Fisica generale I - Onde

ONDE

Un'onda è descritta matematicamente dall'equazione

^∂2ϕ/_∂x² = 1/v² ∙ ^∂2ϕ/_∂t²

equazione delle onde

dove ϕ è una funzione data forma

ϕ(x,t) = f(x±vt) = α(x±vt)

una funzione di questo tipo descrive una perturbazione che trasla nel tempo con velocità v. In particolare, se la funzione dipende da α(x-vt) l'onda si dice progressiva, se invece la funzione dipende da α(x+vt) l'onda si dice regressiva.

In generale si può dire che un'onda in un mezzo elastico rappresenta la propagazione di uno stato di moto delle masse in quiete, indicando una propagazione di energia. Il luogo geometrico dei punti che si muovono in fase (cioè che ad ogni istante hanno le stesse caratteristiche) è detto fronte d'onda, e si muovono alla stessa velocità di propagazione. In base alla forma dei fronti d'onda, le onde possono ad esempio essere sferiche e piane.

In particolare, in base alla direzione di propagazione, le onde si possono distinguere in:

• Longitudinali, quando lo spostamento è nella direzione di propagazione (suono)
• Trasversali, quando lo spostamento è perpendicolare alla direzione di propagazione (corda)

e di superficie, quando le singole particelle compiono traiettorie chiuse (acqua).

L'onda può avere una forma sinusoidale, del tipo

α(x,t) = A sin ( ^2π/_λ ( x ± vt ) + ϕ)

• velocità di propagazione
• ampiezza
• lunghezza d'onda

le onde sinusoidali rappresentano le forme notevoli da adottare perchè, la forma si ripete con una periodicità. In generale, in propagazione, i fronti d'onda hanno periodi, fase, ampiezze definite, e non è sincronizzata durante il suo moto.

Considerato che la pulsazione ω è data da ω = ^2π/_T e ω = ^2πv/_λ l'onda sinusoidale (ha velocità v = ^ω/_k) si può scrivere come

α(x,t) = A sin ( k x ± ω t + ϕ )

dove k = ^2π/_λ è il numero d'onda, e ϕ è la fase che dipende dalle condizioni iniziziali.

Le onde sinusoidali sono particolarmente importanti per il loro utilizzo nella teoria di Fourier, questo afferma che se abbiamo una funzione periodica di forma qualunque α( k x ± ω t ) allora questa può essere espressa come somma infinita di termini sinusoidali con opportune ampiezze:

α ( k x ± ω t ) = A₀ I _a cos ( k x ± ω t ) + B_i sin( k ( x ± ω t ) ) + ... non è in residenza ad ogni iterazione.

Questo è possibile per il principio di sovrapposizione, cioè una proprietà dell'equazione delle onde che è lineare, se ϕ₁(x,t) e ϕ₂(x,t) sono soluzioni all'equazione delle onde allora ϕ_β(x,t) = A ϕ_β1(x,t) + B ϕ_β2(x,t) con A, B arbitrari è anch'essa soluzione.

ONDE

Un’onda è descritta matematicamente dall’equazione

dove φ è una funzione d’onda forma:

φ(x,t) = f(x±vt) = φ(x±vt)

una funzione di questo tipo descrive una perturbazione che trasla nel tempo con velocità v.

In particolare, se la funzione dipende da (x-vt) l’onda si dice progressiva, se invece la funzione dipende da (x+vt) l’onda si dice regressiva.

In generale si può dire che un’onda in un mezzo elastico rappresenta la propagazione di uno stato di moto onda armonica

di massa. L’onda comporta una propagazione di energia. Il luogo geometrico dei punti che si muovono in fase uguale (cioè che ad ogni istante hanno le stesse caratteristiche) è detto fronte d’onda, e si muovono alla stessa velocità di propagazione. In base alla forma dei fronti d’onda, le onde possono ad esempio essere sferiche e piane.

In particolare, in base alla direzione di propagazione, le onde si possono distinguere in:

• Longitudinali, quando lo spostamento è nella direzione di propagazione (suono)
• Trasversali, quando lo spostamento è perpendicolare alla direzione di propagazione (corda)

di superficie, quando i singoli particelli compiono traiettorie chiuse (acqua)

L’onda può avere una forma sinusoidale di tipo: α(x,t) = A sin ( _2π/^λ ) (x ± vt)

Le onde sinusoidali rappresentano un importante livello ortogonale alla forma che si ripete con non è sincronizzata durante il suo moto. In generale, questa forma d’onda si muove con la velocità di propagazione. All’onda associata all’α0 ha la velocità: v = _λ/^T Si può scrivere come:

α(x,t) = A sin ( kx ± ωt + ψ )

dove k = _2π/^λ è il numero d’onda e ψ è la fase che dipende dalle condizioni iniziali.

