Fondamenti di meccanica teorica ed applicata (parte 7) - Equilibrio dinamico per sistemi di corpi rigidi

2-DINAMICA DEI CORPI RIGIDI

2.1-DINAMICA DEL PUNTO MATERIALE

Si consideri un punto materiale al quale è finalmente possibile associare un significato

concreto a raverso la massa A questo punto materiale sono applicate diverse forze F₁,

.

F₂, ..., Fₙ. ⃗

⃗

⃗

⃗

Come già discusso precedentemente, è possibile porsi due pi di domande fondamentali:

1. La prima domanda corrisponde al problema di dinamica dire a: assegnate le forze,

come si muove il punto? Questo è il classico problema della dinamica. Date le azioni

su un punto materiale (e successivamente su un corpo rigido o un sistema di corpi

rigidi), si vuole determinare come evolve il ve ore posizione e, di conseguenza, le sue

derivate temporali.

2. La seconda domanda corrisponde al problema di dinamica inversa: se si vuole che il

punto si muova seguendo una certa legge oraria nel piano, quali sono le forze che

devono essere applicate e quante sono necessarie affinché la legge di moto sia quella

desiderata?

La differenza fondamentale rispe o alla tra azione precedente sulla sta ca è che ora i

sistemi non si trovano più in condizioni di equilibrio sta co. I corpi rigidi e i pun materiali

non sono in condizioni di quiete, quindi non sono né fermi né in moto re lineo uniforme.

Possono muoversi di moto qualsiasi: la traie oria può essere arbitraria e il modulo della

velocità può variare liberamente.

Il punto di partenza per scrivere la dinamica di questo sistema è la più famosa legge della

fisica: la seconda legge di Newton. Questa legge stabilisce che la risultante delle forze è

uguale alla massa per l'accelerazione. In forma matema ca:

⃗ = ⃗

Dove è l'accelerazione del punto materiale. Questa relazione fornisce già un modo

⃗

opera vo per calcolare l'accelerazione in funzione della risultante delle forze:

⃗

∑

⃗

⃗ = → ⃗ =

Questa equazione risolve già il problema di dinamica. Tu o ciò che verrà fa o

successivamente consiste in manipolazioni di questa legge fondamentale. Ricordando

questa legge, è possibile risolvere qualsiasi problema di dinamica.

A questo punto si introduce il Principio di D'Alembert, che può sembrare una modesta

innovazione ma che rivela una potenza notevole. Il principio consiste nel definire una nuova

⃗

forza, chiamata forza di inerzia : ⃗ = −⃗

La forza di inerzia rappresenta l'effe o del movimento stesso. Grazie a questa definizione,

è possibile riscrivere la seconda legge di Newton in una forma diversa:

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

= ⃗ → − ⃗ = 0 → + = 0

In questo modo si tra a il problema dinamico come se fosse sta co e si intende l’equilibrio

dinamico come il bilanciamento delle forze esterne con la forza di inerzia.

Questo approccio presenta gli stessi vantaggi e svantaggi delle equazioni di equilibrio

sta co. All'interno di queste equazioni compaiono le reazioni vincolari, quindi queste

equazioni perme ono di calcolarle. D'altra parte, se si vuole trovare solo l'equazione che

perme e di calcolare il movimento del sistema a par re dalle sole forze esterne, senza

considerare le reazioni vincolari, non è garan to che scrivendo queste equazioni si riesca a

farlo dire amente.

ESEMPIO: PUNTO MATERIALE SU GUIDA CIRCOLARE

Per comprendere meglio l'applicazione pra ca, si consideri il seguente esempio. Un punto

materiale di massa m è vincolato a muoversi su una guida circolare mediante un carrello. La

guida ha centro O e raggio r. Si applica una forza orizzontale F al punto P e si vuole calcolare

il movimento di P. ⃗

Poiché P si muove su una circonferenza di centro O e raggio r, conviene descrivere la

posizione di P usando coordinate polari. È sufficiente definire l'angolo θ per descrivere

completamente la posizione del punto. Integrando successivamente l'accelerazione

angolare, si o errà θ in funzione del tempo.

