Fondamenti di meccanica teorica ed applicata (parte 3) - Concetti di cinematica del corpo rigido

4-CINEMATICA DEL CORPO RIGIDO

La cinema ca del corpo rigido si occupa di descrivere l'evoluzione della posizione di un corpo

rigido nel tempo. Considerando un corpo rigido che si muove nel piano, quindi con

movimen bidimensionali, è necessario individuare quante coordinate servono per

descrivere completamente il suo movimento. Abbiamo già visto nel Capitolo 2 che sono

necessarie tre coordinate.

A questo punto dello studio della cinema ca del corpo rigido si possono seguire due

approcci diversi e complementari. Il primo approccio è quello che viene chiamato moto in

grande, mentre il secondo è denominato a o di moto.

Il moto in grande consiste nel definire completamente come evolve la posizione del corpo

rigido nel tempo a raverso l'intero intervallo temporale di interesse. Per realizzare questa

descrizione completa, nel caso delle coordinate precedentemente definite, è necessario

specificare tre leggi orarie. La prima legge oraria descrive l'evoluzione della coordinata nel

tempo la seconda descrive l'evoluzione della coordinata nel tempo e la terza

(), (),

descrive l'evoluzione della rotazione nel tempo Queste tre funzioni del tempo

().

perme ono di definire il moto in grande perché, una volta note queste tre funzioni con il

parametro tempo, è possibile determinare la posizione del corpo rigido in qualsiasi istante

temporale. Si può posizionare il punto P1 a raverso le sue coordinate e successivamente,

dalla rotazione, posizionare il punto P2 o qualsiasi altro punto del corpo, realizzando

essenzialmente una fotografia della configurazione del corpo in ogni istante desiderato.

Il secondo approccio, chiamato a o di moto, ha un obie vo diverso. Anziché descrivere

l'intera evoluzione temporale, l'a o di moto si concentra su un istante par colare. Per tu

i pun del corpo, o più realis camente per alcuni pun di par colare interesse, si vanno a

definire le grandezze cinema che che cara erizzano il movimento in quello specifico

istante, ovvero la velocità e l'accelerazione. Queste grandezze sono fondamentali per lo

studio successivo della dinamica del sistema. L'a o di moto può essere definito più

rigorosamente come l'insieme delle velocità e delle accelerazioni di tu i pun del corpo

in un istante par colare del tempo. Si effe ua quindi una fotografia istantanea e si

determinano i valori delle velocità e delle accelerazioni, per esempio di P1, P2 o di altri

pun che rivestono interesse specifico.

Nella dinamica, che verrà studiata successivamente, i pun di interesse sono picamente i

pun di applicazione delle forze esterne, il baricentro del corpo dove si manifestano le forze

di inerzia, e i pun dove sono presen vincoli o collegamen con altri corpi. La dis nzione

tra moto in grande e a o di moto è quindi fondamentale nell'approccio allo studio del

movimento dei corpi rigidi.

4.1-MOTO IN GRANDE

IL MOTO TRASLATORIO

Partendo dall'analisi del moto in grande, si possono iden ficare diverse possibilità di

movimento per un corpo rigido. Per comodità rappresenta va, si considera il corpo rigido

schema zzato come un re angolo, anche se la forma potrebbe essere qualsiasi. Su questo

re angolo si individuano due pun cara eris ci P1 e P2:

La prima possibilità di movimento è quella in cui il re angolo, e quindi il corpo rigido,

rimane sempre orientato nello stesso modo durante tu o il movimento. Per comprendere

meglio questo conce o, si definisce l'angolo formato tra il segmento che congiunge P1 e

P2 e l'asse orizzontale di riferimento.

Dopo un certo intervallo di tempo, il corpo si sarà spostato e i pun si troveranno in nuove

posizioni che possono essere indicate come P1' e P2'. In questa nuova configurazione si può

definire un nuovo angolo θ', che rappresenta ancora l'angolo formato dal segmento che

congiunge i due pun con l'asse orizzontale ma nella configurazione aggiornata.

Analogamente, dopo un ulteriore intervallo di tempo, si avranno le posizioni P1'' e P2'' con il

corrispondente angolo θ''.

Quello che cara erizza questo par colare po di movimento è che, qualsiasi sia l'istante di

tempo in cui si osserva il corpo, L'angolo formato tra il segmento dei due pun del corpo e il

riferimento assoluto non varia mai nel tempo:

= = =

Questa condizione implica conseguenze importan sulle traie orie dei pun . Se si

considerano le traie orie percorse da P1, P2 (o comunque di un generico punto

appartenente al corpo), il fa o che l'angolo θ non vari mai significa che queste traie orie

sono sovrapponibili a raverso una traslazione rigida. Le traie orie non sono

necessariamente re linee, ma sicuramente esiste una traslazione rigida che perme e di

sovrapporre tu e le traie orie dei diversi pun del corpo. Il corpo rigido in questo caso sta

traslando, e questo po di movimento viene definito moto traslatorio.

In termini delle grandezze cinema che definite precedentemente, se l'angolo θ non varia

significa che la funzione θ(t) è uguale a una costante per tu o il movimento. Questa

condizione ha una conseguenza immediata e fondamentale: se si calcola la derivata

temporale di θ(t), ovvero la velocità angolare del corpo rigido, questa risulta essere zero. Il

ve ore velocità angolare ω del corpo rigido è quindi nullo durante tu o il moto

traslatorio.

Dire che un corpo rigido trasla significa affermare che la sua velocità angolare è nulla.

Tu avia, e questo è fondamentale, questa condizione non implica affa o che le traie orie

dei singoli pun del corpo debbano essere re linee, ma potrebbero essere anche

traie orie circolari. I pun del foglio seguirebbero traie orie circolari di raggio uguale ma

con centri diversi, e queste traie orie sarebbero comunque sovrapponibili a raverso una

traslazione rigida.

Questo esempio so olinea una dis nzione conce uale cruciale che deve essere ben chiara:

il moto del singolo punto che appar ene al corpo rigido è un conce o completamente

diverso dal moto del corpo rigido nel suo insieme. Il punto appar ene certamente al corpo

e ne segue i movimen , ma le due descrizioni hanno natura diversa. Il corpo rigido può

traslare, nel senso che ha velocità angolare nulla, mentre contemporaneamente i suoi

pun potrebbero non avere un moto re lineo. Questo non significa che l'accelerazione

normale dei pun del corpo sia nulla, perché le traie orie dei pun non sono

necessariamente re linee e possono presentare curvatura. I pun avranno delle

accelerazioni normali non nulle se le loro traie orie sono curve, anche se il corpo nel suo

insieme sta traslando.

Nel caso del moto traslatorio, dove la velocità angolare del corpo è nulla, tu e le traie orie

dei pun sono sovrapponibili a raverso una traslazione rigida. Questo implica che le

velocità di tu i pun del corpo sono iden che tra loro. La velocità di P1 è uguale alla

velocità di P2, che è uguale alla velocità di un generico punto P appartenente al corpo. Lo

stesso principio vale per le accelerazioni: l'accelerazione di P1 è uguale all'accelerazione di

P2, che è uguale all'accelerazione di un generico punto P. Questo risultato deriva dal fa o

che le traie orie sono sovrapponibili e possono quindi essere percorse tu e con la stessa

legge oraria. I ve ori velocità e accelerazione risultano quindi gli stessi per tu i pun . Le

tangen alle traie orie nei vari pun sono sempre orientate allo stesso modo, i versori

normali sono paralleli tra loro, e le leggi orarie che descrivono la posizione lungo la

traie oria sono iden che. Di conseguenza, anche le componen normali delle accelerazioni,

che dipendono dal quadrato della velocità diviso il raggio di curvatura, risultano uguali per

tu i pun .

Nel moto traslatorio è quindi sufficiente conoscere la velocità e l'accelerazione di un

singolo punto, per esempio P1, determinando le sue coordinate e e le rela ve

derivate temporali, per avere automa camente definite le velocità e le accelerazioni di

tu gli altri pun del corpo rigido. ⃗= ⃗= ⃗

⃗= ⃗= ⃗

MOTO TRASLATORIO (RIASSUNTO CONCETTI FONDAMENTALI)-MOTO IN GRANDE

è costante e quindi la velocità angolare è nulla

Esiste una traslazione rigida che perme e di sovrapporre le traie orie di ciascun punto

del corpo (che possono essere anche traie orie curvulinee, il moto del singolo punto è un

conce o diverso dal moto del corpo in sé e infa i pun del corpo potrebbero avere delle

velocità angolari)

Velocità e accelerazioni sono uguali per tu i pun del corpo rigido e quindi è sufficiente

conoscere le due coordinate e di un punto (e calcolare le sue derivate) per avere i

ve ori velocità e accelerazione di ciascun punto del corpo rigido)

IL MOTO ROTATORIO

Il secondo caso importante di movimento del corpo rigido è quello che viene chiamato

moto rotatorio. Rappresentando nuovamente il corpo rigido schema camente, il moto

rotatorio è cara erizzato dall'esistenza di un punto par colare, che viene indicato con C e

chiamato centro di rotazione, che ha la proprietà di rimanere fisso durante tu o il

movimento. Il punto C non è necessariamente un punto che da un punto di vista geometrico

appar ene materialmente al corpo. Per esempio, si può rappresentare graficamente il

centro di rotazione anche all'esterno del perimetro fisico del corpo. Tu avia, è

fondamentale che C sia solidale al corpo rigido, nel senso che deve muoversi come se

fosse parte integrante del corpo rigido stesso, rispe ando tu i vincoli di rigidità con gli

altri pun .

La cara eris ca dis n va del moto rotatorio è che questo punto C deve mantenere costante

la sua posizione nel tempo. Il ve ore posizione di C non deve variare durante tu o il

movimento. Questa condizione implica conseguenze molto specifiche sul po di movimento

che il corpo può compiere.

Poiché la distanza tra C e qualsiasi punto del corpo, per esempio P1 o P2, deve rimanere

costante in virtù del vincolo di rigidità, e contemporaneamente C è fisso, ne consegue che

ogni punto del corpo deve necessariamente muoversi su una traie oria circolare centrata

in C. La distanza deve essere costante. Quindi il corpo sta sostanzialmente ruotando

a orno al punto fisso C. Le traie orie di P1 e P2, e di qualsiasi altro punto del corpo, sono

quindi circonferenze. Quello che cambia per i diversi pun è il raggio di queste

circonferenze: il raggio della traie oria di ciascun punto corrisponde alla distanza tra quel

punto e il centro di rotazione C. ()

Per quanto riguarda la velocità di un generico punto , è possibile derivare la sua

espressione considerando che il ve ore posizione di rispe o a un'origine O fissa può

essere scomposto come somma del ve ore posizione tra C e O, più il ve ore posizione tra

e C. Derivando rispe o al tempo per o enere la velocità, il primo termine è nullo perché

C è fisso, mentre rimane da considerare la derivata del ve ore posizione tra e C.

Il ve ore posizione e C è un ve ore che definisce la posizione rela va di due pun che

appartengono entrambi al corpo rigido (rela vamente a C si intende appartenenza solidale).

Di conseguenza, la distanza tra ques due pun non può variare per il vincolo di rigidità.

L'unica grandezza che può variare è l'angolo f