Fondamenti di automatica

NIENTE PANICO

ˆ |y(t)| ≤ ≥

risposta divergente: : M , t 0. In questo caso si dice che il sistema è

∄M y y

instabile.

ˆ ∃M |y(t)| ≤

risposta convergente asintoticamente a zero: : M e lim y(t) = 0. In

y y t→∞

questo caso si dice che il sistema è asintoticamente stabile.

Per la stabilità di un sistema LTI è necessario e sufficiente che la funzione di trasferimento

non presenti alcun polo a parte reale positiva e che gli eventuali poli a parte reale nulla

siano semplici.

Per la stabilità asintotica di un sistema LTI è necessario e sufficiente che tutti i poli di

una funzione di trasferimento abbiano parte reale negativa.

L’uscita di un sistema asintoticamente stabile, a fronte di un ingresso limitato in ampiezza,

ma non nel tempo, è limitata. Se la funzione di trasferimente avesse un polo nell’origine del

piano complesso (sistema stabile, ma non asintoticamente), l’usctia, a fronte di un ingresso

limitato in ampiezza, ma non nel tempo, divergerebbe. Se consideriamo un sistema di controllo

in retroazione, il sistema formato da controllore e processo deve essere asintoticamente stabile: a

fronte di un ingresso limitato in ampiezza, l’uscita deve essere limitata in ampiezza. Un sistema di

questo tipo è detto anche BIBO (bounded input bounded output) stabile o i.l.u.l. (ingresso limitato

uscita limitata) stabile. Per un sistema asintoticamente stabile l’evoluzione libera convergerà a

zero e quindi possono essere trascurate le condizioni iniziali. La proprietà di stabilità di un

sistema è estramamente fondamentale sia per l’analisi che per la sintesi di un sistema.

Fondamenti di automatica 13

3

CAPITOLO SCHEMI A BLOCCHI

Definiamo alcune regole per la semplificazione degli schemi a blocchi

ˆ Blocchi in cascata:

La funzione di trasferimento di due blocchi in serie è il prodotto delle due funzioni di

trasferimento.

Infatti z = G y = G G x

2 2 1

da cui z (1)

= G G = G G

2 1 1 2

x

dove la (1) è possibile soltanto se il sistema è siso. Se G e G sono asintoticamente stabili,

1 2

allora G G è anch’esso asintoticamente stabile. Osserviamo che un sistema di controllo in

1 2

anello aperto è rappresentato da due blocchi in cascata. Quindi, se il processo e il processore

sono asintoticamente stabili, allora anche il sistema di controllo è asintoticamente stabile.

Se, invece, il processo fosse instabile, non esiste controllore per cui il sistema di controllo

sia asintoticamente stabile. Per controllare un processo instabile bisogna necessariamente

avere un feedback.

ˆ Blocchi in parallelo: 14

NIENTE PANICO

La funzione di trasferiamento di due blocchi in parallelo è la somma delle due funzioni di

trasferimento.

Infatti y = G x + G x = (G + G )x

1 2 1 2

da cui y = G + G

1 2

x

Se G e G sono asintoticamente stabili allora anche G + G è asointoticamente atabile.

1 2 1 2

ˆ scambio di giunzioni sommanti : il seguente schema a blocchi

è equivalente al seguente schema a blocchi

risulta w = x + y + z

Fondamenti di automatica 15

NIENTE PANICO

ˆ spostamento di un punto di prelievo di segnale a monte di un blocco: il seguente schema a

blocchi

è equivalente al seguente schema a blocchi

Risulta y = Gx

z = Gx

ˆ spostamento di un punto di prelievo di un segnale a valle di un blocco: il seguente schema

a blocchi

è equivalente al seguente schema a blocchi

Fondamenti di automatica 16

NIENTE PANICO 1

Infatti, nel primo caso y = x e z = Gx, mentre nel secondo caso z = Gx e y = Gx = x.

G

ˆ spostamento di una giunzione sommante a valle di un blocco: il seguente schema a blocchi

è equivalente al seguente schema a blocchi

Infatti, nel primo caso z = G(x + y), mentre nel secondo caso z = Gx + Gy = G(x + y).

ˆ spostamento di una giunzione sommante a monte di un blocco: il seguente schema a blocchi

Fondamenti di automatica 17

NIENTE PANICO

è equivalente al seguente schema a blocchi 1

Infatti, nel primo caso z = y + Gx, mentre nel secondo caso z = G(x + y) = y + Gx.

G

ˆ eliminazione di un anello: y G

− −

Risulta y = G (x G y) = G x G G y da cui = . Dato un sistema di controllo

1

1 2 1 1 2 x 1+G G

1 2

in retorazione, si ha un anello; infatti, lo schema standard di un sistema di controllo in

retoroazione è il seguente

L’ingresso del controllore è l’errore di controllo. Vogliamo ricavare la funzione di trasferi-

mento del sistema di controllo. Possiamo seguire due metodi:

y PC

−

1. y = P Ce = P C(w y) da cui = . Essendo il sistema siso, si può anche

w 1+P C

y CP

= .

scrivere w 1+P C

2. Usiamo le regole degli schemi a blocchi. Lo schema a blocchi del sistema di controllo

è equivalente al seguente sechema a blocchi

Fondamenti di automatica 18

NIENTE PANICO

y PC

Per quanto appena visto = .

w 1+P C

Esempio

Consideriamo un sistema in retroazione in cui abbiamo un disturbo n che agisce sull’uscita.

y

Vogliamo trovare .

