Fluidodinamica

Fluido

... assume la forma del recipiente che lo contiene.

Le forze necessarie a provocare la deformazione di un fluido...

• Fluidi incomprimibili: ... identità del fluido costante entro un gran range di temperatura e pressione.
• Fluidi comprimibili: ... identità del fluido è funzione della temperatura e pressione.

...

Densità

... \displaystyle \lim_{\mathrm{V}\to0} \frac{\Delta m}{\Delta V} \to \rho

Velocità

\displaystyle \lim_{\mathrm{V}\to0} \frac{\sum \bar{v}_i}{n} \to \bar{v}

Temperatura

\displaystyle \lim_{\mathrm{V}\to0} \frac{\sum T_i}{n} \to T

Viscosità

\mu = \text{viscosità dinamica}

\nu = \frac{\mu}{\rho} = \text{viscosità cinematica}

Lo sforzo di taglio è dato da:

\tau = \mu \frac{dv}{dy}

Se μ è costante il fluido è detto newtoniano.

Se le forze d'attrito tra le molecole del fluido non raggiungono quelle forze d'

attrito del fluido alle pareti allora il fluido non BAGNA

Se le Forze d'attrito allora il fluido bagna (WET)

Primo principio della Termodinamica

ΔU = Q - L

du = δq - δc

Il calore e il lavoro dipendono strettamente del percorso seguito

mentre l'energia interna u è una variabile di stato

e dipende solo dagli stati iniziali e finali.

Secondo principio della Termodinamica

Stabilisce le modalità in cui il calore viene emettito in lavoro

e viceversa.

Per i processi reversibili abbiamo che:

dS = ^δQ/_T

dove S è l'entropia ed è anchi'essa una

variabile di stato.

Per trasformazioni irreversibili invece

dS > ^δQ/_T

Perció

TdS > δQ

=>

{ TdS >= du + pdv

TdS >= dh - vdp

Leggi di Gibbs

con h = entalpia =>

h = u + pv

ancora

dh = du + pdv + vdp

Applichiamo allora tale teorema alla quantità di moto

B = pVb = U

\[\frac{dMom_{sys}}{dt} = \frac{d}{dt}\int_{cv} {\rho \vec{u}} \, d\tau + \int_{cs} (\rho \vec{u}) \vec{u}\cdot \vec{dA}\]

Ma

\[\frac{dMom_{sys}}{dt} = \sum F_{ext}\]

perciò

\[\sum F_{ext} = \frac{d}{dt}\int_{cv} {\rho \vec{u}} \, d\tau + \int_{cs} (\rho \vec{u}) \vec{u}\cdot \vec{dA}\]

U rappresenta la velocità del fluido relativa alla superficie di controllo, infatti come deriva dal teorema del trasporto di Reynolds la n viene in verso la generica interna (b)

U = u_c solo nel caso in cui il volume di controllo non fissi nello SDR parcheggiato

Applichiamo ancora una volta il teorema del trasporto di Reynolds per l'energia (B = E)

\[\frac{dE}{dt} = \frac{d}{dt}\int_{cv} e\rho \, d\tau + \int_{cs} (e\rho) \vec{u}\cdot \vec{dA}\]

Ma \[\frac{dE}{dt} = \dot{Q} - \dot{L} \quad \text{(dal I° principio)}\]

Perciò

\[\dot{Q} - \dot{L} = \frac{d}{dt}\int_{cv} e\rho \, d\tau + \int_{cs} (e\rho) \vec{u}\cdot \vec{dA}\]

Manometri

Sono strumenti utilizzati per valutare la pressione di un fluido. Ne esistono di vario tipo.

Tubo piezometrico

Dalla legge di Stevino sappiamo che P₃ = ϱgh + P_atm

Trovato un momento d’altezza h, si può misurare tale pressione, h. Ha ad esempio all’interno di un recipiente. Questo strumento consente di fare misure estremamente accurate ma presenta due notevoli svantaggi:

• La pressione da misurare P_s deve essere superiore a quella atmosferica.
• Il fluido del quale si vuol misurare la pressione deve essere un liquido e non un gas.
• Possiamo misurare pressioni vicine a quelle atmosferiche pure; per pressioni molto elevate l’altezza della colonna di fluido sarebbe elevatissima.

Manometro a U

Per ovviare ai problemi precedenti, si è ideato il manometro a U. Si ima un liquido relativamente ad elevata densità (mercurio) per poter misurare la pressione. Con questo apparecchio si possono misurare pure pressioni elevate e anche di gas. Non si possono comunque misurare pressioni inferiori a quella atmosferica.

Per calcolare la pressione P_A si procede applicando Stevino ovunque, con un'

• di applicarlo sia volte in molte allo stesso fluido: P_A = P₂ ⇒ P₂ = P_A + ϱ₁gh₁ ⇒ P₂ = P₃ ⇒ P₃ = P_atm + ϱ₂gh₂

Poi: ϱ₂gh₂ = P_A + ϱ₁gh₁ ⇒ P_A = ϱ₂gh₂ - ϱ₁gh₁

Soltanto se ϱ₁h₁ ≪ ϱ₂h₂ (e questo è quasi sempre verificato)

P_A ≅ ϱ₂gh₂

Esistono pure altri manometri a tubo inclinato o manometri elettrici.

Moti rigidi di un fluido

Sussi moto de x homg quanto un fluido si moce in manera solide ol suo inteante. Infotti si mumoa cue in cuspugli, la veblutà relotta tra le partollee e tra il inteante e sse è nulla. Lo stesso incu accale se faciu nutore un contuente ottenro ad un ete fanra.

Moto di traslazione

Considerare un inteante apetto che sta traslonto con un'accelerazione a_x

^dpPdy = -ρa_xy ^dpPdz = -ρ(g + a_z)z

dp = ^dpPdy + ^dpPdz = -ρa_xydy - ρ(g + a_z)dz

Lungo la line dei pelbi bluin dp=0 ^dzPdy = -^a_xP(g + a_z) → coefficiente angolare della rette de losme d pelbi bluin

Da cui si deleme de tuttite le lines indettate en tole coeffettate sonten linee a premere constante

Se a_x=0 si note che la supperfice del liquido è ovventure, ma la legge della pressione è dottu nun la stemu porule in semo isutto ^dpPdz = -ρ(g + a_z)

La somma di come generatore e come di pressione è detta _chimico piezometrico

parte si annulla in presenza di velocitá all'interno di un condotto.

Tale come si indica con h

Nel caso di fluidi in quiete si ritorna all'equaz. dell'idrostatica

P₂ = P₁ + ϱg (z₁-z₂) [Stev. . . . ]

Usando Bernoulli in oz . . . . in prima approssimazione abbiamo de

P(z) = P(0) - ϱir g z

E sapendo che

ϱir = ϱ _1,2 ϱ₁ ϱ ₂

g = 9,81 ^m/_s²

P(z) ≤ P(0) - 11 z

Riferend. lentem . . . . unt. me in aqqua

P(z) = Potm + 10000 z ≤ 1 dcm opp. 10 m di profondità

Equazione di Bernulli Generalizzato

Nel condotto potrebb... ense . . . app... meccanici in grado di aumentare

la pressione del fluido (pompe) o di diminuirla ritornando l'avor (TURBINE)

Si può applicare in prima approssimazione Bernoulli tra le sezioni di entrata

e di uscita dell'apparecchio in questione, cos facendo avremo

^{U_in2/_2g + Z_in + P_in/_ϱg = U_us2/_2g + Z_out + P_us/_ϱg + h_p (POMPA)}

Si può . . . . legittimamente trascurare tra l'ingresso e uscita la variazione di velocitá e di quota (rispetto alle compattezze del macchinario) ottenere

h_p = ^P_in-P_us/_ϱgavverete P_us > P_in ➝ h_p < 0