Fisica matematica A

FORZA E POSTULATI FONDAMENTALI DELLA MECCANICA – LEGGI DI NEWTON

Forza → ogni ente fisico capace di modificare il moto o lo stato quiete di un punto

(P , )

materiale rispetto ad un dato osservatore, rappresentato come vettore applicato F

Si misura attraverso un dinamometro

Vale il principio di sovrapposizione degli effetti di forze simultanee : qualunque sia il

numero delle forze agenti sopra un punto materiale, esse sono sempre sostituibili, nei

riguardi del moto del punto, con un’unica forza, rappresentata dalla loro risultante

geometrica, che si dice forza totale applicata al punto

Leggi di Newton

Primo Principio della Meccanica

∃ (O;

almeno un sistema di riferimento (assoluto) tale che un punto materiale

x, y, z)

che si trovi ”lontano” dagli altri oggetti dell’universo risulti sottoposto a forza nulla in tale

sistema di riferimento (tale punto sará in quiete rispetto a tale riferimento)

Chiamo forze assolute/vere le forze che agiscono su un punto materiale osservato in

questo riferimento

Secondo Principio della Meccanica

∃ > 0 : = , caratteristica del punto materiale e indipendente dal sistema

m m a F m

di riferimento scelto (massa interziale del punto, equazione si dice equazione di

Newton)

Terzo Principio della Meccanica/Principio di azione (A, )

Dati due corpi puntiformi A e B, se su A è applicata una forza dovuta a B allora

F

(B, − )

su B è applicata la forza dovuta a A ed entrambe hanno la stessa linea

F

d’azione

FORZE FITTIZIE ′ ′ ′ ′

(O; (O ; , , )

Ipotesi → due osservatori e in moto tra loro con moto

x, y, z) x y z

qualsiasi e noto (primo osservatore è assoluto)

⇒ ′ ′

= , =

Dal Secondo Principio della Meccanica m a F m a F

SISTEMI E GRANDEZZE MECCANICHE 1

Dal Teorema di composizione delle accelerazioni segue che

′ = − (P ) − (P )

F F m a m a

τ c

(P ) = −m (P ) → forza di trascinamento

F a

τ τ

(P ) = −m (P ) → forza di Coriolis/complementare

F a

c c

che vengono dette forze fittizie/apparenti

Chiamo moto assoluto il moto riferito ad una qualsiasi terna che conservi posizione

invariata rispetto al riferimento assoluto

=

L’equazione fondamentale si conserva valida quando il moto del punto sia

m a F

riferito ad una qualsiasi terna, animata da un moto traslatorio uniforme rispetto al

(P ) = (P ) = 0

riferimento assoluto, poiché in tal caso F F

τ c

Tali terne sono dette terne inerziali/galileiane e ogni sistema di riferimento che si

muove di moto traslatorio uniforme rispetto al riferimento assoluto si dice inerziale

REAZIONI VINCOLARI

Ipotesi → punto materiale P (comunque vincolato e sollecitato) e suppongo di saper

(P , )

riconoscere le varie forze che agirebbero su P se fosse libero e la risultante di

F

tale forze (forza attiva/direttamente applicata)

Postulato delle reazioni vincolari

Per un punto materiale comunque vincolato e sollecitato da forze, l’azione dei vincoli è

sostituibile con quella di una forza aggiuntiva, che si dice reazione/forza vincolare

denotata con ϕ = +

Allora equazione fondamentale della Dinamica diventa m a F ϕ

Le azioni dei vincoli si manifestano quindi mediante forze; esse però hanno proprietà

diverse dalle forze ordinarie applicate ai corpi

Postulato

La reazione vincolare applicata in un punto ha direzione e verso opposto di uno

spostamento (totalmente) proibito del punto

Spostamento totalmente proibito da P a P′ (in un intorno di P) → uno spostamento

ipotetico impedito dalla natura dei vincoli e tale che P non può avvicinarsi a P′ in nessun

modo con spostamenti consentiti dai vincoli

SISTEMI E GRANDEZZE MECCANICHE 2

EQUILIBRIO DI UN PUNTO MATERIALE

Un punto materiale è in equilibrio quando l’azione complessiva di tutte le forze che lo

sollecitano è tale da mantenere in quiete il punto (non determina sul punto, a partire

dalla quiete, alcuna variazione di velocità)

Teorema

CNS per l’equilibrio di un punto materiale è che esista un sistema di reazioni vincolari

compatibili con la natura dei vincoli, tale da equilibrare le forze attive (per l’equilibrio di

un punto occorre e basta che si annulli la forza attiva)

FORZE POSIZIONALI E CONSERVATIVE

Una forza applicata in punto e di vettore è posizionale se è esprimibile

P F F

= (P ) , ,

come vettore funzione di P : , ossia indicando con

F F F F F

x y z

componenti di rispetto a i 3 assi e con le coordinate della posizione di P,

F x, y, z

sarà = (F , , ) = (F (x, (x, (x,

F F F y, z), F y, z), F y, z))

x y z x y z

La regione spaziale , in cui è definita una forza posizionale, si dice campo di

D

forza

Un campo di forza si dice si dice uniforme se la rispettiva forza è costante (di

direzione e di intensità) ⇒

Data una forza posizionale ( definito un campo di forza) diremo linee di forze/del

campo le curve che in ogni punto P risultano tangenti al vettore della forza

γ F

applicato in P ⋅

Tra i campi di forza sono interessanti quelli il cui prodotto scalare è il

F dP

differenziale esatto di una funzione di P :

U

⋅ = (x, + (x, + (x, (1)

F dP F y, z)dx F y, z)dy F y, z)dz

x y z

^ ^ ^

= i + j +

con forza applicata in P, e qualsiasi spostamento

F dP dx dy dzk

elementare del punto di applicazione P 2

∈ (D)