n

un primo modo per risolvere il problema è il seguente: −

y = n + P Ce = n + P C(w y)

w e n sono due ingressi del sistema, ma nel momento in cui vogliamo la funzione di

y

trasferimento tra un singolo ingresso e uscita, ovvero , gli altri ingressi dobbiamo metterli

n

a zero, ovvero w = 0. Per il principio di sovrapposizione degli effetti, l’uscita sarà l’effetto

dei due ingressi considerati separatemente. Quindi 1 1

y

− ⇒ ⇒ = =

y = n P Cy (1 + P C)y = n n 1 + PC 1 + CP

Se consideriamo il sistema con due ingressi, possiamo scrivere

CP 1

y = w + n

1 + CP 1 + CP

Un secondo metodo per risolvere il problema è quello di usare le regoele di riduzione a

blocchi. Infatti, è possibile spostare la giunzione sommante di n a monte del blocco C:

A questo punto è possibile scambiare le due giunzioni sommanti:

dove w = 0. Ora applichaimo la regola di eliminazione di un anello:

Fondamenti di automatica 19

NIENTE PANICO

Come ultimo passaggio sommiamo i due blocchi:

Fondamenti di automatica 20

4

CAPITOLO ANALISI DELLA STABILITÀ

4.1 Criterio di Routh-Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.2 Casi particolari del criterio di Routh-Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.1 Criterio di Routh-Hurwitz

Per analizzare la stabilità di un sistema è fondamentale conoscere il segno della parte reale dei

poli del sistema. Per polinomi di grado elevato al denominatore della funzione di trasferimento

risulta però complicato ricavare le radici del polinomio in forma analitica. Se ci limitiamo però a

cercare di determinare soltanto il segno della parte reale dei poli risulta più semplice analizzare

la stabilità del sistema.

Un’equazione polinomiale ricavata dal denominatore di una funzione di trasferimen-

to e ponendola uguale a zero prende il nome di equazione caratteristica. Un’equazine

caratteristica è nella forma n n−1 1 0

· · ·

a s + a s + + a s + a s = 0

n n−1 1 0

Condizione necessaria, ma non sufficiente, perchè le radici di un’equazione caratteristica

abbiano tutte parte reale negativa è che tutti i coefficienti abbiano lo stesso segno.

Se l’equazione caratteristica è di secondo grado, allora la condizione che tutti i coefficienti

abbiano lo stesso segno affinchè le radici dell’equazione caratteristica abbiano tutte parte

reale negativa è una condizione necessaria e sufficiente.

Supponiamo che tutti i coefficienti di un’equazione caratteristica abbiano lo stesso segno.

21

NIENTE PANICO

Data un’equazione caratteristica la sua tabella Routh è la seguente:

n a a a

n n−2 n−4

−

n 1 a a a

n−1 n−3 n−5

−

n 2 b b

n−1 n−4

−a

−a a a a

a a a n−1 n−4 n n−5

n−1 n−2 n n−3 e b = .

dove b = n−4

n−2 a a

n−1 n−1

Teorema di Routh-Hurwitz : ad ogni variazione di segno che presentano i termini della

prima colonna della tabella di Routh corrispone una radice con parte reale positiva, ad

ogni permanenza corrispone una radice con parte reale negativa.

Segue che tutti i termini della prima colonna hanno lo stesso segno se, e soltanto se, tutte le

radici sono a parte reale negativa. Inoltre,

se l’equazione caratteristica è del secondo ordine la condizione che tutti i coefficienti siano

positivi è anche condizione necessaria e sufficiente.

4.2 Casi particolari del criterio di Routh-Hurwitz

Se il primo termine di una riga è nullo si applica il metodo di Benedir-Picinbono.

Esempio

Consideriamo l’eqauzione caratteristica

3 −

3s + 3s 2 = 0

la sua tabella Routh è la seguente: 3 3 3

−2

2 0

1 b n−1

0

Il termine b può essere calcolcato con il metodo Benedir-Picinbono. Sia P il numero

n−1

di zeri presenti inizialmente in tabella.

3 3 3

′ −2

2 0

′′

2 2 0

−2

2 2

1 6 0

−2

0

′′ ′ P

dove la riga 2 è stata ottenuta dalla riga 2 moltiplicata per (−1) e traslata a sinistra

′ ′′

fino alla scomparsa di tutti gli zeri. La riga 2 risulta essere la somma della riga 2 e 2 .

Fondamenti di automatica 22

NIENTE PANICO

Se una riga è fatta di soli zeri si costruisce l’equazione ausiliaria.

Esempio

Consideriamo l’equazione caratteristica

4 3 2

− −

S + S 3S S + 2 = 0

la sua tabella Routh è la seguente: −3

4 1 2

−1

3 1 0

−2

2 2

1 0 0

0

La riga 1 è fatta di soli zeri. L’equazione ausiliaria si ottiene associando le potenze

opportune ai coefficienti della riga precedente quella di tutti zeri.

2 0

−2s + 2s = 0

le potenze sono date dalla riga del coefficiente meno il numero della colonna del coef-

ficiente contato partendo da zero e moltiplicato per due. L’equazione ausiliaria ha due

caratteristiche fondamentali:

ˆ il polinomio dell’equazione ausiliaria divide il polimomio di partenza;

ˆ la soluzioni dell’equazione ausiliaria sono soluzioni dell’equazione caratteristica.

Una volta ricavata l’equazione ausiliaria è possibile risolverla per determinare i segni della

parte reale delle radici rimanenti; oppure, è possibile derivarla. I coefficienti della derivata

dell’equazione ausiliaria vanno a sostituire gli elementi della riga formata da soli zeri.

−3

4 1 2

−1

3 1 0

−2

2 2

−4

1 0

0 2

Dopo la riga tratteggiata, se è presente una permanenza significa che può esserci una radice

a parte