Per u lizzare l'equazione di equilibrio dinamico, è necessario scrivere due equazioni scalari

(nel piano), che perme ono di calcolare al massimo due incognite per un punto materiale.

In queste equazioni devono comparire tu e le reazioni vincolari, le forze esterne e il

termine associato al movimento.

Le forze agen sul sistema sono le seguen . Il carrello impone una reazione vincolare Rₙ

ortogonale alla guida, quindi sempre dire a radialmente. Questa reazione è sempre

inclinata dell'angolo θ, che è proprio l'angolo che si vuole calcolare e le sue derivate. Poi c'è

la forza peso mg applicata ver calmente verso il basso. Infine, c'è la forza esterna F

applicata orizzontalmente.

Per completare l'equazione di equilibrio dinamico, è necessario determinare la forza di

inerzia, ovvero la forza associata al movimento del punto materiale. Usando la definizione:

⃗ = −⃗

Il problema si riduce a calcolare l'accelerazione del punto P. L'accelerazione dipende dalle

variabili indipenden u lizzate per descrivere il movimento: θ, la sua derivata prima θ

(velocità angolare) e la sua derivata seconda θ (accelerazione angolare). Queste sono le

incognite del problema che si vogliono determinare.

È necessario risolvere la cinema ca del sistema, cioè scrivere il legame tra l'accelerazione (la

variabile di cui si ha bisogno) e la variabile indipendente θ con le sue derivate.

La traie oria del punto è una circonferenza. Per un punto che si muove su una traie oria

circolare, l'accelerazione ha sia una componente normale che una componente tangenziale

alla traie oria. ̂

̇ ̈ ⃗

⃗ = ⃗ + ⃗ =

⃗ +

, ,

La forza di inerzia ha quindi due componen :

−̇ ̈⃗

⃗ =

⃗ − ̇

La prima componente è dire a lungo il versore (cioè è centrifuga) e vale . La

−

⃗

̈

seconda componente è dire a lungo e vale . Questo risultato non sorprende: il

−

⃗

punto si muove di moto circolare e la forza di inerzia include una componente centrifuga.

−

−

−

2

−̂

−̂

A questo punto è possibile scrivere le equazioni di equilibrio dinamico. Si può scegliere

qualsiasi coppia di assi non paralleli. La scelta più conveniente è proie are lungo gli assi

della terna intrinseca e , perché questo semplifica notevolmente i calcoli.

⃗

⃗ mRϑ̇²

⃗ → −Rₙ + mg sin (ϑ) + F cos (ϑ) − = 0

mR̈

⃗ → −mg cos(ϑ) + F sin(ϑ) − = 0

Le incognite del problema sono θ, θ, θ e la reazione vincolare Rₙ (se non si calcola in un

par colare istante di tempo, ma si vuole l'evoluzione temporale).

La seconda equazione è l'equazione di moto cercata: è un'equazione che non con ene la

reazione vincolare Rₙ, che compare solo nella prima equazione. La seconda equazione

definisce l'evoluzione temporale della variabile θ e delle sue derivate.

Questa equazione sarà sempre, nel caso di dinamica dire a per un sistema a un grado di

libertà, un'equazione differenziale ordinaria di secondo ordine. È ordinaria perché

compaiono solo derivate totali rispe o al tempo. L'ordine cresce con la complessità del

sistema meccanico: compare picamente la variabile indipendente, la sua derivata prima e

la sua derivata seconda.

Il problema principale di questa equazione è che, nel 99.9% dei casi, è non lineare. La

variabile θ e le sue derivate compaiono come argomen di funzioni non lineari (in questo

caso, seno e coseno di θ). Non esistono quindi metodi per calcolare in forma chiusa la

soluzione anali ca di questa equazione. È necessario ricorrere a metodi numerici,

accontentandosi di avere θ solo a cer istan di tempo discre e non per tu gli istan .

Il conce o cambia radicalmente nel problema di dinamica inversa. Se si vuole calcolare F

tale per cui il punto si muova seguendo una certa funzione θ(t) nota, l'equazione non è più

diffe