Tali campi di forza sono conservativi e la funzione è detto

U(x, y, z) C

potenziale del campo (definita a meno di una costante additiva)

∂U ∂U ∂U

+ + = + + ⇒ = ∇U (2)

F dx F dy F dz dx dy dz F

x y z ∂x ∂y ∂z

SISTEMI E GRANDEZZE MECCANICHE 3

In particolare la derivata del potenziale secondo una direzione qualsiasi non è altro che

la componente della forza del campo secondo quella direzione

(2)

Dalla ottengo ∂F ∂F ∂F ∂F ∂F ∂F

y z z x x y

= , = , = , (3)

∂z ∂y ∂x ∂z ∂y ∂x

cioè l’esistenza di un potenziale implica condizioni restrittive per le 3 funzioni

, , : in altri termini una forza posizionale non è in generale conservativa

F F F F

x y z

Teorema (P , )

CN affinché una forza sia conservativa è che essa sia posizionale e che la

F

(3) sia verificata (P , )

CS affinché una forza sia conservativa è che essa sia posizionale e che la

F

(3) sia verificata su un dominio D semplicemente connesso

(x , ) ∈ (x, ∈

Sia (dominio semplicemente connesso) fissato e sia

y D y) D

0 0

qualunque, definisco x y

∫ ∫

= (ξ, + (x , (4)

U(x, y) F y)dξ F η)dη

0

x y

x y

0 0

Si ha che ∂U ∂U

= e =

F F

x y

∂x ∂y

Ipotesi → forza dipenda anche dalla variabile il ragionamento può essere facilmente

z

= [a , ] × [b , ] × [c , ],

esteso quando allora

D a b c

1 2 1 2 1 2

x y z

∫ ∫ ∫

= (ξ, + (x , + (x , ,

U(x, y, z) F y, z)dξ F η, z)dη F y ζ)dζ

0 0 0

x y z

x y z

0 0 0 (4)

La formula per il potenziale è apparentemente dipendente dalla scelta nella formula

(x , ) (x , ) (4)

del punto di coordinate . In realtà, scegliendo un punto diverso la

y y

0 0 1 1

prende la forma

SISTEMI E GRANDEZZE MECCANICHE 4

x y

∫ ∫

(ξ, + (x , = +

F y)dξ F η)dη U(x, y) R,

1

x y

x y

1 1

x y y

0 0

∫ ∫ ∫

= (ξ, + (x , + [F (x , − (x , =

R F y)dξ F η)dη η) F η)]dη cost.

0 1 0

x y y y

x y y

1 1 1

In un campo di forze conservativo di potenziale U, si dicono superfici

=

equipotenziali le superfici definite dalla condizione U(x, y, z) cost. ⇒

Qualunque sia lo spostamento elementare sulla superficie equipotenziale in

dP

un campo conservativo le linee di forza sono le traiettorie ortogonali alle superfici

equipotenziali

LAVORO

(P , )

Sia una forza variabile qualsiasi, cioè, per considerare il caso

F

più generale, dipendente dal tempo, dalla posizione del suo punto di applicazione e

P

della rispettiva velocità Ṗ

Definisco per il punto un moto qualsiasi :

P (5)

= (t), ossia = = =

P P x x(t), y y(t), z z(t)

= [ (t), (t),

Il vettore risulta definita come funzione esclusivamente del

F F Ṗ P t]

tempo (P , ) (1) ,

Lavoro compiuto dalla forza durante fra due istanti generici (o dalla

F t t

1 2

(t ) (t )

posizione alla posizione ) la grandezza scalare

P P

1 2

t t

2 2

∫ ∫

= [ (t), (t), ⋅ = (F + + )dt (6)

L F Ṗ P t] v dt ẋ F ẏ F ż

x y z

t t

1 1

Nel caso più generale, il lavoro dipende dalla traiettoria e dalla legge oraria con cui la

traiettoria viene percorsa dal punto, inoltre il lavoro dipende anche dal tempo t

Forze posizionali

Non è necessaria la conoscenza delle equazioni del moto del punto di applicazione

del punto P, ma basta conoscere la traiettoria (7)

= (t), ovvero = = = ∈ [t , ]

P P x x(t), y y(t), z z(t), t t

1 2

SISTEMI E GRANDEZZE MECCANICHE 5

⇒ = (P )

sono le equazioni di tale traiettoria forza posizionale ha vettore che

F F

risulta definito come funzione della sola variabile t

⇒

= (P , )

Siccome lavoro compiuto dalla forza lungo la curva definita

dP v dt F

= (t ) = (t )

fra 2 punti generici e è determinato dall’integrale

P P P P

1 1 2 2

curvilineo t 2

∫ ∫ ∫

= ⋅ = ⋅ = (8)

L F v dt F dP dL

,P ,P

t γP γP

1 1 2 1 2

= ⋅ ,

con detto lavoro infinitesimo e traiettoria percorsa dal

dL F dP γP P

1 2

[t , ]

punto P nell’intervallo t

1 2 ⇒

^ dst^

= =

Se e (con s ascissa curvilinea) lavoro finito si può esprimere

v ṡt dP

come s s ( )

2 2 dx dy dz

∫ ∫

= = + +

L F ds F F F ds

t x y z

ds ds ds

s s

1 1

con componente del vettore della forza lungo la direzione tangente alla

F

t

traiettoria in P nel verso delle s crescenti

⇒ il lavoro non dipende esplicitamente dal tempo t, inoltre appare evidente che il

lavoro non dipende dalla legge oraria ma solo dalla traiettoria

Forze conservative

Non è necessaria nemmeno la conoscenza della traiettoria del punto di

,

applicazione della f