Formulario completo di Meccanica quantistica

Formulario Analitico di Meccanica Quantistica

Sintesi Avanzata per Esame

1 CONCETTI FONDAMENTALI

1.1 Stern-Gerlach (SG) e Spin 1/2

• Vettore di Spin: S = σ.

ℏ

2

−i

0 1 0 1 0

• Matrici di Pauli: σ = , σ = , σ = .

x y z −1

1 0 i 0 0

−

e

1. Componente S : Autovalori + ℏ ℏ

x 2 2

Autovettori

1

1

|→⟩

(a) = (spin up lungo x)

√ 1

2

1

1

|←⟩

(b) = (spin down lungo y)

√ −1

2 −

2. Componente S : Autovalori + e

ℏ ℏ

y 2 2

Autovettori

1

1

|→⟩

(a) = (spin up lungo y)

√ i

2

1

1

|←⟩

(b) = (spin down lungo y)

√ −i

2 −

3. Componente S : Autovalori + e

ℏ ℏ

z 2 2

Autovettori

1

|↑⟩

(a) = (spin up)

0

0

|↓⟩

(b) = (spin down)

1

• {σ } · · · · ×

Algebra di Pauli: [σ , σ ] = 2iϵ σ , , σ = 2δ , (⃗σ a)(⃗σ b) = a b + i⃗σ (a b).

i j i j ij

ijk k

• θ θ

iϕ

|n̂; |+⟩ |−⟩.

Autoket di S (direzione n̂): +⟩ = cos + e sin

n 2 2

• 2

→ | ⟨S |S ⟩ |

Probabilità SG in sequenza: P (S S ) = = 1/2.

z+ x+ x+ z+

1

1.2 Formalismo di Dirac e Algebra degli Operatori

P

• |a ⟩ ⟨a |

Relazione di Completezza (Identità): = ⊮.

i i

i

• → ⟨a |A|a ⟩, |α⟩ → ⟨a |α⟩.

Rappresentazione Matriciale: A i j i

• 2

|a ⟩ ⟨a |.

Operatore Proiezione: Λ = Proprietà: Λ = Λ, Tr(Λ) = 1.

i i i

P

• |a ⟩ ⟨a |

Funzioni di Operatori: f (A) = f (a ) (solo se A è hermitiano).

i i i

i

1.3 Misura e Indeterminazione

• ⟨A⟩ ⟨α| |α⟩.

Valore Medio (Aspettativa): = A 2

• 2 2 − ⟨A⟩

Varianza (Scarto Quadratico): ∆A = A . 2 2

• 14

1

2 2 ≥ |⟨[A, |⟨{A − ⟨A⟩ − ⟨B⟩}⟩|

Relazione di indeterminazione generalizzata ∆A ∆B B]⟩| + , B .

4

• |a,

Osservabili Compatibili: [A, B] = 0 =⇒ Base comune di autoket b⟩.

1.4 Posizione, Momento e Traslazione

• Commutazione Canonica: [x , p ] = iℏδ .

i j ij

[p , p ] = [x , x ] = 0

i j i j

ip·l

• T −

Operatore Traslazione: (l) = exp .

ℏ

• T T

Proprietà di : [x, (l)] = lT (l).

• d

−iℏ è il generatore delle traslazioni spaziali.

Momento come Generatore: p = dx

• 2

⟨f, ⟩⟨g, ≥ |⟨f,

Lemma di Schwartz f g⟩ g⟩|

R ∞

• ′ ′ |x⟩ ⟨x|

⟨x|x ⟩ − dx =

Spettro Continuo: = δ(x x ), ⊮.

−∞

1.5 Funzioni d’onda nello spazio delle coordinate e dei momenti

• ⟨x|α⟩.

Funzione d’onda nello spazio delle coordinate: ψ (x) =

α

• ⟨p|α⟩.

Funzione d’onda nello spazio degli impulsi: ϕ (p) =

α

• ∂

⟨x| |α⟩ −iℏ

Rappresentazione del Momento in x: p = ψ (x).

α

∂x

ipx

1

⟨x|p|x|p⟩ e

= ℏ

3

(2πℏ) 2 R R

px px

−i −i

• 1 1

Trasformata di Fourier (funzione ponte): ϕ(p) = e ψ(x)dx, ψ(x) = e ϕ(p)dp.

√ √

ℏ ℏ

2πℏ 2πℏ

R R

2 2

• |ψ(x)| |ϕ(p)|

Normalizzazione: dx = dp = 1.

