Fondamenti di meccanica teorica ed applicata (parte 1) - Cinematica del punto materiale

FONDAMENTI DI

MECCANICA

TEORICA ED

APPLICATA

-Cinema ca-

1-CINEMATICA DEL PUNTO

La cinema ca è il ramo della meccanica che studia il movimento dei corpi senza

considerare le cause che lo generano. Prima di comprendere perché un ogge o si muove

(dinamica), dobbiamo essere in grado di descrivere matema camente come si muove.

Questo è l'obie vo della cinema ca.

Il punto materiale rappresenta una idealizzazione fondamentale: consideriamo un ogge o

le cui dimensioni sono trascurabili rispe o alle distanze cara eris che del problema.

Questa approssimazione ci perme e di concentrarci esclusivamente sulla posizione del

centro di massa senza preoccuparci della rotazione o della deformazione dell'ogge o.

1.1-IL PROBLEMA DELLA RAPPRESENTAZIONE DELLA POSIZIONE

Quando vogliamo descrivere matema camente dove si trova un punto nello spazio,

dobbiamo prima stabilire un sistema di riferimento. Questo sistema deve essere "assoluto",

cioè fisso nello spazio, per poter misurare i cambiamen di posizione in modo coerente nel

tempo.

La posizione del punto è rappresentata tramite il ve ore dove è l’origine del

( − ),

nostro sistema di riferimento. Questo ve ore è un ente matema co che con ene tre

informazioni fondamentali: direzione (verso dove punta), verso (in quale senso lungo quella

direzione) e modulo (quanto è lungo).

⃗

⃗

RAPPRESENTAZIONE CARTESIANA

La rappresentazione più intui va della posizione u lizza coordinate cartesiane.

Scomponiamo il ve ore posizione lungo due direzioni perpendicolari:

( − ) = ⃗ + ⃗

Nella notazione e sono le componen scalari (numeri reali che possono essere posi vi o

nega vi), mentre e sono versori, cioè ve ori di modulo unitario che indicano le direzioni

⃗ ⃗

posi ve degli assi coordina .

Il modulo del ve ore posizione si calcola tramite il teorema di Pitagora:

|( − )| = +

RAPPRESENTAZIONE POLARE

Esiste un modo alterna vo di rappresentare la posizione: la rappresentazione polare

a raverso il piano complesso di Gauss.

Nel piano di Gauss, ogni punto può essere rappresentato come un numero complesso:

( − ) = + =

Questa rappresentazione con ene le stesse informazioni della rappresentazione cartesiana,

ma organizzate diversamente:

 Il modulo del ve ore è: = +

 L’anomalia, cioè l’angolo che il ve ore forma con l’asse reale è:

=

2

Considerando che la Regola di Eulero consiste in:

= cos() + sin ()

Questa formula ci dice che l'esponenziale complesso rappresenta una rotazione nel piano

complesso. Quando mol plichiamo per , s amo essenzialmente dicendo: "par

dall'origine, muovi di una distanza nella direzione che forma un angolo con l'asse

reale".

La relazione tra rappresentazione cartesiana e rappresentazione polare è data da:

= cos ()

= sin ()

Si consideri che: ∙

= 1∙

Questo significa che l’unità immaginaria rappresenta una rotazione di 90°, il che spiega

perché mol plicare per ruota un ve ore di in sento an orario

90°

1.2-IL MOVIMENTO E IL CONCETTO DI TRAIETTORIA

Finora abbiamo considerato la posizione come un dato sta co. Ma il movimento significa

che la posizione cambia nel tempo. Matema camente, questo si esprime rendendo le

coordinate funzioni del tempo: ( − ) = ()⃗ + ()⃗

Quando il punto P si muove, lascia dietro di sé una "scia" nello spazio: questa è la

traie oria. La traie oria è il luogo geometrico di tu e le posizioni occupate dal punto

durante il suo movimento la indichiamo come funzione ():

()

() ()

⃗

()

⃗

Si dà una definizione parametrica della curva, cioè si definisce la curva in funzione di un

parametro (in questo caso il tempo questa descrizione ci dice esa amente dove si trova il

);

punto a ogni istante, ma non ci dà dire amente l'equazione della curva nello spazio:

()

()

Eliminiamo il parametro tempo per o enere una relazione dire a tra x e y. Dalla prima

equazione ricaviamo t = g(x), quindi sos tuiamo nella seconda:

= ()

= () = () = ()

Ora f(x) è l'equazione della traie oria: ci dice che forma ha il percorso nello spazio,

indipendentemente da quando il punto passa per ogni posizione.

Conoscere la traie oria non è sufficiente: dobbiamo anche sapere quanto cammino ha fa o

il punto. L'ascissa curvilinea s(t) è una funzione che misura la distanza percorsa lungo la

traie oria a par re da un punto di riferimento. Se pensiamo alla traie oria come a una

strada, s(t) è come il contachilometri: ci dice quan chilometri abbiamo percorso,

indipendentemente dalle curve che abbiamo fa o.

1.3-LA VELOCITA’

La velocità esprime quanto varia rapidamente nel tempo il ve ore posizione:

(

− ) − ( − ) −

(

⃗ = − ) = lim = lim

∆ ∆

→ →

è lo spostamento, cioè la variazione del ve ore posizione.

( − ) − ( − )

Questo limite rappresenta la pendenza istantanea della curva posizione-tempo.

Dimostreremo che, geometricamente, è il ve ore tangente alla traie oria nel punto

considerato. () ( )

FORMA CARTESIANA [()⃗ ()⃗]

⃗ = +

Sapendo che e sono funzione del tempo e i due versori sono ve ori costan dato

() ()

che il sistema di riferimento è fisso nello spazio. Siano e le derivate nel tempo, allora:

̇ ̇

[()⃗ ()⃗]

⃗ = + = ̇ ⃗ + ̇ ⃗

⃗

̇ ̇

| ⃗| = ̇ + ̇

FORMA POLARE

In forma polare il calcolo è più complesso perché sia modulo