Fisica generale 3 - Formulario

Elettromagnetismo

Equazioni di Maxwell

Equazioni di Maxwell: I Z₁ρ ~ ·E d~s = ρdV~ ~∇ · E = 0∂V V₀ I~ ~ ~∇ · B =0 ·B d~s = 0Σ↔~∂ B ZI d~ ~∇ × −E = d~l ~~ ·· − B d~sE =∂t dt Σ∂Σ~∂ E I ZZ d~ ~ ~∇ × B = µ J + µ ~~ ~~· ··0 0 0 B dl = µ E d~sJ d~s + µ ∂t 0 0 0 dt∂Σ ΣΣI Z∂ρ d~~ ~ ·∇· ↔ J d~s ++ J =0 ρdV = 0∂t dt∂V V

Discontinuità

ρ s∆E = 0 ∆E =⊥tg 0~ ×∆B = µ J n̂ ∆B = 0⊥tg 0 s

Pressione elettro/magneto statica

10 2 2 2 2 − −P = E E P = B B E B² 1 1 22 2µ₀1− −Q = (Φ Φ )

Legge di Felici

B,2 B,1

Coulomb - Biot/Savart

Coulomb - Biot/Savart: Id~l ~× ×1 dq~r 1 ρ~r µ ~r µ J ~ro o~ ~d E = = dV dB = = dV³ 3 3 3||~r || ||~r || ||~r || ||~r ||4π 4π 4π 4πo o~ ~~ ~ ~×df = ρ EdV df = J BdV

Elettrodinamica

~ ~−1 −1 −1 −1σ[Ω ] = [Sm ] : J = σ E, ρ = σ [ΩConduttività: m Resistività: m]²V = RI Q = CV R = ρh/S RC = ρ P = IV = IR₀dW = V dq (Lavoro per unità di carica a potenziale costante)~ cJ = ρ ~v = n q~vDensità di corrente: d e d−t/τ −t/τ−Q = CV (1 e ) Q = Q e τ = RCCircuito RC: car scar 0V V L−t/τ −t/τ−i = (1 e ) i = e τ =Ciruito RL: ape chiuR R R

Potenziali

 ~ ~ ~ ~ ~0∂ A → ∇ΦA A = A +~ ~ −∇V −E = ∂t ∂Φ0→ −V V = V~ ~ ~ ∇ ×B = A ∂t∂V~ ~∇ ·φ t.c. A + µ = 0Gauge di Lorentz: 0 0 ∂t ~² 2ρ∂ V ∂ A~ ~~² 2− −µ∇∇ − −= = JV µ A µ Eq. di D’Alambert: 00 0 0 0² 2∂t ∂t₀ρ ~ ~ ~² 2∇ − ∇ −µV = A = JEq. di Poisson: 0 0 ~ ~² 2∇ ∇V = 0 A =0Eq. di Laplace: ~|V | → || → → ∞0, A|| 0 rPotenziali nel caso per ~Z Zρ(~y ) µ J(~y )1 0~dV A(~x ) = dVV (~x ) = ||~x − || ||~x − ||4π ~y 4π ~y0 V V

Dipoli

· ×1 ~x p~ µ m~ ~rQ 0~V (~x ) = + A(~r ) =² 3 3||~x || ||~x || ||~r ||4π 4π0 ·· p~ µ 3~r ( m~ ~r ) m~3 3~r (~p ~r ) 0~~ − −B(~r ) =E(~r ) = 5 3 3 34π r r 4π r r0 Z Z=1q~δ ~ ~ ²×p~ = = ρ(~y )~y dV [C m~ = iS ~y J(~y )dV [A ]m] m²V V

Campi esterni - Generale

~ ~× ×~τ = p~ E ~τ = m~ B0 0 ~ ~ ~ ~ ~ ~· ∇ · ∇F = p~ E F = m~ B0 0∂∂f =p E (x ) f = m B (x )0,k s k s 0,k sk s ∂x ∂xs sp~ m~

Campi esterni - Lontano da sorgenti, e indipendenti da posizione

~ ~ ~ ~ ~ ~∇ · ∇ ·F = p~ E F = m~ B0 0~ ~−~ · − ·U = p E U = m~ B0 0p~ m~

Campi esterni - e dipendono dalla posizione

1 1 ~ ~ ~ ~ ~ ~∇ · ∇ ·F = p~ E F = m~ B0 02 2 11 ~ ~− · − ·U = p~ E U = m~ B0 02 222

Energia

Densità di energia dei campi: dU 1 1dUE B~ ~² 2= u = E = u = BE 0 BdV 2 dV 2µ₀ Teorema di Poynting ∂ 1 1dP ∂ ∂~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~² 2· − ∇ · − − − ∇ · −= E J = S E B u= S₀ EMdV ∂t 2 ∂t 2µ ∂t₀1~ ~ ~×S = E BVettore di Poynting: µ₀ 21 1 Q 1 d(Li)² 2U = CV = U = Li P = i² 2 C 2 dt

Elettromagnetismo nella materia

P Pp~ m~1 i i~ ~ ~~ −2 −1(b)(e) α B P = lim [C ] M = lim [A ]p~ = α E m~ = m mloc₀ loc µ ∆V ∆V→0 →0∆V ∆V₀ ~∂ P~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~P P M M· − ∇ · × ∇ ×ρ = P n̂ ρ = P J = M n̂ J = M J =Ps V s V ∂tDiscontinuità l∆D = ρ ∆E = 0⊥ k ~l ×∆B = 0 ∆H = J n̂⊥ k s−∆M∆H = erp ∆D = ∆P⊥ k kp

Densità di energia dei campi in materiale

dU 1 1dUE B~ ~ ~ ~ ~ ~· · ×= u = E D = u = H B S = E HE BdV 2 dV 2

Equazioni di Maxwell nella materia

Equazioni di Maxwell nella materia: I Z~ l·D d~s = ρ dV~ ~ l∇ · D = ρ ∂V VI~ ~∇ · B = 0 (1) ~ ·B d~s = 0~ Σ∂ B ↔~ ~∇ × −E = (2) I Zd~~ ~· − ·∂t E d l = B d~sdt~ ∂Σ Σ∂ D~ ~ ~l∇ × I Z ZdH = J + d~l~ ~ ~l· · ·H = J d~s + D d~s∂t dt∂Σ Σ Σ~∂ B~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~∇ · −∇ · ∇ × ∇ × −(1) H = M (2) D = P 0 ∂t1~ ~ ~ ~ ~ ~−2 −1−D := E + P [C ] H := B M [A ]Ponendo: m m0 µ033

Polarizzazione e magnetizzazione rigida (sfera)

~P 2~