2

1.6 Pacchetto d’Onde Gaussiano

2 ip x

• 1 x

− +

Forma Standard (t = 0): ψ(x) = exp .

0

1 2

4σ ℏ

2

(2πσ ) 4

• .

Incertezze: ∆x = σ, ∆p = ℏ

2σ

• Minima Indeterminazione: ∆x∆p = .

ℏ

2

2 2

14 (p−p ) σ

2

• 2σ − 0

exp

Nello spazio p: ϕ(p) = ( ) .

2 2

πℏ ℏ 3

2 DINAMICA QUANTISTICA

2.1 Evoluzione Temporale e Equazione di Schrödinger

iH(t−t )

• U(t, − 0

Operatore di evoluzione temporale: t ) = exp (per H indipendente dal

0 ℏ

tempo).

• †

U: U U U(t U

Proprietà di Unitarietà = I; Composizione , t ) = (t , t )U(t , t ).

2 0 2 1 1 0

• ∂ |α,

Equazione di Schrödinger (Ket): iℏ t ; t⟩ = H|α, t ; t⟩.

0 0

∂t U(t)

Deriviamo soluzioni formali dell’equazione di Schrödinger per l’operatore

1. L’operatore H non dipende dal tempo: anche quando t cambia H non varia come ad esempio

nell’interazione di unm momento magnetico di spin con un campo magnetico indipendente dal

−iH(t−to ) |α, ⟩ |α, ⟩

t = t; t

tempo. In questo caso avremo: e 0 0

ℏ

2. H dipende dal tempo ma le H a tempi diversi commutano, cioè gli autostati dell’energia non

′ ′′ ′ ′′

∀t

cambiano nel tempo. Abbiamo dunque [H(t ), H(t )] = 0 , t

R t

−i ′

U(t, t ) = exp dt H(t)

0 t

ℏ 0 ′ ′′ ̸

3. H dipende da t ma le H a tempi diversi non commutano [H(t ), H(t )] = 0. In questo caso si

usa la Serie di Dyson

• −iE t/ℏ

|n⟩, |n, |n⟩.

Autoket dell’energia: Se H|n⟩ = E allora t⟩ = e n

n

• d i ∂A

⟨A⟩ ⟨[H, ⟨ ⟩.

Evoluzione dei valori medi: = A]⟩ +

dt ∂t

ℏ

2.2 Schemi di Schrödinger e Heisenberg

• † †

|α, U |α, U U(t).

Trasformazione tra schemi: t⟩ = (t)|α, t⟩ = t = 0⟩ ; A (t) = (t)A

H S S H S

dA

• i

Equazione del moto di Heisenberg: = [A , H]

H H

dt ℏ

Condizione iniziale dell’equazione differenziale: A (t = 0) = X

0 S

• †

|a, U

Ket di base: Gli autoket di un osservabile A nello schema di Heisenberg sono t⟩ = (t)|a⟩ .

S H S

Nota: A (t)|a, t⟩ = a|a, t⟩ .

H H H ⟩ ⟨⃗

⟩ ⟩

d⟨⃗

x p d⟨⃗

p

• ⟨−∇V

= e = (⃗x )⟩.

Teorema di Ehrenfest: dt m dt

2.3 Particella Libera (1D e 3D)

2

p

• Hamiltoniana: H = . Commuta con p

⃗

, quindi [⃗

p, H] = 0.

2m R

• 1 ·⃗x −Et)/ℏ

i(⃗p 3

Funzione d’onda (Schrödinger): ψ(⃗x, t) = ϕ(⃗

p )e d p.

3/2

(2πℏ)

h i

p ′ 2

im(x−x )

• m

′

Propagatore (1D): K(x, t; x , 0) = exp .

2πiℏt 2ℏt p(0)

• Evoluzione operatori (Heisenberg): x (t) = x(0) + t; p (t) = p(0).

H H

m

4

2.4 Oscillatore Armonico Semplice

2

p̂

• 12 2 2

Hamiltoniana del sistema: Ĥ = + mω x̂

2m

• 12 †

) mentre N = a a.

Energia: E = +

ℏω(n p p

ip ip

• mω mω

† −

Operatori Scaletta: a = (x + ); a = (x ).

2ℏ mω 2ℏ mω

q

• †

Operatori posizione e momento: x = (a + a ),

ℏ

2mω

r mℏω †

−i −

p = (a a )

2

• †

Commutatore: [a, a ] = 1. √

√ † n

(a )

• †

− |n⟩ |n⟩ |0⟩.

n|n 1⟩; a = n + 1|n + 1⟩; =

Autostati: a|n⟩ = √ n!

p 1 2

• mωx

mω d mω − .