Le onde sinusoidali sono particolarmente importanti per il loro utilizzo nel teorema di Fourier, il quale afferma che se abbiano una funzione periodica di forma qualunque, α (kx ± ωt), questa possa esprimere come somma infinita di termini sinusoidali con opportune ampiezze:

α( x ± ωt) = A₀ + A₁ cos (kx ± ωt) + B₁ sin(kx ± ωt) + ...

+ N in successione ad ogni iterazione.

Questo è possibile per il principio di sovrapposizione, cioè una proprietà dell’equazione delle onde, che è lineare, se φ₁(x,t) e φ₂(x,t) sono soluzioni all’equazione delle onde allora φ₀(x,t) = A φ₁(x,t) + B φ₂(x,t) con A e B arbitrario è anch’essa soluzione.

Onde elastiche longitudinali

Un'onda elastica longitudinale è descritta dall'equazione:

d²α_elastica

___________________

d t²

d²α

d x²

con velocità di propagazione v = √(E / ρ)

modulo di Young

Questa equazione si ottiene considerando il caso di una sbarra omogenea di sezione costante S:

considerato un elemento d x sulla sbarra, a causa di una perturbazione longitudinale

questo viene spostato in avanti di un certo tratto α(x,t) rispetto alla posizione di

equilibrio, con una velocità:

dα

______

d t

e un'accelerazione a =

d²α

________

d t²

L'elemento deve venir richiamato all'equilibrio dalla

una forza elastica, per cui il principio per l'elemento d x ha la forma:

dF = ρ S d x a =

d

dV

ρ S d x

d x

d²d

!

che per la legge di Hooke

è anche data

dα

dF = - k_eff

d.

S

S

____________

d V

l

lunghezza

_______________

tot d x

al tratto d x viene applicata la forza netta d F = F(x + d x) - F(x)

ma

dF =

da = 0

- E S

d

d x

____________

d x

d x

per cui

E d

d x

ρ S d x

d α

______________

d x²

d t²

d²α

_____________

d x²

d²d

d

d x²

d t²

Conoscendo α(x, t) si possono quindi determinare anche le forze e le pressioni

F(x) = E S

d

d x

P(x, t) = E

dα

d t

Onde Trasversali Elastiche

Per un'onda che si propaga trasversalmente lungo una corda tesa, l'equazione che descrive il moto è:

con velocità di propagazione

Nel caso di una corda infinita, la propagazione dell'onda è perpendicolare allo spostamento di una singola particella descrivendo questo sistema in un y su un arco

dove ξ è uguale lungo tutta la corda.

con θ

Ogni tratto Δx è oscillato verticalmente di un tratto, la massa

Per piccole oscillazioni, si può approssimare e per cui

Quindi

Ma

Allora

Per piccole ampiezze e quindi, la velocità dipende solo dalle caratteristiche della corda; le onde non sono dispersive, e durante il moto se ne conserva la forma.

Onde Sulla Superficie di Un Liquido

Nel caso di un liquido molto profondo (rispetto alla lunghezza d'onda e all'ampiezza) la velocità di propagazione delle onde sulla superficie non dipende dalle caratteristiche del liquido, ma dalla lunghezza d'onda, secondo la legge

fenomeno della dispersione

Energia associata ad un'onda

Per un'onda che si propaga in un mezzo elastico, l'energia per unita` di volume e` data da

dE/dV = 1/2 ρ ω² A²

Ogni elemento del mezzo puo` essere considerato come un oscillatore armonico, la cui energia totale si mantiene costante nel tempo ed e` data da

dE = 1/2 k A² = 1/2 ρ s² ω² A²

(in quanto k = ...)

L'energia per unita` di volume e` data da

dE/dV = 1/2 s² ω² A²

L'intensita` di un'onda

L'intensita` di un'onda e` l'energia che fluisce nell'unita` di superficie e ai tempo (quindi si misura in W/m<sup>2</sup>) e nel caso di una superficie infinitesima (perpendicolare alla direzione di propagazione) e` quindi espressa come

I = dE/dSdt = s dE/dV

nell'intervallo di tempo dt l'onda si sposta di un tratto v dt, l'energia fluisce quindi attraverso un volume dS v dt:

I = s dE/dS v = dE/dV = 1/2 s³ ω² A² v

Nella pratica l'intensita' serve anche a caratterizzare l'udibilita` di un suono, utilizzando come unita' di misura i decibel, che e` definito come

dB = 10 log₁₀ (I/I₀)

dove I e` l'intensita` del suono che si sta considerando e I₀ e` un valore di riferimento

