Fondamenti di automatica

X X

reale

>

- 50

" +

gN(22 ON-2BsiMGA)

↓ +aut X

coupl ge

cos =

2

. ,

Modi di sistemi LTI limitati

convergenti divergenti

k | λ | < 1

| λ | < 1 | λ | > 1

λ &

ρ ρ

k ρ < 1 > 1

< 1

ρ ( 2α cos θk - 2β sin θk) -

k

h λ | λ | > 1

| λ | < 1 | λ | < 1

k -

h k ρ ρ ρ

< 1 < 1 > 1

ρ ( 2α cos θk - 2β sin θk)

k -

criterio 1

asintotica stabilità di x | λ | < 1

C 3 i di

i regione

Wr

~ stab

as

xix

X

X

X ↓

criterio 2 X X

- Re

O · >

E

instabilità di x 1

I

| λ | > 1

i : -

C X t

i + X

condizione sufficiente …. *

↑ x x

X

X X

· j

_

LINEARIZZAZIONE nell’intorno di un equilibrio

~ Sistema non lineare

s(XN wa)

f(xw equilibrio

X

J y

=

+ 1 ,

,

,

g(XN vw)

Ya = ,

~ Modello linearizzato mxm

JS[Xf Sxx XA-X

=

com . . .

n

px px m

criterio 3

asintotica stabilità di x | λ | < 1

C v))

i fx(x

Exi autovalori di

i ,

criterio 4 E

instabilità di x | λ | > 1

i :

C i

ALTRI STABILITA

CRITERI DI

Criteri basati sullo studio di F

se F è triangolare

1 diagonale

F blocchi

NOTA e

se a

:

= | f | < 1

< >

| λ | < 1 =....

i

i

i in

TRACCIA

2 = | tr (F) | < n

| λ | < 1 >

i

i

E <=

i : | λ | > 1 | tr (F) | > n

i

DETERMINANTE

3 = | det (F) | < 1

| λ | < 1 >

i

i

E <=

i : | λ | > 1 | det (F) | > 1

i

TRACCIA DETERMINANTE

4 sisteni M 2

per =

S

Criteri basati sullo studio di Φ (xI F)

Y(x) det

= -

φ

=

| λ | < 1 > < 1

M

φ

5 i (necessarial

: ⑧

φ

=

| λ | < 1 > < n

1

φ

*

6 I (mec )

i .

⑧

φ φ(1) > 0

=

| λ | < 1 >

=

7 )

i crea

⑧ .

y(1)

e() ↳ dire concordi

Yo

: e sono

: come

φ > φ > … > φ > 0

<=

| λ | < 1 i

,

S (suff )

i z M .

- "

40x *

TRASFORMAZIONE BILINEARE y(x) x

a yo

+

+...

+ y

= , el

h

1 + s trasfor j

.

trasformazione: λ = ⑤

1 - s X

| R(s)

x(c1 0 -

= Re

⑫ >

sostituzione: "

y(i 5)

= 3)" (3)

40 (i =

w(x) = y yo

+

= +

, sim

s(n

↑ s(y(s) s(4 +

yo(1 yu(e

3)

(1 (1

(s) (e y +

+

+

+

=

= -

- -

, . . .

Y(X) (5) ReCs)

(x11

radici ha

ha = radici con co

con x

y(x) x

2

ESEMP1O 42

y +

=

M +

= ,

(E) (E)

U(s) e() y yz

+ +

= = ,

(S) s)"

& s)2

(e s)

(1 s)(e yz)e

(1

v(S) 3)

= + +

+

=

- y -

-

+

- ,

(2 242)s

(1 42)s 1 42

+ + 41

+

y +

= + -

- , -

-

-

To er Yz

& S

1 1

420 y

+ 420

+

ye -

- .

oppure

2(1 42)

2(1

42)0 10

- -

1 1

y

+ 42 y

+

0 420

>

+ +

, soluzioni

↳ ha

questo sistema non

-

Lazione 11

SISTEMI FIR Finite Response

Impulse

F con autovalori λ =0, V i

i

k

F = 0 per k sufficientemente grande (F nihilpotente)

Proprietà: - il movimento libero sia nulla in tempo finito

conseguenze: - la risposta all’impulso sia nulla in tempo finito

- la risposta allo scalino si assesta in tempo finito

Escupio 18)

18) []

-1001

= 10

+

a x =

-

F1089

O *

F F

=

0 0 33 e Nimipotente

= = , 10]xo

[1

HF'xo

* X

Hxo

HF Xco

=

lib yea =

= -

- ,

Yep X30 0

=

Yea =

xo =

m ov

- . . 10]Xo

10 X

HFxo =

Yee 0

Yes ...

=

= =

Es risposta all'impulso Ya

-

[ HF36

#

L 1 HGF 0

90 0

ya

0 =

=

=

= y

Yn =

0 =

=

= 1- ...

⑧

* -Go HF

HF HG 1

0

y =

= yz

= =

A

>

Es allo

risposta scalimo

-

E

= L

1 HF6

H

N +

0 +

In yz

0 y 0

= =

= =

=

⑧

1- &

↓ HFFG

3 L L 'G

Ha HFG

LNs0 HG HF

+ 0 +

+ +

yz + 0

= =

y = =

&

& & . . .

&

Lezione 7/10

12

PROPRIETA DEL ASINTOTICAMENTE

SISTEMI DI LAPLACE

TRASFORMATA

STABILI +

Proprietà di un sistema asintoticamente stabile (sistemi LTI a tempo continuo)

1. Spostato dall’equilibrio, tende a tornarci V δx(0)

2. Fissato u , x è unico cuiliux(

JSx(0)

J equilibrio

1

D IM * =

assurdo ,

* + assurd

=

*

+ = per

per det

DIM (1)

2 +

mico

X 0

= ↑

-

Fi

As. Ba (xi)

stab do

=

3. Il movimento dipende asintoticamente solo da u(t)

(

xxx

)

x( xy( )

xy(t)

+ +

+ =

= + ( )

+

↳ *

dipende

↓ da et

u Lim

As. stab. o

=

t Da

-

At

lie 0

2Xp =

↑ DX

-

4. Se u(t)=0 V t>0, allora lim x(t) = 0 e lim y(t) = 0

- + x +

- 0

- u

5. Se u(t) ha durata finita, u(t)=0, t>t>0 (ivx(+

>

= 0

=

- + - o

S 0 t<0 allora lim y(t) = y = µ u

6. Se u(t) = , anche detto u sca(t)

- . S

+

u t>0 8

-

[ CA "B D

statico +

guadagno Ns -

=

, allora h : || y(t) || < h , t >0 (l’uscita è limitata)

7. Se || u(t) || < k , t>0 (ingresso limitato)

-

- stabilita

bounded BIBO

output

bounded imput =>

Trasformata di Laplace d -st

— f(t) e dt

f (t) > F(s) = [ f(t) ] =

Definizione L

OSS : colcolare

Per volte

l'integrale ipotesi

· sus

o c c o r ro n o a

Cura ignorarel

calculato

volta poi si possono

F(s) f(t)

dipende solo +=

da

· 0

,

K

Conviene complessal

(variabile

considerare

· S-

>

Esempio 1-Trasformata scalino

dello (T

2 -

+

f(t) *

O F(s) )e

sa(t) at ot

+

= = = =

1

+

30 =+

-

5

↓ (sca(t)] Ss0(Re(s(0)

(reso)

= cuso

Escupio Funcione

2 impulso

- fg( )

+

n

III.

f(t) fat

S(t)

imp( Lieu

) imp(t)

= + = = +

/

[fe(t)

F(s) Lim =

<

= as

↳ Fa(s) =

legare imp(t)

tra sca(t)

e Simp(r)d

~

)

~ +

imp( +

[fa(i)d

a(tyy ~

+ + 2 DO

- 1

I

=

1 -

/ t +

>

↑

' -

E

Stimp(r)di sca(t) imp(t)

sca(t) =

=

ES j(

v )

·

+

1 -

-- It

- -

2 -

>

- Lazione

Propriet 13

2

Bfz(t)

<f

Linearita F &Fz(s)

(t) (s)

.

1 +

<

+

. ,

2 ST

Translazione nel F(s)

f(t

terpo ) D

2 - T e

0

,

. , 2

eat f(t) F(s

Tr a)

D

.

3 im S -

F(s)

d

L

t f(t)

Derivata D-

4 in s d S

. (0)

F(s)

rds2 + (0)

s

- -

applica

f volte)

Cse 2

L o

-( f(0)

Derivata tepo SF(s)

)

nel + D

5

. - ↳ sef(t) discontina

f(0) e in o

(f(4)di 2 F(s)

Integrale tempo

nel

.

6 D S

·

Escrpio 1- dell'espoziale

Transformata ~ f(t)

eat

f( )

+ = F(t)

F(t) 1

)]8

↓ ((f(

)

[f( ) - sa( +

+

+ = sta

=

sca(t)]

Set

Leat]

↓ <

=

Escupio del

2- / seuo

f )

( Sim(w )

+ +

= zj(eiu+ e-ju + evlero

) formula di

(dalla

f(t) = -

①

wt]Ej(sjw-si) ==

↓ [sim m

Es coseu

/

3- >w

+ + )

(ein

f(t) f(H)

cos(wt) =

= e

+

w+]

[cs

↓ = ↓(w

not

sim

at =

oppura cos

Es 4 E

[teat][-(a) S

is al cat)

L[t *

↓ genale

= =

- in

Es della

Tr

5 - raupo - f( )

+

f ) t

( raw(t)

sa(t)

+ = =

- -1458 st

(sca(n)di

I ( )

+

rau h

= . sa

-

)]: 5

↓ [ro ( =

+

6 oppone

= En

[rauct)] -([sca(t)]

↓ <piifacite)

=

Transformate motevoli

...

Soluzione di diff

29 .

,

EX S

y(t) v(t)

j( ) scalt)

+ +

= u(t)

- =

y(0) 4

= 2(u(t)]

2[y(t)]

defiriano Y(s) U(s) = s

=

= a ps(t)

v(t)]

(j( ))

↓ 2[ Y(s)

y(t) Y(x) 2

U(s)

+ - y(0)

+ +

= - - =

s -

Stsm)"s 5

s

5 m

-

1)Y(s) 3

V(s) Y(s) + =

(s y(0) +

S -

+

+ = +

+ = =

+ &

sa

+ +

)

y( 3 1 se 50

+

=> +

= Set

Poli di trasf

zeri unc

e .

di transformate

poli valori F(s)

di

FCs)

i cui

s

i -+

per

una sono

gli F(s)

zeri / 0

=

N(s) polivari

>

F(s)

razionale

F(s) =

e :

~ se D(s)

poli radici di

le

i D(s)

sono

- NCS)

gli di

radici

zeri la

sono

-

Transformale di vettore

un =

4)

I

I

x( )

2(x( =

x() +

= =

proprieta : B2[u(t)]

Bu(t))

[Ax( )]

& A2(x( BU()

) AX(s)

Linearit +

+ = + + +

- =

I

I X (s) (o)

X

-

S , ,

)]

int2[x(

Derivate "

+ =

- SXm(s) Xm(0)

-

Lezione 11/10

14

Anti-trasformata di Laplace

Formula esplicita redian

la

* non

[ α F (s) + β F (s) ] = α f (t) + β f (t)

Linearit&