(x+ )ψ (x) = 0 =⇒ ψ (x) = exp

Stato Fondamentale (Coordinate): ℏ 4

0 0

2ℏ mω dx πℏ 2ℏ

• −iωt † † iωt

Evoluzione Temporale Heisenberg: a(t) = a(0)e ; a (t) = a (0)e .

n=0

• 2

⟨x ⟩ −−→

Dispersione posizione (GS): = (2n + 1) .

ℏ ℏ

0 2mω 2mω

2.5 Pacchetto d’Onda Gaussiano e Baker-Campbell-Hausdorff

2

• 1 x

− .

Pacchetto Gaussiano: ψ(x, 0) = exp ik x

√ 0 2

2d

1/4

π d h i

2 2 2

• d t

2

⟨(∆x) ⟩

Evoluzione della varianza: = 1+ .

ℏ

t 2 4

2 m d

q 2 2

• t

Larghezza del pacchetto: ∆x = ∆x 1+ .

ℏ

t 0 2 4

4m (∆x )

0

• Formula di Baker-Campbell-Hausdorff (BCH):

Esprime il prodotto di due esponenziali di operatori non necessariamente commutativi come un

unico esponenziale di un’espressione che coinvolge i commutatori di tali operatori.

1

12

A B

e e = exp A + B + [A, B] + ([A, [A, B]] + [B, [B, A]]) + . . . .

12

• 1

−A

A

Identità Utile: e Be = B + [A, B] + [A, [A, B]] + ...

2! 1

−

• [A,B]

A+B A B

Caso Particolare [A, B] c-number: e = e e e .

2

5

3 MECCANICA ONDULATORIA

3.1 Fondamenti della Rappresentazione x

h i

2

• ∂ 2

− ∇

Eqazione di Schrödinger: iℏ ψ(x, t) = + V (x, t) ψ(x, t)

ℏ

∂t 2m

2

2 d ′ ′ ′

− + V (x ) ψ (x ) = Eψ (x )

Equazione di Schrödinger indipendente dal tempo in 1D: ℏ E E

2

2m dx

• 2

|ψ(x,

Densità di Probabilità: ρ(x, t) = t)|

• ∗ ∗ ∗

∇ψ) −

Corrente di Probabilità: J(x, t) = Im(ψ = [ψ (∇ψ) (∇ψ )ψ]

ℏ ℏ

m 2mi

∂ρ

• ∇·

+ J =0

Equazione di Continuità: ∂t

3.2 Analisi Unidimensionale e Proprietà 2

d ψ

• 2m −

+ [E V (x)]ψ = 0

Eq. di Schrödinger Indipendente dal Tempo: 2 2

dx ℏ

• Potenziali costanti a tratti

1. Caso 1: ϵ > V > V

n 1

Abbiamo due soluzioni indipendenti, spettro continuo e deg=2. La soluzione generale è una

combinazione di due soluzioni indipendenti oscillanti (una da destra e una da sinistra)

2. Caso 2 (Barriera di potenziale): V < ϵ < V

1 N

Nella regione 1 la soluzione è una combinazione di esponenziali oscillanti: ψ (x) = Asin(kx+ϕ).

1

−κx

κx

Nella regione 2 la soluzione è nella forma di combinazioni di e , e , ma scartiamo il primo

−κx

pezzo: ψ (x) = Be .

2 −∞

Il moto è infinito solo per x = e questo diventa un punto di inversione classico. A x = +∞

la soluzione è finita ed è pari a 0. Fissando le condizioni al contorno:

( −→

ψ (0) = ψ (0) Asinϕ = B

1 2 Da questo deduciamo che B=0 e che ψ (x) = Asin(kx).

1

′ ′ −→ −κB

ψ (0) = ψ (0) kAcosϕ =

1 2

′

Quindi ψ (x) = 0 e in questo modo si perde la continuità quando la discontinuità è di II specie

2

(salto infinito). Ci limitiamo a richiedere la continuità della sola funzione.

3. Caso 3: N > ϵ > V

1 min

L’energia è al di sopra del minimo assoluto del potenziale. In questo caso non esistono soluzioni

e, se esistono, esistono solo per alcuni valori particolari dell’energia. Abbiamo dunque:spettro

discreto, una soluzione (no deg) e uno stato legato perché il moto è limitatop ad una regione

→ −∞).

finita (il x

moto è illimitato per

4. Caso 4: ϵ < V min

Non ci son