Formulario di Meccanica razionale T

FORMULARIO

Domanda #1............................................................................................................................................................................... 2

Domanda #2............................................................................................................................................................................... 2

Domanda #3............................................................................................................................................................................... 2

Domanda #4............................................................................................................................................................................... 2

Domanda #5a ............................................................................................................................................................................ 3

Domanda #5b ............................................................................................................................................................................

3Domanda #5c

3Domanda #6

3Domanda #7

3Domanda #8

3Domanda #9

4Domanda #10

4Domanda #11.............................................................................................................................................................................

4Meccanica razionaleFormulario

Domanda #1

Determinare le configurazioni di equilibrio del sistema e studiarne la stabilità (al variare di α).

Discussione dei casi:

1. Se il sistema ha un GDL e le forze attive sono conservative, le configurazioni di equilibrio sono quelle che rendonostazionario il potenziale (cioè U’=0). Per studiare la stabilità dell’equazione calcoliamo U’’: se U’’>0 equazione instabile,se U’’<0 equazione stabile, se U’’=0 allora calcolo U’’’ -> U’’’ diversa da zero -> instabile. Se U’’’=0 allora se U’’’’>0equazione instabile, se U’’’’<0 equazione stabile. I max di U sono i min di V

1. Se il sistema ha un GDL e le forze attive sono conservative, allora:
• sostituire il valore di θ in U' e porre U' = 0.
2. Se il sistema ha un GDL e le forze attive non sono conservative o se il sistema ha 2 GDL (e le forze sono conservative o meno), allora:
• annullare le 2 equazioni cardinali - dopo averci sostituito il valore dato di θ - (da scegliere in modo che non ci siano le reazioni vincolari).

1. Se il sistema ha 1 GDL e le forze attive sono conservative, allora sostituire in U' il valore di θ e porre U' = 0.
2. Se il sistema ha un GDL e le forze attive non sono conservative o se il sistema ha 2 GDL (e le forze sono conservative o meno), allora:
• annullare le 2 equazioni cardinali - dopo averci sostituito il valore dato di θ - (da scegliere in modo che non ci siano le reazioni vincolari).

essere calcolata rispetto allo stesso punto e quel punto deve essere l’origine del sistema rispetto alquale devi trovarti T; quindi è un metodo molto scomodo a parte qualche eccezione. Ti conviene sempre la formula2gT= T’ (T rispetto ad un sistema centrato nel centro di massa e assi fissi) + ½ mv , cioè il teorema di König per l’energiagcinetica].

Domanda #4

Scrivere le equazioni differenziali che governano il moto.

Discussione dei casi:

1. Se si è in presenza di un sistema rigido, le equazioni cardinali con il PRV sono sufficienti per lo studio del moto. (Leequazioni differenziali che descrivono il moto sono le equazioni cardinali senza reazioni vincolari o con reazionivincolari non incognite ovvero che ti sei trovato in qualche modo).
2. Se il sistema non è rigido le equazioni cardinali non sono sufficienti per studiare il moto. Allora per prima cosa devitrovarti le equazioni cardinali proiettate sugli assi o rispetto a punti

particolari in modo che non ci siano le reazionivincolari. Poi non farti troppi problemi per descrivere il moto ti servono un tot di equazioni senza reazioni pari alnumero di gradi di libertà ovvero pari al numero di parametri che ti dà il compito (tipo θ ed ξ). Ricorda quando applichile equazioni cardinali ad un pezzo solo del sistema quelle che prima erano reazioni vincolari interne che non davanofastidio adesso diventano esterne e quindi devi scegliere le equazioni accuratamente per eliminare queste nuovereazioni. Quando il sistema non è rigido spesso devi dividere il sistema in più parti altrimenti non riesci a trovare leequazioni differenziali che governano il moto.

Domanda #5a

Determinare le reazioni vincolari statiche (nei punti assegnati).

Discussione dei casi:

1) Usi le eq. cardinali però al posto di m*a e derivata di K rispetto al tempo metti zero. Come spiegato prima tig oservono un tot di equazioni pari al tot di reazioni vincolari

incognite [ogni componente lungo i o j è un'incognita! Per esempio, se la reazione ha due componenti sono due le incognite e non una].

Domanda #5b Determinare le reazioni vincolari dinamiche (nei punti assegnati). Discussione dei casi: 1) Come sopra però i termini che prima erano zero in questo caso non sono zero.

Domanda #5c Determinare le reazioni vincolari esterne e interne (nei punti assegnati). [Esse sono statiche o dinamiche]. Discussione dei casi: 1) Se le RV sono statiche, vedi 5a. 2) Se invece le RV sono dinamiche, vedi 5b.

Domanda #6 Scrivere la matrice d'inerzia I (questa domanda è posta solo se il sistema è rigido). Discussione dei casi: 1) Solitamente si lavora con gli assi principali d'inerzia, il che comporta che I è una matrice diagonale. Nei sistemi pianivale la formula I = I₁₁ + I₂₂ + I₃₃ si calcolano scomponendo il corpo rigido nelle varie parti che lo compongono (per esempio asta/e, disco/dischi) e usando, quando serve,

Il teorema di Huygens.

Quando non ci sono assi principali d'inerzia allora I non è diagonale ma solo simmetrica e dobbiamo quindi calcolare i momenti deviatori I, I e I. Per fare ciò uso Huygens, per esempio I = I - my y.

Domanda #7

Determinare uno o due integrali primi di moto.

Discussione dei casi:

1. E = T - U = T + V se le forze sono conservative.
2. Se le equazioni cardinali sono nulle allora Q e Ko sono integrali primi di moto. Per scoprire quando dQ/dt=0 ed K/dt=0 si proiettano le equazioni cardinali sugli assi.
3. Solitamente nei nostri casi gli eventuali integrali primi di moto sono E, Q e K.

Domanda #8

Determinare la posizione del baricentro G del sistema.

Discussione dei casi:

1. Se il sistema è rigido si calcola il baricentro magari scomponendo il sistema in più parti sfruttando la proprietà distributiva di G.
2. Se il sistema non è rigido si fa la somma dei G dei vari sistemi rigidi che compongono il.
sistema totale. Domanda #9 Determinare la posizione del centro di istantanea rotazione (del corpo rigido o di un corpo rigido che compone il sistema, se esso non è rigido), e le equazioni di base e rulletta. Discussione dei casi:
1. Per trovare C si pone V = V + W (C - P) = 0, o equivalentemente V = W (P – C), dove in generale P è un punto del CR di cui si conosce posizione e velocità. Si può anche procedere per via geometrica tenendo presente che C si trova nell’intersezione delle normali alle velocità/traiettorie dei due punti in movimento.
Domanda #10 Determinare la velocità angolare del disco (o dei due dischi). Discussione dei casi:
1. Per trovare l’W desiderato basta eguagliare le velocità dei punti di strisciamento a contatto rispetto alle due parti, infatti questa richiesta è di solito preceduta dalla presenza, nel sistema, di un vincolo di rotolamento senza strisciamento.
Domanda #11 Determinare la

Velocità di strisciamento del tal punto. Discussione dei casi:

1. Uso la formula fondamentale dei sistemi rigidi: se abbiamo un disco di centro A e punto di strisciamento senza scivolamento H (che è centro di istantanea rotazione), allora V = V + W (H – A).
2. Solitamente la velocità di strisciamento viene chiesta soltanto inerente a qualcosa che rotola, e quindi un disco.