Formulario del corso di Fisica tecnica

V V

2

dx k 2k

le costanti A, B si determinano sapendo che sulle pareti la temperatura è T (x = 0) = T (x = L) = T e

0

si ottiene 2

q x

q L V

V −

x

T (x) = T +

0 2k 2k

vale inoltre che 2

L q L

V

T = T ( ) = T +

M AX 0

2 8k

Stesso risultato si ottiene applicando direttamnete il postulato di Furier (guarda appunti)

Modello 2

Un caso di particolare interesse è quando la temperatura delle due pareti si mantiene costante ma con

valori differenti nella trattazione si considera un (T > T )

1 2

In questo caso risolvendo la’equazione dei campi conduttivi quello che si ottiene è la stessa soluzione a

cambiare saranno le condizioni al contorno

 2

q x

−

T (x) = + Ax + B

V

 2k



 T (0) = T

1

 T (L) = T

 2



risolvendola si ottiene 2

−

T T q x

q L 2 1 V

V −

+ x]

T (x) = T + [

1 2k L 2k

L’andamento del flusso termico sarà dT k q L

′′ V

−k −

q = (x) = (T T ) + [q x ]

1 2 V

dx L 2

Convezione

Fenomeno convezione è associato al movimento del fluido rispetto una parete. Può essere forzata o

naturale a seconda delle cause che mettono in moto il fluido.

Inoltre fenomeno convezione si differenzia nel caso si stia studiando un deflusso interno ”fenomeno che

avviene all’interno di un condotto” o un deflusso esterno ”provocato da un flusso d’aria che lambisce

una superficie esterna”

Potenza termica scambiata per convezione è definita come

q = h∆T S

E’ possibile inolre definire resistenza termica per convezione di una superficie come

1

∆T =

R =

t q hS

5

Viscosità ⃗

Quando un flusso di aria investe una parete orizzontale si vi dovra essere una forza di rearione F che

permette alla lastra di mantenersi in moto uniforme.

Per un fluido Newtoniano vale che ⃗

F U

∞

| | = µ

S ∆y

Possibile definire la viscosità di un fluido come il rapporto tra lo sforzo tangenziale e la velocita di

deformazione dU

F |

= µ| = τ

xy

S dy

• kg

Viscosità dinamica µ = [ ]

ms 2

• µ m

Viscosità cinematica ν = = [ ]

ρ s

La viscosità è legata alla formazione dello strato limite ed è proprio all’interno dello strato limite

che si hanno i maggior cambiamenti dei parametri in gioco.

Relazione tra strato limite termico e coefficente di convezione

k

h = δ t

Numero di Reynolds

Rappresenta unn rapporto tra forze di inerzia e forze viscose

U

ρU L ∞L

∞ =

Re = µ ν

possibile stimare strato limite meccanico δ conoscendo Numero di Reynold

m r

δ ν

1

m −

= Re =

2

L U

∞L

E’ inoltre un indicatore che mi permette di dire se lo strato limite è laminare o turbolento.

• −→

Re elevato prevalgono le forze inerziali che tendono a destabilizzare il moto del fluido (regime

turbolento)

• −→

Re basso prevalgono le forze viscose che stabilizzano il moto (regime stazionario)

• esiste inolre un valore di soglia identificato da Re chedipenderàdadiversif attori

critico

Numero di Prantdl

Descrive attitudine fluido a modificare campo temperatura e velocità. Lega lo starto limite termico con

lo strato limite meccanico

E’ definito come C µ

ν p

=

Pr = α k

Numero di Nusselt

Definnisce un intensita di convezione.

Rappresenta l’incremento della potenza termica trasmessa per convezione rispetto quella trasmessa per

conduzione su uno strato di fluido.

E’ definito come ·

h L

Nu = k

A seconda del tipo di problema in esame è possibile legarlo al numero di Reynols e al numero di Prantdl

6

• CASO δ >> δ

t m

1

1 P r

N u = Re 2 2

• CASO δ >> δ

m t

1 1

N u = Re P r

2 3

• CASO GENERICO (in cui il corpo studiato non è una lastra piana)

α β

·

N u = C Re P r

dove α, β, C sono costantiche si determinano da prove sperimentali

Esistono delle relazioni sperimentali che a seconda del tipo di flusso permettono di ricavare

valori di interesse (vedi pp.29 Quintino)

Flusso termico dissipato per effetto Jule ρ L

e

2 ·

q = 4I 2

πD

Deflusso esterno su cilindri o sfere

Considerando un corpo sferico o cilindrico investito da un flusso a velocità V e temperatura T vale

∞ ∞

che: ρV D

∞

Re =

D µ

5

·

e vale inoltre che Re = 2.8 10

critico

Negli esercizi va calcolato Re per capire se il flusso è laminare o turbolento per poi calcolare

cr

attraverso le relazioni sperimentali il N u e determinare cosi il valore di h che inserito nell’equazione

di bilancio descrive il flusso termico

All’interno di un condotto bisogna prima di tutto definire se il flusso e laminare oturbolento andando

a studiare in numero di Reynolds (

Re < 2300 (laminare)

Re > 2300 (turbolento)

all’interno di unn condotto il coefficente di convezione cosı̀ come il flusso termico varieranno lungo

l’ascissa. A una distanza x >> D possiamo dire possiamo dire dire che fluido raggiunge le condizioni di

7

completo sviluppo

Risulta in tali condizioni che flusso locale scambiato come

−

dq(x) = h(x)[T T (x)]dS

p f

e quindi lo scambio termico complessivo si ottiene integrando l’equazione lungo tutto il condotto.

