Fondamenti di meccanica teorica ed applicata (parte 4): teorema di Rivals e teorema dei moti relativi per la cinematica del corpo rigido

4.3-TEOREMA DI RIVALS: RELAZIONI TRA VELOCITA’ E ACCELERAZIONI

Bisogna ora trovare un modo per definire completamente la velocità e l'accelerazione di un

generico punto del corpo rigido a par re dalle tre informazioni che devono

necessariamente essere fornite per definire completamente il movimento. Queste tre

informazioni sono, per esempio, le coordinate di un punto par colare e le loro derivate

temporali, più la rotazione del corpo e la sua derivata. Fornite queste tre variabili, si sa che il

movimento del corpo è completamente determinato. Deve quindi esistere un modo per

u lizzare queste informazioni per definire la velocità e l'accelerazione di qualsiasi altro

punto del corpo.

Si considera un generico corpo rigido nel piano e si cerca di definire completamente la

velocità di un generico punto B a par re da quella di un punto A. Le informazioni date sono

quindi le coordinate di A, ovvero e , e la rotazione del corpo. Da queste funzioni e dalle

loro derivate, si vuole determinare completamente e

⃗ ⃗

Il punto di partenza è la scri ura della posizione del ve ore posizione di B rispe o

all'origine del sistema di riferimento assoluto. Si introduce un sistema di riferimento

assoluto con assi x e y orienta in modo standard, con origine O fissa. La posizione di B

rispe o a O viene scri a come somma di due contribu : la posizione di A rispe o a O, che è

definita da due delle tre coordinate necessarie per descrivere il movimento, più la posizione

di B rispe o ad A: ( (

− ) = − ) + ( − )

Per comodità si u lizza la notazione dei numeri complessi. Si iden fica l'asse x con l'asse

reale e l'asse y con l'asse immaginario del piano complesso. Si definisce quindi l'anomalia β

del numero complesso che rappresenta il ve ore che va da A a B.

( (

− ) = − ) + ( − )

+ = + +

Il ve ore che va da O ad A viene scri o anch'esso in forma cartesiana perché le coordinate

di A sono le variabili che si u lizzano per descrivere il movimento, il ve ore che va da A a B,

invece, viene scri o in notazione esponenziale complessa, quindi in forma polare, perché si

vuole sfru are il conce o di rotazione. Il modulo di quel ve ore è esa amente il segmento

AB, ovvero la distanza tra i pun A e B. L'anomalia è l'angolo β, che è stato definito come

l'angolo formato tra il segmento che congiunge A e B e un asse orizzontale parallelo all'asse

reale passante per A, che è il punto dal quale è originato il ve ore. Questo è esa amente

l'anomalia del numero complesso che rappresenta il ve ore da A a B. Essendo A e B due

pun appartenen al corpo rigido, l'angolo β è anche la rotazione del corpo rigido. Questo

perché β è esa amente l'angolo formato tra il segmento che congiunge due pun del corpo

e un asse di riferimento fisso, che è precisamente la definizione di rotazione del corpo.

Quindi, conoscendo , e si può proie are il numero complesso risultante lungo gli

,

assi reale e immaginario per calcolare come la parte reale dell'espressione complessiva e

come la parte immaginaria.

A questo punto si vuole calcolare la velocità di B. Si prende l'espressione per la posizione e

la si deriva rispe o al tempo. La derivata temporale del ve ore da O a B sarà esa amente la

velocità di B. La derivata del ve ore da O ad A, essendo O l'origine fissa del sistema di

riferimento, è la velocità di A. Il termine rimanente, la derivata del ve ore da A a B, viene

indicato come , che rappresenta la velocità di B rispe o ad A, ovvero la velocità

⃗

rela va tra B e A: : + = + +

⃗ = ⃗ + ⃗

Si procede ora a valutare ques tre termini. Il termine a sinistra, la velocità di B, è quello che

si deve calcolare. Sarà un ve ore con due componen incognite che sono , dove le

̇ + ̇

due incognite e sono esa amente le due quan tà che si vogliono determinare.

̇ ̇

Il termine cruciale è la derivata del terzo termine, ovvero che è la derivata di .

