Fondamenti di Termoidraulica bifase

TERMINE DI ACCELERAZIONE

Il termine di accelerazione deve essere esplicitato per le due fasi liquida e gassosa che possono

avere valori diversi di portata e velocità-

Tenendo conto delle definizioni:

Volendo esprimerla solo in termini di frazione di vuoto e velocità delle fasi, facendo le sostituzioni si

trova:

Volendola esprimere in funzione di portata in massa delle fasi diversificate:

Volendo esplicitare il titolo:

Dove:

Questo termine subisce delle semplificazioni utilizzando il modello omogeneo, mentre utilizzando il

modello di scorrimento una delle forme rimane invariata perché le due fasi devono essere distinte.

TERMINE IRREVERSIBILE PER ATTRITO

In generale, per analogia con il monofase, il gradiente è:

per definizione è legato al termine cinetico della miscela dal coefficiente di attrito:

t

w 64

a (

A B

Z = =

< 1 4

,- #

2

Dove: #

G = 4V-@T>%4FW4 #4% W4EH@F4 Z@F4W@C

C

2,

,

Il fattore di attrito f è un fattore bifase.

TP

Nasce la definizione di diametro idraulico, definito come:

Posso calcolare le perdite di carico irreversibili in bifase come se fossi in monofase applicando un

fattore correttivo moltiplicativo. Scelgo una fase sola, posso far finta che la miscela bifase sia

virtualmente tutta liquida o tutta gassosa oppure posso prendere la fase liquida che effettivamente

c’è o la fase gassosa che effettivamente c’è. Ho 4 possibilità, per cui ci saranno 4 moltiplicatori

diversi.

Prendendo il bifase come se tutta la portata fosse monofase si usa i pedici l (liquid only) o v (vapor

o o

only). Questi parametri sono tra loro correlati:

Utilizzando tutto liquido ci sarà un fattore correttivo indicato come . Analogamente c’è un

F F

2lo 2vo

per il vapor only. Questo mi dice che il gradiente di pressione per attrito in bifase è uguale a quello

monofase sia con tutta la portata liquida che con vapore applicando l’opportuno coefficiente

moltiplicativo. È evidente che i due risultati devono portare allo stesso valore; quindi, i due

moltiplicatori dovranno essere tali per cui qualunque sia la mia scelta ottengo lo stesso risultato.

Normalmente, si utilizza la scelta del solo liquido quando ho canali in ebollizione, mentre il solo vapore

per canali di condensazione.

Il gradiente di pressione per attrito in bifase è anche spesso valutato sulla base della sola fase liquida

o gassosa effettivamente contenuta nella miscela che scorre nel canale (G(1 o Gx). In questo

− b)

caso vengono utilizzati i pedici l e v:

Quindi la relazione tra i moltiplicatori bifase è:

MODELLO OMOGENEO: GRADIENTE TOTALE DI PRESSIONE

Ammettiamo di essere in equilibrio termico e che le velocità delle due fasi siano uguali.

La densità media, che in generale va pesata con la frazione di vuoto, in generale non è uguale

all’inverso del volume specifico medio (pesato con il titolo), ma nel modello omogeneo si.

Allora in condizioni stazionarie:

Il volume specifico medio dipende dai volumi specifici della fase liquida e della fase gassosa e, se

%@

nel canale c’è scambio termico cambia il titolo, quindi il calcolo lo devo esplicitare per tenere

%9

conto delle dipendenze sia del titolo (varia somministrando e togliendo calore) e i volumi specifici

delle singole fasi (variano con la pressione). 65

Trascurando la comprimibilità del liquido:

Andando a mettere insieme tutti i termini:

Riorganizzando i termini:

Sarebbe possibile trascurare anche la comprimibilità del vapore se:

In questo caso, l’espressione si semplifica come:

Sono possibili due approssimazioni per il calcolo del fattore di attrito bifase:

1) Corrisponde al fattore di attrito per il flusso della fase liquida con lo stesso flusso di massa G

della miscela bifase:

2) Presenta la stessa dipendenza Re della monofase f in modo che:

lo

Di solito si ipotizzando condizioni di flusso turbolento, in modo che e Per tubi lisci

B = 0,316 F = 0,25.

e

B = 0,184 F = 0,2.

Il moltiplicatore bifase per il modello omogeneo di equilibrio è:

Una situazione di flusso termico uniforme (viene fornito in maniera uniforme lungo tutto il tubo) dal

bilancio energetico si nota che il titolo crescerà linearmente perché la portata in massa che assorbe

la potenza termica varierà la sua entalpia di un ∆H:

CC

V d.#U = Ḣ∆e

Che poi si può scrivere come calore latente per la variazione del titolo termodinamico:

CC

V d.#U = Ḣℎ ∙ #b

<?

%D %D

Allora è immediato che il o è una costante; quindi, immaginando ulteriori semplificazioni ossia

%: %9

che all’ingresso il liquido sia saturo (b si può scrivere che:

= 0)

Sostituisco alle densità medie l’inverso del volume specifico medio, nel tratto dell’elevazione lo trovo

a denominatore, mentre nel tratto dell’attrito lo trovo a numeratore:

Integrando per trovare il ∆p, l’integrazione la faccio sul dl, però ho le x quindi integrando devo

cambiare variabile perché avrò, per l’ipotesi fatta che:

66

b

&

#b = #%

2

Quindi, quando vado a fare l’integrazione spaziale tra 0 e L, l’integrazione la trasforma tra 0 e x

0

facendo un cambio di variabile e si ottiene:

Metto prima il termine di accelerazione, poi quello di attrito e infine quello di elevazione.

