Fondamenti di meccanica teorica ed applicata (parte 2) - Introduzione alla cinematica del corpo rigido

2-INTRODUZIONE ALLA CINEMATICA DEL CORPO RIGIDO

2.1-LA COMPLESSITA’ DELLA DESCRIZIONE CINEMATICA DI UN GENERICO CORPO

Abbiamo visto che il punto materiale rappresenta un'idealizzazione matema ca

fondamentale in meccanica. Si tra a di un ogge o, un ente fisico, cara erizzato da una

dimensione trascurabile rispe o al problema in esame. Questa condizione perme e di

supporre sostanzialmente che l'ogge o abbia dimensioni infinitesime, riducendo così la

complessità del problema a quella di un semplice punto geometrico dotato di massa.

Il corpo rigido cos tuisce una generalizzazione più realis ca del punto materiale, necessaria

quando le dimensioni dell'ogge o non possono essere trascurate. La definizione di corpo

richiede una precisazione dei termini u lizza .

Un corpo rappresenta un ente materiale per il quale:

 Vengono associate proprietà di inerzia

 E’ cara erizzato da una dimensione finita e quindi il corpo occupa una certa area nel

piano o un certo volume nello spazio tridimensionale e quindi le sue dimensioni sono

significa ve rispe o al sistema di riferimento

La definizione completa della posizione di un corpo nel piano presenta una complessità

matema ca notevole che deve essere affrontata sistema camente. Il corpo può essere

conce ualizzato come un insieme di pun materiali, ma questo approccio genera

immediatamente una difficoltà: l'insieme è cos tuito da infini pun .

Se si tentasse di descrivere rigorosamente la posizione del corpo, sarebbe necessario

definire sul corpo ogni generico punto e specificare la posizione di ciascuno di ques

pun . Dato che i pun cos tuen il corpo sono sostanzialmente infini , occorrerebbe

definire l'insieme completo di tu i ve ori posizione, dove ciascun ve ore rappresenta una

funzione del tempo con l'indice i che varia da 1 fino all'infinito.

(),

( ()

− ) = ∀ = 1, … , ∞

La cinema ca, in questo contesto, dovrebbe studiare l'evoluzione temporale di ciascuno di

ques infini ve ori, insieme a tu e le loro derivate successive per o enere velocità e

accelerazioni. Questa formulazione matema ca, pur essendo rigorosa dal punto di vista

teorico, genera un problema sostanzialmente impossibile da affrontare nella pra ca,

rendendo necessarie delle semplificazioni che verranno introdo e successivamente.

Per comprendere la portata del problema appena delineato, occorre introdurre il conce o

fondamentale di gradi di libertà e applicarlo sia al punto materiale che al corpo generico.

La definizione completa della posizione di un singolo punto materiale nel piano richiede la

specificazione di due variabili indipenden . Queste variabili sono rappresentate dalle due

coordinate cartesiane e espresse come funzioni del tempo: e La scelta del

, () ().

sistema di coordinate cartesiane non è obbligatoria, ma risulta conveniente per la maggior

parte delle applicazioni pra che.

Le variabili necessarie per definire completamente il movimento di un sistema fisico

vengono denominate gradi di libertà del sistema. Questa definizione racchiude un conce o

fondamentale: i gradi di libertà rappresentano il numero minimo di parametri

indipenden necessari per specificare univocamente la configurazione del sistema in ogni

istante temporale. Nel caso specifico del punto materiale nel piano, i gradi di libertà del

sistema sono esa amente due.

Applicando il conce o di gradi di libertà al problema del corpo (generico), emerge

chiaramente la complessità matema ca che deve essere affrontata. Se il corpo viene

conce ualizzato come un insieme di pun materiali, e se ogni punto richiede due variabili

per la sua completa descrizione nel piano, il prodo o matema co infinito mol plicato per 2

risulta essere sostanzialmente infinito. Conseguentemente, un corpo qualsiasi, descri o

senza alcuna restrizione o semplificazione, possiede un numero infinito di gradi di libertà.

Questa conclusione evidenzia l'impossibilità pra ca di affrontare il problema nella sua

formulazione più generale e gius fica la necessità di introdurre ipotesi semplifica ve che

rendano il problema matema camente tra abile mantenendo al contempo un'adeguata

rappresentazione della realtà fisica.

2.2-L’APPROSSIMAZIONE DI CORPO RIGIDO

Il corpo rigido viene considerato come un ente indeformabile, che man ene invariata la

sua forma durante qualsiasi po di movimento.

È importante so olineare che i corpi perfe amente rigidi non esistono nella realtà fisica.

Qualsiasi corpo materiale, so oposto a forze esterne, subisce deformazioni più o meno

eviden in funzione dell'intensità delle forze applicate e delle cara eris che di rigidezza del

materiale. Tu avia, l'approssimazione di corpo rigido man ene la sua u lità pra ca in

numerose situazioni ingegneris che.

Per chiarire il conce o di rigidità, si consideri un corpo re angolare con ver ci denomina

A, B, C e D. Immaginando tre configurazioni diverse di questo corpo nel piano, la valutazione

della rigidità richiede l'iden ficazione di quale configurazione rispe le condizioni di

invarianza della forma.

La configurazione centrale rappresenta l'unica situazione assimilabile a un movimento di

corpo rigido. In questa configurazione, la forma re angolare originaria viene preservata: le

distanze tra i ver ci rimangono invariate, gli angoli mantengono i loro valori originali, e

l'area del re angolo resta costante.

Le altre due configurazioni mostrano invece eviden deformazioni. I corpi non mantengono

più la forma re angolare originaria: le distanze tra i ver ci sono cambiate, gli angoli non

sono più re , e la geometria complessiva risulta alterata. Queste situazioni non possono

essere descri e a raverso il modello di corpo rigido.

La formulazione matema ca della rigidità si basa sulla possibilità di definire un sistema di

riferimento mobile solidale con il corpo. Un corpo viene definito rigido quando esiste un

nuovo sistema di riferimento O'X'Y' tale che, per qualsiasi punto P del corpo, il ve ore

posizione P' - O' rimane iden co al ve ore P - O calcolato in un istante di tempo diverso:

)

∃ |( − = ( − )

Questa condizione matema ca esprime il fa o che, cambiando opportunamente il sistema

di riferimento, l'osservatore può vedere il corpo sempre nella stessa configurazione

geometrica. La variazione del punto di osservazione compensa esa amente il movimento

del corpo, perme endo di riconoscere l'invarianza della forma. Il corpo potrebbe anche

subire una rototraslazione, ovvero una combinazione di rotazione e traslazione che non

altera la geometria interna.

Dal punto di vista matema co, si dice che un corpo è rigido quando per esso sono possibili

solamente spostamen rigidi. Uno spostamento rigido è cara erizzato dall'esistenza di un

sistema di riferimento diverso da quello iniziale per il quale l'insieme dei ve ori posizione di

tu i pun del corpo resta invariato.

La condizione necessaria e sufficiente per la rigidità richiede che le distanze tra qualsiasi

coppia di pun del corpo rimangano costan nel tempo. Matema camente, considerando

due pun generici P₁ e P₂ appartenen al corpo, il segmento deve mantenere un valore

costante durante tu o il movimento. Questa condizione deve essere verificata per tu e le

possibili coppie di pun del corpo, non solo per alcune par colari.

Una conseguenza dire a di questa condizione riguarda gli angoli: considerando tre pun

qualsiasi P₁, P₂ e P₃ del corpo, l'angolo formato da ques tre pun deve rimanere

invariato nel tempo.

2.3-RIDUZIONE DEI GRADI DI LIBERTA’ GRAZIE ALL’APPROSSIMAZIONE DI CORPO RIGIDO

Le proprietà geometriche del corpo rigido perme ono di ridurre dras camente il numero di

gradi di libertà necessari per descrivere completamente il sistema. Anziché dover specificare

la posizione di infini pun , risulta sufficiente definire la posizione di un numero finito di

pun opportunamente scel . Per un corpo rigido nel piano, la definizione completa della

posizione può essere o enuta specificando le coordinate di tre pun non allinea del

corpo. Ques tre pun formano un triangolo solidale al corpo, e la loro posizione determina

univocamente la configurazione dell'intero sistema.

La scelta di tre pun non allinea è fondamentale: pun allinea non fornirebbero

informazioni sufficien per determinare l'orientazione del corpo nel piano. Il triangolo

formato dai tre pun deve mantenere la sua forma invariata, rispecchiando la condizione di

rigidità del corpo.

Inizialmente, tre pun nel piano richiederebbero sei variabili per la loro completa

descrizione: due coordinate cartesiane per ciascun punto. Indicando i tre pun come A, P₁ e

P₂, le sei variabili sono: , , , , ,

La condizione di rigidità impone che le distanze tra ques pun rimangano costan ,

introducendo tre relazioni di vincolo:

La distanza deve rimanere costante e uguale a :

=

La distanza deve rimanere costante e uguale a :

=

La distanza deve rimanere costante e uguale a :

=

Dal punto di vista matema co, ciascuna di queste relazioni si esprime a raverso

un'equazione algebrica del po:

− + − =

− + − =

− + − =

Le tre equazioni sono algebriche nelle sei incognite rappresentate dalle coordinate dei

pun . Il sistema presenta sei variabili legate da tre equazioni di vincolo e quindi il numero di

variabili realmente indipenden è tre.

I gradi di libertà di un corpo rigido nel piano risultano quindi essere esa amente tre. Questo

risultato rappresenta una riduzione notevole rispe o agli infini gradi di libertà del corpo

generico deformabile.

L'analisi può essere estesa al caso tridimensionale seguendo la stessa logica conce uale.

Nello spazio, tre pun non allinea richiederebbero nove coordinate per la loro descrizione

completa: tre coordinate cartesiane per ciascun punto. Le relazioni di vincolo rimangono le

stesse tre del caso bidimensionale: le distanze tra le tre coppie di pun devono rimanere

costan . Il numero di variabili indipenden risulta quindi essere nove meno tre, ovvero sei.

Un corpo rigido nello spazio tridimensionale possiede sei gradi di libertà. Questo risultato

ha un'interpretazione fisica immediata: tre gradi di libertà descrivono la traslazione del

corpo lungo i tre assi coordina , mentre i rimanen tre descrivono la rotazione del corpo

a orno ai tre assi principali.

2.4-CONSEGUENZE GEOMETRICHE DELLA RIGIDITA’: INTRODUZIONE DELLA VELOCITA’

ANGOLARE

Consideriamo un corpo generico nel piano e tre pun specifici all'interno di questo corpo: il

punto A, il punto P₁ e il punto P₂. La proprietà fondamentale stabilita in precedenza richiede

che l'angolo formato tra ques tre pun rimanga costante: =

Il triangolo formato dai tre pun deve mantenere sempre la stessa forma geometrica,

conservando non soltanto le lunghezze dei tre la ma anche i valori dei tre angoli interni.

Per formalizzare matema camente questa proprietà, vengono introdo due angoli di

riferimento. L'angolo θ₂ rappresenta l'orientazione del segmento P₂A rispe o all'asse

orizzontale del sistema di riferimento fisso. Analogamente, l'angolo θ₁ definisce

l'orientazione del segmento P₁A rispe o al medesimo