Formula di Taylor

Formula di Taylor

Utile per sostituire a delle funzioni dei polinomi specifici, che sono più maneggevoli. Dato un polinomio derivabile n volte del tipo:

2 n( )=a +ap x x+ a x …+a x_{0 1 2 n}

Derivate del polinomio

La sua derivata è: −1' 2 n( )=a + +3p x 2a x a x … . n a x_{1 2 3 n}

Mentre la derivata seconda è:

'' n−2( )=2 ( )+3∗2ap x a x … n n−1 a x_{2 3 n}

La derivata n-esima è quindi:

n−n =nn ! a x ! a_{n n}

Derivata limitata al punto 0

Volendo limitare la derivata al punto 0 avremmo:

' '' n( )=a ( )=a ( )=2! ( )=np 0 p 0 p 0 a p x ! a_{0 1 2 n}

Espansione di Taylor

Quindi, alla luce di tutto ciò:

1 1 1' ' ' 2 n n( ) ( )+ ( ) ( ) ( )= +p x p 0 p 0 x p 0 x …+ p 0 x₁ ! _2! n!

E più in generale:

2 n( ) ( ) ( )( )=a +a +ap x x−x x−x …+a x−x_{0 1 0 2 0 n 0}

Che è uguale a:

' ' n( ) ( )p x p x_{0 0}' 2 n( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ +p x p x x−x x−x …+ x−x_{0 0 0 0 0}2 n!

Proprietà dei polinomi

In sostanza, se sono noti i valori delle derivate ennesime in un determinato x ,₀ è noto il polinomio per ogni x, e questa è una proprietà speciale dei polinomi. A questo punto, esiste un polinomio tale da approssimare una funzione con qualche derivata definita in un intervallo chiuso a, b e quindi continua?

Se f è derivabile in un punto x appartenente ad (a, b):

( )( ) −ff x x₀ ' ( )=f x per x → x_{0 0}x−x₀

Resto di Peano

Esiste una quantità detta Resto di Peano che è:

'( ) ( ) ( )( ) (−f −f )=R ( )f x x x x−x x_{0 0 0 1}

In modo che: