Formula di Taylor

FORMULA DI TAYLOR

Utile per sostituire a delle funzioni dei polinomi specifici, che sono più

maneggevoli.

Dato un polinomio derivabile n volte del tipo:

2 n

( )=a +a

p x x+ a x …+a x

0 1 2 n

La sua derivata è: −1

' 2 n

( )=a + +3

p x 2a x a x … . n a x

1 2 3 n

Mentre la derivata seconda è:

'' n−2

( )=2 ( )

+3∗2a

p x a x … n n−1 a x

2 3 n

La derivata n-esima è quindi:

n−n =n

n ! a x ! a

n n

Volendo limitare la derivata al punto 0 avremmo:

' '' n

( )=a ( )=a ( )=2! ( )=n

p 0 p 0 p 0 a p x ! a

0 1 2 n

Quindi, alla luce di tutto ciò:

1 1 1

' ' ' 2 n n

( ) ( )+ ( ) ( ) ( )

= +

p x p 0 p 0 x p 0 x …+ p 0 x

1 ! 2! n!

E più in generale: 2 n

( ) ( ) ( )

( )=a +a +a

p x x−x x−x …+a x−x

0 1 0 2 0 n 0

Che è uguale a: ' ' n

( ) ( )

p x p x

0 0

' 2 n

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+ +

p x p x x−x x−x …+ x−x

0 0 0 0 0

2 n!

In sostanza, se sono noti i valori delle derivate ennesime in un determinato x ,

0

è noto il polinomio per ogni x, e questa è una proprietà speciale dei polinomi.

A questo punto, esiste un polinomio tale da approssimare una funzione con

qualche derivata definita in un intervallo chiuso a, b e quindi continua? Se f è

derivabile in un punto x appartenente ad (a, b):

0

( )

( ) −f

f x x 0 ' ( )

=f x per x → x

0 0

x−x 0

Esiste una quantità detta Resto di Peano che è:

'

( ) ( ) ( )

( ) (−f −f )=R ( )

f x x x x−x x

0 0 0 1

In modo che: