Fondamenti di meccanica teorica ed applicata (parte 9) - Attrito statico e dinamico e resistenza al rotolamento (azioni mutue solido-solido)

4-ATTRITO E RESISTENZA AL ROTOLAMENTO (AZIONI MUTUE SOLIDO-SOLIDO)

Il presente capitolo si concentra su alcuni aspe collega alla dinamica, sviluppando

modelli per quei vincoli che picamente vengono considera ideali inizialmente. Vincoli

come i pa ni e i conta tra corpi rappresentano situazioni semplificate che nella realtà

presentano fenomeni fisici più complessi che devono essere compresi e modella

adeguatamente.

4.1-INTRODUZIONE E CLASSIFICAZIONE DELLE AZIONI MUTUE

Il termine "azioni mutue" può essere analizzato nelle sue componen per comprenderne il

significato. La parola "azioni" indica chiaramente che si parla di forze. Il termine "mutue"

suggerisce invece il conce o di reciprocità, di interazione. Le azioni mutue riguardano

quindi forze che nascono dall'interazione tra par diverse: possono essere par di una

stessa macchina che si scambiano forze, due macchine differen che si interfacciano, oppure

una macchina che interagisce con l'ambiente circostante.

Un esempio fondamentale di azioni mutue emerge proprio nello studio dei vincoli. I vincoli

di conta o rappresentano infa delle classiche azioni mutue: per generare le forze

cara eris che di ques vincoli è necessaria un'interazione tra due corpi, tra due par del

sistema meccanico considerato.

Le azioni mutue possono essere dis nte in due categorie principali, cara erizzate da una

differenza sostanziale nello stato fisico dei corpi coinvol :

 La prima categoria, che cos tuisce l'ogge o della presente tra azione, riguarda il

conta o tra solidi. In questa situazione due par del sistema, entrambe cos tuite da

corpi allo stato solido, si interfacciano e si scambiano forze per effe o del conta o

fisico che si stabilisce tra loro. Questo po di interazione include fenomeni come il

rotolamento, situazione pica che si verifica quando un corpo interagisce con

l'ambiente circostante a raverso un conta o che presenta cara eris che par colari.

 La seconda categoria riguarda l'interazione tra elemen che non si trovano nel

medesimo stato fisico. L'esempio classico è rappresentato dall'interazione fluido-

stru ura: un corpo allo stato solido immerso in un fluido, come un'automobile che si

muove nell'aria o stru ure civili sogge e all'azione del vento. Ques problemi di

interazione fluido-stru ura cos tuiscono l'ogge o di corsi specialis ci di meccanica

dei fluidi e dinamica delle stru ure, e verranno tra a solo marginalmente per fornire

gli elemen essenziali necessari a introdurre ques effe nelle equazioni del moto.

4.2-IL FENOMENO FISICO DELL’ATTRITO

Quando si parla di conta o tra solidi, emergono due fenomeni fisici dis n ma correla :

 A rito: forza che si genera tra le superfici a conta o quando due corpi interagiscono

 Usura: deterioramento progressivo delle superfici a conta o

Ques fenomeni hanno una duplice connotazione. Gli aspe nega vi includono la

dissipazione di energia dovuta all'a rito e il danneggiamento delle superfici per usura.

Tu avia, esistono anche aspe posi vi fondamentali: senza a rito non sarebbe possibile la

locomozione (sia umana che veicolare). Un'automobile non potrebbe muoversi, frenare o

curvare senza l'a rito tra pneuma co e strada. Analogamente, un treno necessita

dell'a rito tra ruota e rotaia.

L'esempio dell'automobile sul ghiaccio illustra chiaramente questo principio: in assenza di

a rito sufficiente, il veicolo non può par re, fermarsi o sterzare. L'a rito è quindi necessario

per trasme ere forze tra corpi e perme ere il movimento controllato.

Anche l'usura può avere applicazioni posi ve: processi come la levigatura di superfici

sfru ano deliberatamente l'usura per abrasione, asportando par celle e riducendo la

rugosità superficiale.

La valutazione di ques fenomeni dipende quindi dalla funzione che si intende svolgere.

Si consideri un libro appoggiato su una scrivania, modellabile come una massa

⃗

appoggiata su una superficie fissa. Se si applica una forza orizzontale al libro, in assenza di

a rito l'equazione di moto indicherebbe che:

⃗ = ⃗

Il corpo dovrebbe quindi accelerare non appena si applica la forza. Nella realtà fisica, questo

⃗

non accade immediatamente: esiste un intervallo di valori della forza per cui

l'accelerazione rimane nulla (⃗ contraddicendo apparentemente l'equazione di moto.

= 0),

⃗ ⃗ ⃗

Affinché con deve esistere un'altra forza che bilancia . Questa forza

≠ ⃗ ⃗ = 0,

nasce dall'interazione tra le superfici a conta o e impedisce il movimento del corpo fino a

un certo valore limite della forza applicata. Sperimentalmente si osserva che:

 ⃗ ⃗

Per : il corpo rimane fermo

< limite

 ⃗ ⃗

Per : il corpo inizia a muoversi

≥ limite

 ⃗

Durante il moto a velocità costante: la forza necessaria è inferiore a limite

L'origine fisica dell'a rito risiede nella stru ura microscopica delle superfici. Anche superfici

apparentemente lisce presentano una rugosità microscopica dovuta ai processi tecnologici

di lavorazione. Le superfici non sono perfe amente piane ma presentano asperità a scala

microscopica.

Il conta o tra due superfici rugose non avviene sull'intera area apparente, ma solo nei pun

in cui le creste delle asperità si toccano. L'area effe va di conta o è quindi molto minore

dell'area apparente (la superficie della faccia del libro).

Quando un carico viene distribuito su un'area molto piccola, si genera una pressione locale

molto elevata:

=

effe va

Con , la pressione risulta molto elevata nei pun di conta o. Questa

≪

effe va apparente

elevata pressione locale causa la formazione di legami di adesione tra i materiali delle due

superfici a livello atomico-molecolare, come se i due corpi si saldassero localmente.

La forza limite necessaria per vincere l'a rito sta co corrisponde alla forza necessaria per

rompere ques legami di adesione. Una volta ro i legami, si instaura un moto rela vo tra

le superfici. La forza di a rito dipende da: ⃗

1. Forza premente: maggiore è la forza normale che spinge un corpo sull'altro, più

for sono i legami di adesione

2. Rugosità delle superfici: superfici più lisce hanno più pun di conta o, ma pressioni

locali minori; superfici più rugose hanno meno pun di conta o ma pressioni locali

più elevate

3. Materiali a conta o: la compa bilità chimica tra i materiali influenza la formazione

dei legami di adesione (es. acciaio-acciaio tende a formare legami più for rispe o a

materiali molto diversi)

La forza limite dipende molto debolmente dall'estensione dell'area di conta o apparente:

un libro o uno della metà delle dimensioni ma con la stessa massa generano forze di a rito

simili, poiché ciò che conta è principalmente la forza premente, la rugosità e i materiali

coinvol .

4.3-MODELLO DI COULOMB PER L’ATTRITO STATICO E NON DISSIPAZIONE DELL’ENERGIA

⃗

Si consideri il sistema cos tuito da una massa sogge a a una forza orizzontale e a una

⃗

forza ver cale (che può rappresentare il peso o altre forze esterne), appoggiata su una

superficie. ⃗

⃗

Quando si introduce l'a rito, il vincolo non è più considerato liscio ma scabro: la scabrezza

delle superfici è associata all'insorgere di forze di a rito.

⃗ ⃗

Analizzando le forze agen sulla massa, oltre a ed si hanno le reazioni vincolari: una

⃗ ⃗

forza normale e un momento (nel caso bidimensionale, ques si riducono a una forza

ver cale e una orizzontale). Finché la massa non si muove, ovvero finché l'accelerazione è

⃗

nulla, deve esistere una forza che bilancia : questa forza è chiamata forza di a rito sta co

⃗

⃗

In condizioni di a rito sta co, il valore di si ricava semplicemente dall'equazione di

equilibrio. Scrivendo l'equazione del moto in direzione orizzontale:

⃗ ⃗

− = ⃗ = 0

⃗ ⃗

Si o ene quindi (a meno del segno, che dipende dalla convenzione ado ata per la

=

direzione). Questa forza non può però essere arbitrariamente grande: esiste un limite fisico

oltre il quale il vincolo di a rito sta co viene violato.

⃗ ⃗

≤

Il modello di Coulomb per l'a rito sta co stabilisce che:

⃗ ⃗

≤

⃗ ⃗

Dove è il coefficiente di a rito sta co e e rappresentano i moduli delle rispe ve

forze. Questa relazione è una disequazione, non un'equazione: non perme e di calcolare

⃗

dire amente , ma solo di verificare che il suo valore rimanga entro il limite fisico

⃗ ⃗

consen to. Finché , il sistema si trova in condizione di a rito sta co e non c'è

<

moto rela vo tra le superfici. Se si supera questo valore limite, il vincolo di a rito sta co

viene violato e si instaura un moto rela vo tra le par .

La procedura opera va è quindi:

⃗

1. Calcolare dall'equazione di equilibrio

2. Verificare che sia soddisfa a la disequazione di Coulomb

3. Se la disequazione è violata, non si è più in condizione di a rito sta co

Un'interpretazione geometrica u le del modello di Coulomb coinvolge il conce o di cono di

⃗ ⃗

a rito. La risultante delle forze e applicata al corpo è:

⃗ ⃗ ⃗

= +

⃗ ⃗

⃗

⃗

Si definisce il cono di a rito come un cono avente per asse la direzione di e per apertura

un angolo tale che:

tan ( ) =

⃗ ⃗

⃗

⃗

Il vincolo di a rito non è violato se e solo se la risultante resta all'interno di questo cono.

⃗

Infa , l'angolo formato da con la normale soddisfa:

⃗|

|

tan () = ⃗|

|

La condizione è equivalente a ovvero:

≤ tan () ≤ tan ( ),

⃗|

| ⃗ ⃗

≤ ⇒ ≤

⃗|

|

che è proprio la relazione di Coulomb per l'a rito sta co

Il coefficiente dipende dalla rugosità delle superfici e dai materiali a conta o. La

⃗|

dipendenza dalla forza premente è già incorporata nella presenza di nella formula.

|

Valori pici per diverse condizioni includono:

Acciaio su acciaio (superfici lavorate standard) ≈ 0.33 − 0.40

Pneuma co su asfalto ≈ 1.0

Pneuma co da compe zione su asfalto > 2.0

Un aspe o fondamentale dell'a rito sta co è che non dissipa potenza. Per dimostrarlo, si

considerino due corpi e a conta o con a rito sta co. Sul corpo agisce una forza di

⃗ ⃗

a rito (forza sul corpo 1 dovuta al corpo 2), mentre sul corpo agisce (forza sul

corpo 2 dovuta al corpo 1)

Per il principio di azione e reazione: ⃗ ⃗

= −

La condizione di a rito sta co implica che non ci sia moto rela vo tra le superfici nel punto

di conta o, quindi le velocità dei due corpi nel punto di conta o devono essere uguali:

⃗ = ⃗ = ⃗

La potenza totale delle forze di a rito è:

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

= ⋅ ⃗ + ⋅ ⃗ = ⋅ ⃗ − ⋅ ⃗ = ⋅ (⃗ − ⃗ ) = 0

Poiché le velocità sono uguali, la loro differenza è nulla e la potenza dissipata è zero. Questo

vale sia quando entrambi i corpi sono fermi, sia quando si muovono con la stessa velocità.

L'a rito sta co non dissipa energia.

Se un libro è appoggiato su una scrivania che si muove, e il libro si muove solidalmente con

la scrivania, non c'è dissipazione di potenza dovuta all'a rito tra libro e scrivania.

CONDIZIONE DI ATTRITO STATICO

Quando non c’è moto rela vo tra i due corpi o superfici (es. puro rotolamento)

4.4-MODELLO DI COULOMB PER L’ATTRITO DINAMICO E DISSIPAZIONE DELL’ENERGIA

La discriminante fondamentale tra a rito sta co e a rito dinamico è l'esistenza o meno di

un moto rela vo tra le superfici nel punto di conta o. Quando non c'è moto rela vo tra le

superfici nella zona di conta o, si parla di a rito sta co: le due superfici possono essere

entrambe ferme oppure muoversi con la stessa velocità. Quando invece esiste un moto

rela vo tra le superfici a conta o, si entra nel regime di a rito dinamico.

Si consideri il caso generale di due corpi in movimento: il corpo 1 con velocità e il corpo 2

⃗

con velocità , entrambe diverse da zero. Le forze che si scambiano i due corpi includono la

⃗ ⃗

reazione normale (forza sul corpo 1 dovuta al corpo 2), eventualmente un momento

⃗ , e una forza tangenziale che rappresenta l'a rito.

Quando , esiste un moto rela vo tra le par . In questa condizione nasce una forza di

⃗ ≠ ⃗

a rito in direzione tangente al conta o, allineata alla superficie di conta o, che viene

⃗

chiamata forza di a rito dinamico .

Per il corpo 2, per il principio di azione e reazione, valgono le relazioni:

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

= − = − = −

1

2

A differenza del caso sta co, il modello di Coulomb per l'a rito dinamico fornisce