Fondamenti di automatica

ANALISI ARMONICA

1. L'analisi armonica di un sistema di controllo avviene:

- Nel dominio della frequenza

2. Se per una funzione nella variabile del tempo f(t), sono verificate le condizioni di Dirichlet:

- La funzione f(t) può essere rappresentata tramite lo sviluppo in serie di Fourier

3. Una delle condizioni di Dirichlet afferma che la funzione del tempo f(t):

- È univoca

4. La trasformata di Fourier di una funzione del tempo f(t) è data dall'espressione:

- F(ω)=∫f(t)e^(-jωt)dt

5. Data la rappresentazione in modulo, A(ω), e fase, φ(ω), della trasformata di Forurier, F(ω), di una

funzione del tempo f(t):

- Il modulo A(ω) della funzione F(ω) prende il nome di spettro della f(t)

6. Per la proprietà di convoluzione nel tempo della trasformata di Fourier si ha che:

- ∫f1(τ)f2(t-τ)dτ↔F1(ω)F2(ω)

7. Si considera un sistema a cui è stato impresso un ingresso sinusoidale:

- L’uscita del sistema a regime è un segnale sinusoidale con stessa frequenza della sinusoide di

ingresso, ampiezza diversa e fase diversa rispetto all’ingresso

8. Si definisce Risposta Armonica la funzione:

- [Y(ω)/U][cosφ(ω)+jsinφ(ω)]

9. In un sistema lineare e stazionario:

- La risposta impulsiva e la risposta armonica si corrispondono, in regime armonico, tramite la

trasformata di Fourier

10. In un sistema lineare e stazionario, la risposta impulsiva w(t) è complessa e può essere suddivisa in

parte reale e parte immaginaria, in cui:

- La parte reale è uguale a R(ω)=∫w(t)cos(ωt)dt

RAPPRESENTAZIONI DELLA RISPOSTA ARMONICA

1. Dato un sistema lineare, stazionario, causale, e con condizioni iniziali nulle, al quale si applica il

segnale di ingresso sinusoidale u(t)=Usin(ωt):

- Esaurito il periodo transitorio, l’uscita può essere espressa tramite la relazione

y(t)=Y(ω)sin(ωt+φ(ω))

2. Il guadagno statico di un sistema lineare e stazionario può essere espresso dalla relazione:

- G0=K

3. Dato un sistema lineare e stazionario, la rappresentazione della risposta armonica G(jω) mediante

diagrammi di Bode ∠G(jω)

- Prevede due diagrammi distinti, uno per il modulo |G(jω)| e un altro per la fase

4. Dato un sistema lineare e stazionario, la rappresentazione della risposta armonica G(jω) mediante

diagrammi di Nyquist:

- Prevede un diagramma in cui si traccia in ascissa la parte reale Re[G(jω)] e in ordinata la parte

immaginaria Im[G(jω)]

5. Dato un sistema lineare e stazionario, la rappresentazione della risposta armonica G(jω) mediante

diagrammi di Nichols: ∠G(jω)

- Prevede un diagramma in cui si traccia in ascissa il modulo |G(jω)| e in ordinata la fase

6. La rappresentazione della risposta armonica in forma esplicita di modulo e fase è nota col nome di:

- Diagrammi di Bode

7. Uno dei vantaggi che si ottiene impiegando la scala logaritmica per la rappresentazione della

funzione di Risposta Armonica è che:

- È possibile ottenere la rappresentazione grafica complessiva come somma grafica di ogni

componente

8. La rappresentazione della Risposta Armonica tramite diagrammi di Bode prevede:

- Una rappresentazione cartesiana semilogaritmica

9. Nei diagrammi di Bode

- L'asse delle ordinate prevede una scala in decibel per i moduli

10. Utilizzato nei diagrammi di Bode, il decibel è definito come:

- 20log[Y(jω)/U(jω)]

I DIAGRAMMI DI BODE DEI TERMINI ELEMENTARI

1. L'espressione in modulo e fase della funzione Risposta Armonica è:

- W(jω)=M(ω)e^(jφ(ω))

2. Nei diagrammi di Bode:

- L’asse delle ascisse viene suddiviso in intervalli, di uguale lunghezza, pari a multipli decimali

della pulsazione ω, che vengono detti decadi

3. Il diagramma di Bode del modulo della funzione G0 è dato da:

- Una retta orizzontale che interseca l’asse delle ordinate in corrispondenza ad un valore pari a

20log|K| dB

4. Il diagramma di Bode della fase della funzione G0 è dato da:

- Una retta orizzontale che interseca l’asse delle ordinate in corrispondenza di un valore pari a -

180°, nel caso di costante K negativa

5. Il diagramma di Bode del modulo della funzione G1N è dato da:

- Una retta di pendenza pari a 20dB/dec che interseca l'asse delle ascisse in corrispondenza della

pulsazione ω=1rad/sec

6. Il diagramma di Bode della fase della funzione G1N è dato da:

- Una retta orizzontale che interseca l'asse delle ordinate in corrispondenza di un valore pari a 90°

7. Il diagramma di Bode del modulo della funzione G1D è dato da:

- Una retta di pendenza pari a -20dB/dec che interseca l'asse delle ascisse in corrispondenza della

pulsazione ω=1rad/sec

8. Il punto di rottura necessario per il tracciamento dei diagrammi di bode è:

- 1/|τ|

9. Nella rappresentazione tramite diagrammi di Bode del fattore G2N, il modulo vale:

- 20log√(1+ω^2τ^2)

10. Si definisce sistema a fase non minima, quel sistema in cui:

- Nella funzione di traferimento a ciclo aperto presenta uno o più poli e/o zeri a parte reale

positiva

I DIAGRAMMI DI BODE DEI TERMINI COMPLESSI

1. L'espressione in modulo e fase della funzione Risposta Armonica è:

- Utilizza una scala lineare definita in gradi angolari di sfasamento per le fasi, e una scala

logaritmica in decibel per i moduli

2. La funzione G1N che può comparire nella funzione di Risposta Armonica di un sistema lineare e

stazionario:

- Rappresenta uno zero nell'origine del piano complesso s=jω

3. La funzione G2N che può comparire nella funzione di Risposta Armonica di un sistema lineare e

stazionario:

- Rappresenta una radice reale nel polinomio a numeratore della funzione

4. Grazie alla rappresentazione analitica della risposta armonica tramite logaritmi si ha che per il

tracciamento dei diagrammi di Bode:

- |GxD(jω)|dB = -|GxN(jω)|dB

5. La funzione G3D che può comparire nella funzione di Risposta Armonica di un sistema lineare e

stazionario:

- Rappresenta una coppia di radici complesse coniugate nel polinomio a denominatore della

funzione

6. Nella rappresentazione tramite diagrammi di Bode della funzione G3D:

- Il punto di rottura è definito come ωn

7. Nel tracciamento dei diagrammi di Bode della funzione G3N:

- Per valori di ω che tende a zero la fase vale circa 0°

8. Nel tracciamento dei diagrammi di Bode della funzione G3D:

- Per valori di ω/ωn minori di uno il modulo vale circa 0dB

9. La rappresentazione esatta del modulo del termine trinomio tramite i diagrammi di Bode:

- Per valori 0 < ζ < 0,5 rimane sempre al di sopra della sua rappresentazione asintotica

10. Nella rappresentazione tramite diagrammi di Bode del termine ritardo finito:

- La fase vale -ωT

ANALISI E SINTESI DEI SISTEMI

1. Nel tracciamento completo della Risposta Armonica G(jω) di un sistema tramite diagrammi di Bode,

il guadagno statico si calcola come

- K=G(jω) per jω=0

2. Nel tracciamento di una qualsiasi trasferenza tramite diagrammi di Bode

- Si riportano i punti di rottura in valore assoluto sull'asse delle ascisse

3. Nel tracciamento di una qualsiasi trasferenza tramite diagrammi di Bode

- Si riportano, sull'asse delle ascisse del diagramma delle fasi, i valori corrispondenti ad una

decade prima ed una decade dopo, per ogni punto di rottura in valore assoluto

4. Per ottenere i diagrammi di Bode complessivi che descrivono la Risposta Armonica di un sistema

- Si sommano graficamente i contributi di ogni termine elementare che compare nella Risposta

Armonica

5. Nel tracciamento completo dei diagrammi di Bode

- La pulsazione di attraversamento ωt corrisponde al punto di intersezione tra l'asse delle ascisse

e l'andamento del modulo

6. Nel tracciamento completo dei diagrammi di Bode

- La pulsazione ω(-π) corrisponde al punto di intersezione tra la retta parallela all’asse delle

ascisse, che interseca le ordinate in -180°, e l'andamento della fase

7. Secondo il criterio di Bode per la stabilità di un sistema a ciclo chiuso

- La condizione necessaria e sufficiente è che i diagrammi di Bode associati presentino mg → da

3dB a 5dB e mφ → da 30° a 60°

8. Le specifiche di comportamento di un sistema a ciclo aperto

- Corrispondono alle specifiche di progetto riguardanti il margine di fase, il margine di guadagno

e la pulsazione di attraversamento

9. Una rete ritardatrice è caratterizzata da

- Una sequenza polo-zero

10. La rete anticipatrice trova impiego nei casi in cui

- Sia necessario aumentare il margine di fase

IL CONTROLLO DIGITALE

1. La teoria del Controllo Digitale fa riferimento all'analisi e alla sintesi

- Di sistemi di controllo in retroazione in cui la legge di controllo viene elaborata a tempo discreto

2. In un sistema di controllo digitale

- Il convertitore A/D riceve in ingresso un segnale analogico e restituisce in uscita una sequenza

di valori quantizzati

3. In un sistema di controllo digitale

- L'attuatore prevede in ingresso un segnale analogico e restituisce in uscita un segnale analogico

4. Data una sequenza di valori x(kT), definita per k>0 e nulla per k

- X(z)=∑[x(kT)z^(-k)]

5. La Z-trasformata è definita

- In una regione del piano complesso z detta dominio di convergenza

6. Secondo il teorema del valore iniziale della trasformata Z

- Il limite, per t che tende a zero, di f(t) nel piano reale, corrisponde al limite per z che tende a

infinito di F(z)

7. In base alle definizioni di trasformata e antitrasformata Z si ha che

- L'operazione di antitrasformazione non è univoca

8. Sia ωs la pulsazione di campionamento e sia ωc la più alta componente spettrale del segnale a

tempo continuo da campionare, in base al teorema di Shannon

- Deve essere rispettata la condizione ω_s>2ω_c

9. Il dispositivo di tenuta di ordine zero

- Conserva in uscita il valore dell'ultimo campione in ingresso per l'intera durata del periodo di

campionamento

10. Il campionamento impulsivo di un segnale analogico x(t):

- Si può interpretare come il prodotto del segnale x(t) con un segnale T-periodico formato da

impulsi di Dirac unitari

I SISTEMI A TEMPO DISCRETO

1. La corrispondenza tra piano complesso z e piano complesso s è data dalla relazione

- z=e^sT

2. I poli a parte reale strettamente negativa nel piano di Laplace corrispondo nel piano z

- Ai punti che si trovano all'interno del cerchio di raggio unitario e centrato nell'origine degli assi

3. In un sistema a tempo discreto, l'uscita all'istante k corrisponde a

- Una sequenza esprimibile tram