Fondamenti di Telecomunicazione T-1

XH! XH!

Allora, applicando la convoluzione la quale afferma che la trasformata di Fourier di un prodotto tra due

segnali è uguale alla convoluzione delle trasformate dei singoli segnali. Allora, siccome:

1 5#=∆PX((-\) )

ℱ… E Ù ∝ â(1 − ∆16)

F

})

r )

r

+ − A) − )

<Uã(01)

r 2 r

”- ∝

ℱ ,BE%+ — ) 01)

r r

Allora, facendo i calcoli si ottiene che: ,-* )

<Uã(01)

r

{2 (+)} (1)

ℱ = v = ó 2 …â(1 − ∆16) ∗ ) Ù

\ \ X,\ r 01)

r

XH!

,-* {â(1 )}

= ó 2 − ∆16) ∗ ) <Uã%(1)

X,\ r r

XH!

Ora, di fatto la convoluzione tra la delta e la sinc non fa altro che spostarmi la sinc sui punti della delta,

ottenendo: ,-*

{2 {<Uã%[(1 ]}

(+)} (1)

ℱ = v = ) ó 2 − ∆16))

\ \ r X,\ r

XH!

,-* 1 − ∆16

= ) ó 2 =<Uã% W Zà

r X,\ ∆1

XH! ∆1

In altri termini, la trasformata mi dice che il risultato è una somma di sinc shiftate tra di loro di e

) 2

con ampiezza . Pertanto, graficamente abbiamo che:

r X,\

Quindi, di fatto lo spettro della OFDM non sono altro che tante sinc in frequenza shiftate tra di loro in

modo tale che i punti di zero corrispondano alla portante di tutte le altre. Nel senso che ogni volta che

6∆1

analizzo una sinc nei vari tutte le altre sinc saranno nulle. Questo, di fatto, è la stessa cosa del

criterio di Nyquist siccome ANNULLO L’INTERFERENZA INTERPORTANTE allo stesso identico modo

di come annullavo l’interferenza intersimbolo. ∆1

Quindi, siamo arrivati a dire che l’OFDM non è altro che la ripetizione di sinc a distanza l’una dall’altra

* )

∆1 = con la durata del simbolo OFDM. Ogni sinc viene poi moltiplicata per il simbolo

dove r

)

F 2 ∆1.

corrispondente . Pertanto, questa non è altro che una combinazione lineare di sinc traslate di

X,\

Di fatto, quello che stiamo guardando non è altro che quel grafico tempo-frequenza in cui si individua una

griglia suddivisa in piccoli elementi del tipo:

In particolare, ognuno di questi elementi è rappresentativo di una specifica sinc in un particolare tempo

) 6∆1. 2

ad una specifica frequenza Si tratta proprio di un esponenziale modulato con il simbolo . Tale

r X,\

simbolo lo abbiamo preso da una modulazione mono-dimensionale o bi-dimensionale. Tutto questo ci

permette di mappare quel simbolo sulla griglia tempo-frequenza. In questo caso, parliamo di

MULTIPLEXING siccome è la stazione radio base a mappare il simbolo mentre MULTIPLE ACCESS

quando sono gli utenti ad inviare i simboli alla stazione radio base.

Quindi, come già detto, lo spettro di un simbolo OFDM è la combinazione lineare delle sinc con coefficienti

é2 è.

della combinazione lineare i simboli della modulazione Una generalizzazione di questo concetto,

X,\

utilizzando la trasformata di Fourier, è: ,-*

(1)

v = ó 2 Φ(1 + â16)

\ X,\

XH!

Φ(1)

Dove sono la trasformata di Fourier della funzione base che stiamo utilizzando. Ciò che è importante

sottolineare è che: ,-* ,-*

1 − ∆16

(1)

v ó 2 =<Uã% W Zà = ó 2 Φ(1 + â16)

= )

\ r X,\ X,\

∆1

XH! XH!

Pertanto, possiamo totalmente controllare lo spettro del segnale in uscita semplicemente con i coefficienti

della combinazione lineare. Ovvero, che se metterò una serie di coefficienti nulli, lo spettro risultante sarà

uno spettro del tipo:

Sto facendo uno shaping dello spettro! Pertanto, dal punto di vista della griglia, i simboli che arrivano

sono quei parametri che controllano quali portanti sono accese e quali sono accese le quali vengono chiamate

SOTTO-PORTANTI (sub-carrier). Ad esempio, mettendo tutti i quadratini in alto ed in basso con dei

simboli nulli ottengo che lo spettro è ritagliato su una banda minore:

In questo modo posso gestire diversamente in maniera arbitraria lo spettro del segnale in uscita.

A questo punto, come faccio ad estrarre dal segnale OFDM un particolare simbolo?

Noi riceviamo un segnale OFDM espresso come:

8 8 ,-* (+ )

2(+) = ó 2 (+) = ó ó 2 > − A)

\ X,\ X r

\H-8 \H-8 XH! 2

Quindi come faccio da questo segnale x(t) ad estrarre il valore specifico ? Ho bisogno della h-esima

à,%

)

sotto-portante e dell’m-esimo tempo di simbolo . La cosa è molto semplice perché possiamo partire dal

r

(+ )

> − A)

presupposto che le funzioni di base sono ORTOGONALI TRA DI LORO. E quindi per

X r

estrarre la h-esima componente nell’m-esimo tempo di simbolo quello che si fa è la proiezione del segnale

x(t) sulla funzione di base calcolata nell’m-esimo tempo di simbolo, ovvero:

(%s*))

F à∗

(+) (+ )`+

M = < 2(+), > > | = b 2(+)> − &)

à,% à (H%) r

F %)

F

Quindi, faccio la proiezione di tutto quello che mi arriva sulla funzione di base traslata nel tempo m-esimo

con il simbolo h-esimo individuando proprio un elemento di tutta la griglia. Applicando la proprietà

dell’ortogonalità in questa equazione è facile dimostrare che:

M = 2

à,% à,%

Ora, è possibile fare una osservazione ma, per comodità, assumiamo m = 0. In questo modo otteniamo:

)

F à∗

(+) (+)`+

M = < 2(+), > > = b 2(+)>

à,! à !

In particolare, stiamo cercando il segnale trasmesso sulla h-esima frequenza nel tempo 0. Allora, la

demodulazione del simbolo OFDM può quindi essere eseguita attraverso un banco di N correlatori

(integrazione e moltiplicazione). Le due operazioni, la rimozione dell'intervallo di guardia e la proiezione

sulla sotto-portante h-esima, possono essere eseguite anche congiuntamente attraverso l'uso di un banco

di filtri adattati abbinati a ciascuna forma d'onda della sotto-portante.

Quindi, possiamo realizzare la modulazione e la demodulazione facendo entrare i bit in un digital mapper

∈ ℂ.

@ Questi simboli vengono convertiti

che ci darà fuori dei simboli di una modulazione bi-dimensionale 0

2

in serie/parallelo ed ogni simbolo entra dentro un modulatore (siccome quello che bisogna fare è una

X,\ (+ ))

− A)

> poi li sommo tuti fra di loro e li invio sul canale. Una

modulazione a prodotto con la funzione X r

volta fatto, eseguo il processo a ritroso proiettando il segnale sulle diverse funzioni di base attraverso

“moltiplicazione + integrale” (e di fatto con la moltiplicazione stiamo effettuando una demodulazione a

2

prodotto). In questo modo ricavo i simboli che vanno convertiti in parallelo/serie in modo tale da

X,\

@ ∈ ℂ

ottenere i simboli che vanno in ingresso al digital de-mapper che sulla base della modulazione ricava

0

i valori dei bit. @ ∈ ℂ

Da notare che, nel caso in cui il canale introduca rumore, gli ricevuti non saranno più quelli veri ma