T e la temperatura del fluido a una certa sezione e per definirla vi possono essere tre particolari modi

f

[CONVENZIONE].

• media pesata sull’inerzia termica R ρC U T dS

p

S

T =

f R ρC U dS

p

S

• media pesata sulla portata in massa R R

ρU T dS ρU T dS

S S

T = =

f R G

ρU dS T

S

• media pesata sulla sezione Z

1 T dS

T =

f S S

Per cui è possibile esprimere scambio termico in funzione grandezze medie

Z

− −

q = h(T T )S = h(x)[T T (x)]dS

p f p f

S

Coefficente convezione medio ≈

Si osserva che quando un fluido è completamente sviluppato risulta che h(x) costante

R −

h(x)[T T (x)]dS

p f

S

h = −

T T S

p f

Temperatura media logaritmica − − −

(T T ) (T T )

p f 0 p f L

−

T T = = DT M L

p f −T

(T )

p 0

f

ln −T

(T )

p L

f

E’ possibile esprimere il flusso scambiato in funzione della temperatura media logaritmica

q = h∆T S

Lunghezza di un condotto affinchè si abbia una certa temperatura di uscita

La temperatura di uscita rappresenta proprio quella che abbiamo indicato nelle formule come T (x)

f

ipotizzando che ti trovi in corrispondeza dell’uscita

· −

G C (T T )

p out in

L = h∆T πD

dove ”G” è la portata in massa.

G = ρU A

∞ 8

Breve recap su come ottenere il flusso termico all’interno di un condotto

Potendo definire la quantità infinitesima di calore scambiato come dQ = dmC dT = ρA(vdτ )C dT

p p

(con G = ρAv) è possibile definire il termico infinitesimo lungo un tratto infinitesimo di condotto

dQ = GC dT . Si osserva inoltre che a una distanza x >> D il fluido è completamente sviluppato e

dq = p

dτ −

vale la relazione dq = [T T (x)]h(x)ds.

p f

1. Eguagliando quindi le due espressioni di dq(x)

2. integrandole lungo tutto il condotto

≈

3. tenedo conto che vale h(x) h̄ −T −(T −T

(T ) )

p 0 p L

f f

−

T T =

4. introducendo la temperatura media logaritmica p f −Tf

(Tp )0

ln −Tf

(Tp )

L

siamo in grado di definire la potenza termica scambiata lungo un condotto in convezione forzata

− − −

h̄S[(T T ) (T T ))]

∞

p L p

q = = h̄S(DT M L)

−T

T p L

ln −T

T ∞

p

Guarda esercizi su ”Appunti”

Irraggiamneto

Velocita propacazione onda elettromagnetica nel mezzo

c

0

c = n

lunghezza d’onda in funzione frequeza e velocità propagazione

·

c = λ f

Energia associata a fotoni E = hf

ove h è la costante di Planck

Si definisce Spettro di emissione il grafico che ha per ascisse la frequenza e per ordinate l’energia

associata a tale frequenza. L’area sottesa dalla curva di tale grafico rappresenta l’energia totale associata

al corpo emissivo.

Irradiamento integrale dW

E

J = dA

W

[ ] dipenderà dalla natura del corpo e dalla sua temperatura

2

m

Quantità totale di energia emessa Z

W = JdA

E A

9

emissione specifica dJ

ϵ = dλ

dipenderà dalla natura del corpo dalla sua temperatura e dalla sua lunghezza d’onda

da cui si definisce anche ∞

Z

J = ϵdλ

0 ∞

Z Z

W = ϵdλdA

E 0

A

E’ possibile definire un grafico che ha in ascissa la lunghezza d’onda e in ordinata l’energia specifica. Tale

grafico identifica lo spettro di emissione

Definizione

• ̸

corpo generico a + r + t = 1 dove a, r, t = 0

• corpo opaco a + r = 1 dove t = 0

• corpo grigio deve risultare che a + r = 1 e a + r = 1

λ λ

• corpo nero a = a = 1

λ

corpo nero è il corpo che a parità di temperatura emette di più.

Principio di kirchhoff

All’equilibrio la potenza termica emessa da ciascun corpo deve essere ugiale alla potenza assorbita. Ne

consegue che piu un corpo è in grado di assorbire (a e a elevati) maggiori saranno le sue capacità

λ

emissive.

Si può dimostrare studiando irraggiamento tra due pareti piane ed è analiticamente esprimibile come

ϵ = ϵ (λ, T )

0

a

λ

Irraggiamento tra due pareti piane poste a distanza piccola tra loro rispetto la loro lunghezza

gli indici 1 fanno riferimento alla prima parete e gli indici 2 fanno riferimento alla seconda parete

Potenza assorbita da superficie 2 e ceduta da superficie 1

J a

1 2

q =

1−→2 − − −

1 (1 a )(1 a )

1 2

Potenza assorbita da parete 1 ceduta da parete 2

Si ottiene dall’espressione precedente ruotando indici J a

2 1

q =

2−→1 − − −

1 (1 a )(1 a )

1 2

Dalla differenza tra la potenza emessa e quell