per μ

ERRORE DI 1^a SPECIE: α = P(errore di 1^a specie) = P_μ0(|X̄ − μ₀| > c) = 2P ( Z > c√n/σ = z_α/2)→ c = z_α/2 σ/√n

RIFIUTO H₀ se → |X̄ − μ₀| > z_α/2σ/√no equivalentemente quando → |X̄ − μ₀|/σ/√n| > z_α/2

β = probabilità di errore di 2^a SPECIE = probabilità di scegliere H₀ pur essendo vero H₁ (μ ≠ μ₀)

β = P_μ(accettare H₀) = P_μ[ |X̄ − μ₀|/σ/√n| ≤ z_α/2 ] = ϕ( μ₀ − μ₀ + z_α/2) − ϕ( μ₀ − μ/σ/√n − z_α/2)

FUNZIONE POTENZA del test: 1 − β(μ)

DETERMINAZIONE DI n A PARTIRE DA β: β ≈ ϕ( μ₀−μ/σ/√n − z_α/2) n ≈ [ (z_α/2+z_β)σ/(μ₀−μ) ]²NUMEROSITA' CAMPIONARIA

P-VALUE:--> approccio alternativo alla verifica delle ipotesi

--> usa solo e si valuta la probabilità di osservare stime del parametro uguali o più estreme di quelle osservate sul campione

Una volta calcolato il valore di X̄−μ₀/σ/√n si vedese è compreso nell’intervallo [−z_α/2, z_α/2 ]:-se è compreso → accetto H₀-se non è compreso → rifiuto H₀

P-VALUE:< - CASO UNIDIREZIONALE:p-value = 1 − ϕ( X̄−μ₀/σ/√n )- rifiuto H₀ se p-value < α- accetto H₀ se p-value ≥ α- - CASO BIDIREZIONALE:p-value = 2 [ 1 − ϕ(X̄−μ₀/σ/√n)]