Formula di Taylor + soluzioni prova intercorso

Formula di Taylor con m ≥ 2

Consideriamo uno spazio in ℝ^m, con f appartenente a C²(Ω). Supponiamo che x, x₁, x+h ∈ Ω, e che t e h seguano x_t = x + th, estremato in Ω.

Definizione di F(t)

In generale, possiamo definire F(t) come:

F(t) = f(x_t) = ₁ ^t Df(x_t)(x+h)

Formula di Taylor con il resto di Lagrange

La formula di Taylor con il resto di Lagrange è data da:

f(x+h) = f(x) + i ∑ _i =1 ^m fi(x)₁ ch(2) = ∑ f(x), D²f(x)

Derivate seconde

Considerando che:

D²f(x) =

• f_x1x1 f_{x1x2 ... fx1xm}
• f_x2x1 f_{x2x2 ... fx2xm}
• ... ...
• f_xmx1 f_{xmx2 ... fxmxm}

Si nota che la derivata seconda non è simmetrica.

Formula di Taylor con il resto di Peano

La formula di Taylor con il resto di Peano è espressa come:

f(x+h) = f(x) + Df(x)h + 1/2 (D²f(x)h, h) + o(║h║²).

Caso n=2

In particolare, per n=2, la formula diventa:

f(x+h) = f(x) + f^'(x)h + 1/2 f^''(x)h² + o(h¹)