0

quelli con il rumore. Sarà il digital de-mapper che procede con il decidere i vari simboli a quali bit

corrispondono. Quindi, se la parte di multiplexing e multiple access dell’OFDM è fatta correttamente le

prestazioni non sono imposte dall’ OFDM ma sono imposte dalla coppia digital mapper e digital de-mapper

perché è lì dentro che calcoliamo la probabilità d’errore. Non a caso, è il digital de-mapper che effettua la

decisione a massima verosimiglianza. Da notare che in questo momento stiamo ragionando solamente sul

mettere insieme dei simboli e di poterli trasmettere dall’altra parte. Dal punto di vista della teoria il

multiplexing e multiple access sono IN ASSENZA D’ERRORE.

Ora, l’OFDM tipicamente lavora con N = 4096, ovvero 4096 sotto-portanti. Ciò significa che questo

schema è praticamente irrealizzabile siccome avrei bisogno di un modulatore ed un demodulatore con 4096

moltiplicatori a prodotto. realizzare.

Tuttavia, l’OFDM si presta ad una implementazione numerica molto semplice da

Iniziamo considerando la rappresentazione discreta di un simbolo OFDM. La banda B di un simbolo OFDM

H = Y∆1.

è l’insieme delle sotto-portanti e quindi si ha che Oppure, se consideriamo la rappresentazione

,∆P

1 =

in banda base si ha che . Per il teorema del campionamento di Shannon sappiamo che:

%'" #

1 Y

1 = = H = Y∆1 = , %Cã ‘ã <Eòã@AE Å@<<@ − T@ã`@

$ ) )

$ r

1 Y

1 = = H = 21 = , %Cã ‘ã <Eòã@AE Å@<<@ − T@<<C

$ %'"

) )

$ r

Allora si ha che: 1 )

r

) = =

$ 1 Y

$

Allora, la versione campionata di un solo simbolo OFDM è:

,-* 5#=∆PX0)

(ã) ) (ã) )

2 = 2 = ó 2 E G

\H! $ ! $ X,!

XH!

ã)

Dove è il valore in cui sto andando a campionare il simbolo, ovvero l’istante di campionamento.

$ ,-* * )

F

5#= X0

)

2(ã) E

= ó 2 ) ,

F

$ X,!

XH!

,-* *

5#=X0

= ó 2 E ,

X,!

XH!

Quindi, quello che ottengo è che all’istante di campionamento n-esimo ho che il simbolo OFDM vale:

,-* #=X0

5

2[ã] = ó 2 E ,

X,!

XH!

Pertanto, si tratta proprio di una sequenza di valori, dato che non è presente più la variabile temporale,

{2 }

ed è esattamente la trasformata di Fourier discreta inversa (IDFT) della sequenza . Pertanto, ho

X

[ ]

[ã] {2 }

2 @ A

la sequenza e la sequenza . In altre parole, i campioni del simbolo OFDM non sono altro

X { }

@ .

che la trasformata di Fourier discreta inversa della sequenza §

{2 } 2

Di fatto, stiamo dicendo di avere una sequenza che deriva dai simboli e sono N simboli siccome

X X,!

2 = º2 , 2 , … , 2 Ω. 2

Di questi creo il simbolo OFDM :

X,! !,! *,! ,-*,! !,!

,-* ,-* 5#=∆PX(

(+)

2 = ó 2 > = ó 2 E

!,! X,! X X,!

XH! XH! )

F

) ) =

Che ha una durata pari a . Tuttavia, abbiamo visto che ovvero che ci sono N tempi di

r $ ,

) Y) = )

campionamento dentro un siccome . Ora, quello che andiamo a fare è di valutare quando vale

r $ r

2 ã)

il simbolo nell’istante di campionamento :

!,! $ ,-* #=X0

5

2 (ã) ) = ó 2 E ,

!,! $ X,!

XH! 2

Questa è l’espressione di una trasformata inversa discreta di Fourier della sequ