⃗

Applicando la regola di derivazione del prodo o:

̇

⃗ = +

Il primo termine, la derivata di AB, è zero. Il mo vo è che AB rappresenta la distanza tra due

pun appartenen allo stesso corpo rigido, e questa distanza deve rimanere costante per

l'ipotesi di rigidità del corpo. Siccome A e B appartengono allo stesso corpo rigido, non si

deve derivare il segmento AB. Rimane quindi da calcolare la derivata dell'esponenziale

complessa e^(iβ). Poiché β dipende dal tempo, la derivata dell'esponenziale complessa sarà

l'esponenziale stessa mol plicata per i·β, dove β è la derivata temporale di β, ovvero la

velocità angolare del corpo. ̇ ̇

⃗ = =

̇

⃗ =

Soffermiamoci sulla stru ura di questa espressione. Il termine è o enuto dal prodo o

⃗

di tre fa ori:

Il primo fa ore rappresenta esa amente il ve ore da A a B

o

̇

Il secondo fa ore è la velocità angolare del corpo rigido

o Il terzo fa ore fa ruotare di 90° il ve ore nel piano complesso

o

Questo significa che è un numero complesso che ha come modulo il prodo o di AB per

⃗

β= ovvero il prodo o della distanza per la velocità angolare, e come direzione quella

⃗,

perpendicolare al ve ore da A a B e alla velocità angolare. La velocità angolare è un ve ore

ortogonale al piano del movimento, quindi il ve ore che sta nel piano, è

⃗

necessariamente ortogonale alla velocità angolare.

Un tale ve ore si o ene a raverso il prodo o ve oriale:

⃗ ⃗ =

⃗ ∧ ( − )

( − ) =

⃗ ∧ ( − )

Allora: ⃗ = ⃗ +

⃗ ∧ ( − )

All'interno di questa espressione ci sono effe vamente le tre informazioni di cui si parlava:

la velocità di A, ovvero le derivate delle sue due coordinate, e la velocità angolare. Tu e le

altre quan tà sono note perché rappresentano la geometria del corpo rigido.

Questa espressione perme e di calcolare la velocità di un punto del corpo rigido a par re

dalla velocità di un altro punto del corpo e dalla velocità angolare del corpo stesso, so o

l’unica ipotesi che A e B sono due pun apparten allo stesso corpo rigido.

Quest'espressione si chiama Teorema di Rivals per le velocità.

A questo punto si può fare un passaggio ulteriore, che è calcolare l'accelerazione di B. Si

riparte dal teorema di Rivals per le velocità e si applica l'operazione di derivazione rispe o

al tempo. La derivata della velocità di B è l'accelerazione di B:

⃗ ( (

⃗ = ⃗ + ̇ ∧ − ) +

⃗ ∧ − )

La derivata di ω è ω̇, ovvero la derivata della velocità angolare rispe o al tempo, che

rappresenta l'accelerazione angolare del corpo

⃗ ( [

⃗ = ⃗ + ̇ ∧ − ) +

⃗ ∧ ⃗ ∧ ( − )]

Svolgendo i passaggi si o ene il Teorema di Rivals per le accelerazioni:

⃗ (

⃗ = ⃗ + ̇ ∧ − ) + − ( − )

Come affermato in precedenza, servono tre informazioni per definire completamente il

movimento del corpo rigido, e quindi non solo la posizione ma anche velocità e

accelerazione.

Queste espressioni forniscono il modo opera vo per calcolare le grandezze cinema che di

qualsiasi punto una volta note quelle di un punto par colare e le cara eris che rotazionali

del corpo.

ESEMPIO 1

Il primo esempio riprende il sistema già analizzato precedentemente dell'asta incernierata ai

due estremi con due carrelli.

Si considera quindi l'asta AB incernierata ai due estremi A e B. Si introduce un sistema di

riferimento assoluto con l'asse x passante per B e l'asse y passante per A, dove O è

l'intersezione di queste due re e, quindi l'origine del sistema di riferimento. È stato

precedentemente calcolato dove si trova il centro di istantanea rotazione, ma ora si vuole

vedere come u lizzare il teorema di Rivals per calcolare velocità e accelerazioni.

Quante variabili servono per definire completamente il movimento, in termini di

spostamento, velocità e accelerazione, dei pun appartenen a quel corpo rigido? In

generale, per un corpo rigido nel piano servirebbero tre variabili indipenden .

Tu avia, in questo caso par colare occorre considerare che ci sono due vincoli presen nel

sistema. I vincoli, come visto precedentemente, limitano le possibilità di movimento. Nel

caso specifico carrello in B impedisce lo spostamento ver cale di B, quindi = 0, e il

carrello in A impedisce lo spostamento orizzontale di A, quindi = 0.

Si possono quindi scrivere due equazioni algebriche che esprimono i vincoli tra le varie

coordinate. Dalle tre variabili indipenden che servirebbero in assenza di vincoli, due

risultano in realtà linearmente dipenden dalla terza a causa dei vincoli impos . Quindi si

hanno tre gradi di libertà meno due gradi di vincolo, il che significa che serve una sola

variabile per definire completamente il movimento dell'asta.

Si può quindi scegliere in maniera totalmente arbitraria quale variabile u lizzare come

variabile indipendente. Le possibilità più convenien sono tre: si può usare lo spostamento

ver cale di A, oppure lo spostamento orizzontale di B, oppure la rotazione θ del corpo. Non

si possono invece usare, per esempio, lo spostamento ver cale di B, perché questo è zero

per il vincolo, e viceversa non si può usare lo spostamento orizzontale di A. Queste sono

variabili dipenden , già determinate dalle due equazioni algebriche dei vincoli.

Scegliendo come variabile fondamentale, si possono poi definire o la rotazione θ in

funzione di

Per applicare il teorema di Rivals serve conoscere , che è facile da determinare essendo

⃗

legata dire amente alla variabile scelta, e serve conoscere la velocità angolare ω.

Per calcolare la velocità angolare si può sfru are il centro di istantanea rotazione che è stato

calcolato precedentemente. Senza ricorrere alla geometria si può sfru are il teorema di

Rivals usando un altro punto del corpo di cui si conosce la velocità. Poiché si sa dove si trova

il centro di istantanea rotazione C, si può scrivere il teorema di Rivals tra A e C:

⃗ = ⃗ +

⃗ ∧ ( − )

Vale che: ⃗ = ̇ ⃗

⃗ = 0

Quindi: ⃗

−̇

⃗ =

⃗

̇ ̇

(− ⃗)

̇ ⃗ = 0 − ∧ cos() = cos ()⃗

̇

̇ = cos ()

Un aspe o fondamentale da so olineare è che non si è cambiato arbitrariamente nessun

segno nell'espressione. Automa camente deve risultare, se si è scri o tu o corre amente,

che se è posi vo allora θ è posi vo. Un valore posi vo di significa che il punto A si sta

̇ ̇

spostando verso l'alto, quindi se il punto A si sposta verso l'alto, l'asta ruota in senso

an orario, il che vuol dire che θ cresce e quindi θ deve essere posi vo.

Se i con sono sta fa corre amente, senza cambiare i segni arbitrariamente, cosa che

non si deve mai fare, automa camente si o ene che se è posi vo, allora θ è posi vo. Il

̇

segno di θ dipende dal segno di , che si suppone posi vo, e da L che è una costante

̇

posi va, e dal cos(θ). Il coseno di θ, se l'asta si trova nella posizione disegnata con θ tra 0 e

90°, è maggiore di zero. Quindi automa camente, se si è scri o tu o corre amente, viene

fuori il segno giusto di θ.

Lo stesso ragionamento si poteva fare considerando la posizione di A in funzione di θ

a raverso la geometria. Si poteva scrivere dire amente la relazione :

= sin ()

Derivando questa espressione si o ene esa amente lo stesso risultato:

̇

̇ = cos ()

Se ci si abitua a usare il metodo del teorema di Rivals si diventa più robus nelle

applicazioni, mentre usando la geometria dire a bisogna ogni volta guardare a entamente

la geometria del sistema e capire qual è la relazione corre a, stando a en ai segni, perché

se si sbaglia il segno di quell'espressione l'intero risultato è compromesso.

Per calcolare la velocità di B si applica il teorema di Rivals:

̇ ⃗

(

⃗ = ⃗ +

⃗ ∧ − ) = ̇ ⃗ − ∧ [ cos() ⃗ − sin() ⃗]

cos()

̇ ̇

⃗ = ̇ ⃗ − cos()⃗ − sin()⃗

cos() cos()

⃗ = −̇ ⃗ ()⃗

Questa è la velocità di B. Cosa deve risultare fisicamente? Se è posi vo, quindi se il punto

̇

A si sposta verso l'alto, il punto B si deve spostare a sinistra, quindi lungo .

−⃗

L'accelerazione si o ene derivando l'espressione della velocità.

In questo caso par colare, l'accelerazione di B è composta dalla sua componente

tangenziale, poiché la traie oria di B è re linea. In generale l'accelerazione è la somma di

componente normale e tangenziale. Nel caso par colare non c'è accelerazione normale

perché il moto di B è re lineo.

Questo è un classico esempio in cui le traie orie di A e di B sono entrambe re linee. Il

punto A ha una traie oria re linea parallela all'asse y, il punto B ha una traie oria re linea

parallela all'asse x. L'accelerazione normale di A è zero, essendo solo accelerazione

ÿ

tangenziale. L'accelerazione normale di B è zero, quindi derivando si o ene solo la sua

componente tangenziale.

Tu avia, il corpo rigido ruota. Sia θ che θ sono diversi da zero. Quindi le traie orie dei pun

non hanno nulla a che vedere con le proprietà rotazionali del corpo rigido. Il corpo rigido

può ruotare nonostante i pun abbiano traie orie re linee.

Quello che non può succedere è che se le traie orie re linee fossero tu e parallele tra

loro, allora il corpo dovrebbe traslare. Ma devono essere parallele quelle traie orie,

altrimen il corpo può benissimo ruotare pur avendo pun con traie orie re linee.

Questo esempio so olinea nuovamente la dis nzione fondamentale: un conto è la

cinema ca del punto, quindi la traie oria dei singoli pun e le velocità angolari con cui i

pun percorrono eventualmente traie orie circolari. Un altro conto completamente diverso

è il movimento del corpo rigido nel suo insieme e la velocità angolare del corpo rigido. Sono

due conce completamente diversi. Nel primo caso ci si focalizza su quello che fa un

singolo punto, nel secondo caso su quello che fa un insieme di pun vincolato dalla rigidità

del corpo.

ESEMPIO 2

Consideriamo ora il classico esempio del disco che rotola senza strisciare su una guida

re linea fissa. Assegniamo al disco una velocità angolare ω e una accelerazione angolare ̇

e come pun di interesse consideriamo tre pun allinea su un diametro ver cale: il punto

di conta o con la guida, che chiamiamo P; il centro del disco, C; e il punto K, che è il punto

diametralmente opposto a P, quindi in cima al disco. Il nostro obie vo è determinare le

velocità e le accelerazioni di ques tre pun .

La prima domanda cruciale che dobbiamo porci è: quante variabili indipenden servono per

descrivere completamente il moto di questo sistema? In generale, per un corpo rigido nel

piano, come ben sappiamo, servono tre parametri. Tu avia, dobbiamo ora considerare

l'effe o del vincolo, che è di puro rotolamento. Tale vincolo toglie due gradi di libertà,

imponendo due condizioni cinema che dis nte sulla velocità del punto di conta o P:

1. La componente della velocità di P in direzione normale al piano di conta o (quindi

ver cale, in questo caso) deve essere uguale a zero. Questo impedisce al disco di

sollevarsi o di compenetrarsi nella guida:

⃗ = ⃗

2. La componente della velocità di P in direzione tangenziale al piano di conta o (quindi

orizzontale) deve essere uguale a zero. Questo è proprio la condizione di assenza di

strisciamento: ⃗ = ⃗

Poiché la nostra guida è fissa, la velocità del punto della guida a conta o con P è

iden camente zero. Di conseguenza, entrambe le componen della velocità del punto P

(appartenente al disco) devono essere nulle. Possiamo quindi concludere che, in ogni

istante, la velocità del punto di conta o P è nulla.

⃗ = 0 → ⃗ =0

Questo ci porta a una conclusione immediata e potente: il punto P è il centro di istantanea

rotazione per il disco in quell'istante.

Procediamo ora al calcolo delle velocità. Possiamo farlo in due modi: sfru ando la

geometria del sistema oppure, in modo più generale e robusto, applicando il teorema di

Rivals. Usiamo questo secondo metodo, sfru ando il fa o che abbiamo appena stabilito

che: ⃗

(

⃗ = ⃗ +

⃗ ∧ − ) = − ∧ ⃗ = ⃗

Questo risultato ci dice che il centro C si muove orizzontalmente verso destra con

velocità È importante notare che se avessimo scelto una rotazione an oraria (ω =+ωk

⃗ ⃗

.

ω=+ωk), il segno sarebbe venuto nega vo, ma il metodo è lo stesso. Il punto è che il segno

viene fuori automa camente e corre amente dall'applicazione della regola della mano

destra nel prodo o ve oriale.

Calcoliamo ora la velocità del punto K. Applichiamo nuovamente Rivals, sempre usando P

come polo: ⃗

(

⃗ = ⃗ +

⃗ ∧ − ) = − ∧ 2⃗ = 2⃗

Il punto K ha quindi una velocità orizzontale doppia rispe o al centro C. Se visualizziamo la

distribuzione delle velocità lungo il diametro ver cale PK, vediamo che essa è lineare

(triangolare): zero in P, in C, e in K

2 2

Si procede ora con il calcolo delle accelerazioni. Qui è fondamentale non comme ere un

errore molto comune. Non possiamo e non dobbiamo dedurre che l'accelerazione di P sia

zero solo perché la sua velocità è zero in quell'istante. Questo è un punto conce uale

cruciale. La relazione è una condizione istantanea, valida solo per il par colare

⃗ = 0

punto materiale del disco che in quell'istante si trova a conta o con la guida. Nell'istante

successivo, quel punto materiale si sarà spostato, non sarà più a conta o, e avrà acquisito

una velocità diversa da zero. Derivare dire amente per trovare l'accelerazione

⃗ = 0

condurrebbe a un risultato errato, poiché si starebbe derivando un'iden tà valida solo in un

punto, non una funzione del tempo.

L'unico punto per il quale possiamo determinare l'accelerazione in modo rela vamente

dire o è il centro C perché conosciamo la sua traie oria: è una re a orizzontale. Per un

moto re lineo, l'accelerazione ha solo componente tangenziale; la componente normale è

zero. Possiamo quindi derivare la sua velocità, che abbiamo espresso come ⃗ = ⃗

In questa espressione, R e la direzione sono costan . Derivando o eniamo:

⃗

⃗ = ⃗ = ̇ ⃗

Ora che abbiamo l'accelerazione di un punto del corpo rigido (C), possiamo usare

l'espressione generale per l'accelerazione per trovare le accelerazioni di tu gli altri pun .

La formula è: ⃗

⃗ (P ( (−R⃗) (−R⃗)

⃗ = ⃗ + ̇ ∧ − C) − − ) = ̇ ⃗ − ̇ ∧ −

⃗ = R⃗

Tale risultato mostra che l'accelerazione del punto di conta o P non è zero, ma è un ve ore

puramente ver cale, dire o verso l'alto. Fisicamente, questo ha perfe amente senso: è

proprio questa accelerazione ver cale che, nell'istante successivo, "solleva" il punto

materiale che era a conta o, perme endogli di iniziare a descrivere la sua traie oria

cicloidale. Se l'accelerazione fosse stata zero, il punto rimarrebbe a conta o e il disco

striscerebbe.

Calcoliamo infine l'accelerazione del punto K in modo analogo:

⃗

⃗ (K ( (R⃗) (R⃗)

⃗ = ⃗ + ̇ ∧ − C) − − ) = ̇ ⃗ − ̇ ∧ −

⃗ = 2̇ R⃗ − R⃗

Per il punto K, questa volta possiamo iden ficare le due componen dell’accelerazione:

Una componente tangenziale 2̇ R⃗

 Una componente normale − che corrisponde all'accelerazione centripeta del

R⃗

 moto circolare di K a orno al centro C.

5-TEOREMA DEI MOTI RELATIVI

Lo strumento che verrà introdo o perme e di descrivere sia il movimento di un punto in

generale, sia il movimento di un punto che appar ene a un corpo rigido. Questo strumento è

flessibile e quanto visto in precedenza sulla cinema ca dei corpi rigidi può essere

considerato come un caso par colare di questo approccio più generale.

5.1-INTRODUZIONE AI MOTI RELATIVI: O