Nel caso lungo il condotto siano presenti delle perdite di carico concentrate, esse vanno valutate

con gli opportuni coefficienti K come se la portata fosse tutta liquida e quindi moltiplicare per il

moltiplicatore bifase liquid only, che dipende dal valore che il titolo x e la pressione assumono nel

punto in cui è localizzata la perdita di carico concentrata. I valori ottenuti vanno poi sommati

all’espressione precedente per ottenere la caduta di pressione totale.

Per una pressione di saturazione di 70 bar ed un titolo in massa in uscita del 20% si ha:

252,95 è la densità reale in termine del logaritmo, da 250 e 303 c’è un errore del 16%.

Se il titolo in uscita fosse pari all’80% l’errore commesso considerando la densità media

raggiungerebbe il 37% circa. Poiché il termine di elevazione può essere il contributo principale alle

cadute di pressione, l’approssimazione descritta può fornire risultati affetti da errori inaccettabili.

MODELLO DI SCORRIMENTO

Andiamo a ricongiungere il modello a fasi separate con dei termini simili a quelli del monofase con

delle funzioni correttive disponibili sotto forma grafica.

Partendo dalla formula:

Devo vedere come variano x e rispetto ad l, per cui facendo il differenziale si ottiene:

a

Metto in evidenza la variazione di x rispetto a l, la variazione di rispetto ad l e mi compare il termine

a

di comprimibilità del vapore, non c’è quello del liquido perché ho dato per scontato che la

comprimibilità del liquido non ci sia.

Per poter trascurare la comprimibilità del vapore la relazione da verificare è:

D

Dovrei conoscere il punto dove è massimo.

E 67

Considero trascurabile la comprimibilità del vapore, commetto un errore sul termine di

%@

accelerazione. Il ha segno negativo perché quando diminuisco la pressione il volume specifico

%;

aumenta; quindi, questo termine mi farebbe diminuire il denominatore se ci fosse, il che mi farebbe

%;

aumentare il , se non lo considero sottostimo le cadute di pressione. Trascurandolo si ottiene:

%9

CORRELAZIONE DI LOCKART-MARTINELLI

Un parametro molto importante è quello di Martinelli che per definizione mette in relazione le perdite

di carico per attrito della sola fase liquida effettivamente presente rispetto alla sola fase vapore

effettivamente presente.

Ricordando che, le cadute di pressione in monofase sono:

E il fattore di attrito in monofase è calcolato in base al regime di deflusso laminare o turbolento. Ad

esempio, se entrambe le fasi sono in regime turbolento f può essere assunto proporzionale a Re :

-0,2

La più utilizzata è quella per entrambi i flussi turbolenti, ma in realtà ne esistono altre tre in base alle

combinazioni.

Il modello Lockart-Martinelli afferma che il moltiplicatore bifase dipende dal parametro di Martinelli

secondo le relazioni:

Il parametro di Martinelli dipende dal titolo.

Quando integro per trovare il ∆p, considerando un flusso termico uniforme con un liquido saturo (g =

e in un condotto di lunghezza l, in queste condizioni si riesce ad integrare il termine di

0 b = 0)

accelerazione:

Primo termine di accelerazione, secondo gravitazionale dove la densità va mediata con la frazione

di vuoto, ultimo termine per attrito.

Siccome il fluido con cui si lavorava di più era l’acqua, Martinelli-Nelson hanno espresso il ∆p già

integrato come:

Il parametro r è un moltiplicatore bifase con media lunghezza basato sulla portata totale

3

considerata liquida e mediato lungo il canale. Il valore di r può essere ottenuto utilizzando il valore

2

di in base al titolo in uscita.

a

Il modello Martinelli-Nelson ha dei limiti, il calcolo del moltiplicatore bifase non tiene conto che c’è

una forte dipendenza dalla portata in massa, perché dipende da pressione e titolo. Non ci sono

effetti della tensione superficiale, che ha una sua influenza. Il modello a fasi separate Martinelli-

68

Nelson dà risultati migliori del modello omogeneo per portate medio-basse, perché per portate

molto alte è meglio l’omogeneo, perché più le portate sono elevate più sono miscelate e quindi più

vicine al modello omogeneo. 69

EFFLUSSI CRITICI IN MONOFASE E

BIFASE (CHOKING)

EFFLUSSO CRITICO

L’efflusso critico è un flusso limitato, ossia il fluido quando fluisce da una zona a più alta pressione

verso una zona a più bassa pressione la portata che si genera è funzione della differenza di pressione.

Ciò non avviene sempre, sembrerebbe che aumentando sempre di più la differenza di pressione la

portata aumenti sempre di più, questo è vero solo per un fluido perfettamente incomprimibile, per i

fluidi comprimibili si raggiunge una condizione limite.

Parlando di un condotto con una strozzatura, se aumenta la differenza di pressione, aumenta la

portata e la velocità che si ha nel punto di massima velocità (gola), in questo punto si raggiunge la

velocità del suono. Per cui il fluido raggiunge una velocità che è la stessa con cui viaggiano le onde

di pressione dentro il fluido stesso, allora dal punto di vista relativo, l’onda di pressione non si muove

e rimane confinata nella gola. Per cui, abbassando ulte