Per una sorgente puntiforme di onde sferiche con potenza W l'intensita` dell'onda ad una certa distanza R dalla sorgente e` data da

I = W/4 π R²

Interferenza

Il fenomeno dell'interferenza si verifica con la sovrapposizione di due o più onde. Supponendo di avere due onde sinusoidali della stessa ampiezza,

α₁(x,t) = A sin (kx - ωt) α₂(x + π,t) = A sin (kx - ωt + δ)

usando le formule si può trasfersi:

sin (a) + sin (b) = 2 cos ((a-b)/2) sin ((a+b)/2)

allora l'onda risultante è:

α₁(x,t) + α₂(x,t) = 2A cos (δ/2) sin (2(kx - ωt) + δ/2)

L'onda risultante ha la stessa lunghezza d'onda λ = 2π/p e la stessa pulsazione ω delle onde ai partenza ma ampiezza 2A cos (δ/2).

L'ampiezza risultante quindi va da un minimo di 0, quando cos(δ/2) = 0 e quindi quando δ/2 = π/2 + k2π a un massimo di 2A quando cos(δ/2) = 1, quindi quando δ/2 = kπ, ossia quando δ = 2kπ.

In conclusione, si ha interferenza costruttiva e ampiezza 2A quando δ = 2kπ, mentre si ha interferenza distruttiva e ampiezza 0 quandoδ = (2k+1) π.

Fissato un istante t₀, ad esempio t = 0, abbiamo che

α₁(x,0) = A sin (kx - ωt) α₂(x,0) = A sin (kx + δ)

ossia le due onde sono traslate ad ogni istante della quantità δ/k.

Per quanto riguarda l'intensità, che in generale è uguale a I = E⅋/2 a²v

In questo caso I_r = E⅋/2 v 4A cos²(δ/2) = 4 I cos²(δ/2)

Battimenti

Il fenomeno dei battimenti si verifica quando due sorgenti di frequenza percentualmente piccola tra loro compaiono interferenza. Supponendo quindi di avere due onde

α₁(x,t) = A sin (kx - ω₁t) α₂(x,t) = A sin (kx - ω₂t)

usando le formule si può trasferirsi

α(x,t) = 2A cos ((k/2 - ω₂)/2-ω₂₀)

... quindi α(x,t) = 2A cos (kx) sin (kx - ωt)

L'ampiezza stessa dell'onda e è a sua volta un'onda con frequenza molto più bassa.

L'onda originale (A sin(kx - ω₁t)) varia periodicamente in ampiezza, con una frequenza tanto più bassa quanto più vicine le frequenze a due onde originarie.

Onde Stazionarie

Il fenomeno delle onde stazionarie si verifica per la sovrapposizione di due onde aventi la stessa frequenza, lunghezza d'onda e ampiezza che si propagano nella stessa direzione ma in versi opposti. Un esempio notevole è quello di un'onda che incontra interferenza con la sua onda riflessa, come una corda messa in oscillazione e vincolata ad un estremo. Per onde sinusoidali in fase si ha.

la cui risultante                 = 2A cos (ωt) sin (kx) .

Che non rappresenta più un'onda, in quanto non dipende più un argomento del tipo x ± vt, ma un'oscillazione (data dal fattore cos (ωt)) con un inviluppo periodico (dato dal fattore sin (kx)).

L'intera corda in oscillazione si disloca come oscillatore armonico con pulsazione ω con ampiezza 2A sin (kx) che è costante nel tempo ma variabile con la posizione x.

Alla luce di ciò si può osservare che alcuni punti, cui nodi, sono sempre fermi: i punti per cui sin (kx) = 0.

Analogamente vi sono punti che hanno ampiezza massima 2A; in quanto per essi sin (kx) = ± 1, per cui.

Nel caso notevole di una corda fissata agli estremi, i punti A e B avranno necessariamente a corrispondenza in λ/2, per cui.

La frequenza

La frequenza ν che si ottiene per n = 1 si dice armonica fondamentale, per n≥2 si parla di armoniche superiori.

Principio di Huygens - Fresnel

Ogni elemento di Σ di un fronte d'onda Σ si può considerare formalmente come una sorgente secondaria di onde sferiche in fase con la sorgente primaria e di ampiezza proporzionale a quella primaria e ad un ds. Le perturbazioni prodotte in un punto dello spazio si può sempre ottenere come sovrapposizione di tutte le onde sferiche secondarie che raggiungono quel punto.