Fisica generale 3 - Formulario

CM E E

tot tot

i

4.5 Elettrodinamica Relativistica

V

V = V

Volume: , : Volume Proprio.

0 0

γ

dq dq dq ~ ~ ~

ρ = ρ = = γ = γρ J = ρ ~v J = ρ~v = γρ ~v = ρ V

0 0 0 0 0 0

dV dV dV

0 0 ~ ~

≡

J ρ V = (cγρ ; ρ γ~v ) = (cγρ ; J) = ρ (cγ; V )

4-densità di corrente: 0 0 0 0 0

¯

¯ 

− J = γ(

J + uρ̄)

J = γ(J uρ)

 x x

x x 

 

  ¯

uJ u

J

 

 

x x

− 

 ρ̄ = γ ρ ρ = γ ρ̄ +

 

2 2

c ↔ c

¯ ¯

 

J = J J = J

 

y y y y

 

 

 

¯ ¯



 J = J J = J



z z z z

µ

∂ρ ∂J

~ ~

∇· →

+ J =0 =0

µ

∂t ∂X

Trasformazione dei campi

~v ~

×

− E B = B

B = γ B

⊥ k

0⊥

0⊥ 0k

2

c

~

×

E = γ E + ~v B E = E

⊥ k

0⊥ 0⊥ 0k

6

5 Onde, Generalità −iθ −iθ

iθ iθ −

e + e e e

iθ

e = cos θ + i sin θ cos θ = sin θ =

2 2

2 2

2 1 ∂ ξ(z, t) 1 ∂ ξ(~r, t)

∂ ξ(z, t) 2

↔ ∇

= ξ(~r, t) =

2 2 2 2 2

∂z v ∂t v ∂t

~k · − −

ξ(~x, t) = ξ cos( ~x ωt φ) ξ(~x, t) = ξ sin(kz) cos(ωt)

0 0

ω 2π 2π 2π v 1 ω

~k||

|| = = T = λ = vT = v = ν = =

v λ ω ω ν T 2π

− ·

v n̂ ~v

o ~k)

− ·

ν = ν ω̄ = γ(ω ~v S̄

Effetto Dopler ( solidale alla

0 s

− ·

v n̂ ~v

s

sorgente)

− −

δ + δ δ δ δ δ

R L R L L R

~ ~ ~k · −

ξ + ξ = 2ξ cos ~x ωt + cos ê + sin ê

R L 0 y z

2 2 2

6 Onde Elettromagnetiche 2

1 µ n

1 r r

= µ = µ µ = =

0 r 0 r 0 r

2 2 2 2

c v c c

~k ~k ~k

~ ~ ~ ~ ~ ~

× || || || · ·

E = B ω E = c||

B E = 0, B =0

0 0 0 0

2 2

E B 1 1

0 ~

0 0 2 2 |

< u >= + = E = B I =< S| >= c < u >

0 0 0

4 4µ 2 2µ

0 0 ~

(R)

(A) r |

2I dω(k)

I µ H| Z

0 0

'

+ Z = v =

P = = 377 Ω Z =

0 g

~

c c n dk

|

E|

0

−

I I

max min 2

P = I = I cos θ

0

I + I

max min

Lamine 4-onda, 2-onda λ

λ

0 0

(2n + 1) h = (2n + 1)

h = |n − | |n − |

4 n 2 n

y z y z

6.1 Guida d’onda

2 2

ω p π p πc

λ c

x 0 x

2 2

k +k = λ = v = k

k = ω =

x g z

c

x z 2 p

c l l ω

2 2

−

1 ω /ω

x x

c

6.2 Radiazione

Carica in moto 2 2

1 q ~a 1 q a

⊥

~ ~ ~

− ×

E = B (~r, t) = ~r E (~r, t) P =

rad rad rad r

2 3

4π r c rc 6π c

0 0

Dipolo 20 4 20 4

1 p ω 1 µ m ω

0

P = P =

rad rad

3 3

3 4π c 3 4πc

0 7

6.3 Conduttori N 2

iσ ρ q 1

~k ~k 0 0

2

· = ω µ µ + σ =

0 r 0 r −

ω m Γ iω

0 0 0 2

2 2 4

| q

c|E 8πr ω

0 0 −15

e

e '

r = 3·10

P = σ(ω) σ(ω) = m

e

rad 2 2 2 2 2 2

− ω ) + ω Γ

2 3 (ω m c

e

0

ω

Limite di Rayleigh (ω )

0 2

|

c|E

0 0 −28

·

P = σ σ = 0.667 20 m

rad T T

2

' ∈

µ 1, σ

6.3.1 Caso e R

r r

v v

# #

"r "r

u u

2 2

σ ω σ

µ µ

ω r r r r

u u −

1+ +1 k = 1+ 1

k = t t

I

R 2 2 2 2

c 2 ω c 2 ω

• Pessimo conduttore

√

√

σ ω iσ c iσ

1 k = µ k =

1 + n(ω) = 1 +

r r r

ω c 2ω ω 2ω

0 r 0 r 0 r

• Ottimo conduttore r

√

σ 1 + i 1+ i σ

√ √

1 k = ωµ µ σ n(ω) =

r 0

ω ω

2 2

0 r 0

' '

1, µ 1)

6.3.2 Drude - Lorentz ( r r

" #

2

2 N 2

ω

ω 1 ρ q

p 0 0

2 2

k = 1+ i ω =

p

2 −

c ω Γ iω m

0 0 0

• Γ

Basse frequenza (ω )

0 s s

2 2 2

ω ω ω

ω

p p p

' '

σ = k 1+ i n(ω) 1+ i

Γ c ωΓ ωΓ

0 0 0 0

• Alta freqenze 2

ω 1 q

p 2 2

−

σ = i k = ω ω

p

ω c

0

7 Riflessione e relazioni di Fresnall

v sin θ = v sin θ n sin θ = n sin θ

t i i t i i t t

• Prima legge di Fresnel, polarizzazione parallela:

k − − −

Z cos θ Z cos θ

E n cos θ n cos θ tan(θ θ )

i i t t t i i t i t

0r =

r = = =

k k Z cos θ + Z cos θ n cos θ + n cos θ tan(θ + θ )

E i i t t t i i t i t

0i

k

E 2Z cos θ 2n cos θ 2 sin θ cos θ

t i i i t i

0t

t = = = =

k k −

Z cos θ + Z cos θ n cos θ + n cos θ sin(θ + θ ) cos(θ θ )

E i i t t t i i t i t i t

0i 8

• Seconda legge di Fresnel, polarizzazione perpendicolare:

⊥ − − −

E Z cos θ Z cos θ n cos θ n cos θ sin(θ θ )

t i i t i i t t i t

0r −

r = = = =

⊥ ⊥ Z cos θ + Z cos θ n cos θ + n cos θ sin(θ + θ )

E i t t i t t i i i t

0i

⊥ 2Z cos θ

E 2n cos θ 2 sin θ cos θ

t i i i t i

0t =

t = = =

⊥ ⊥ Z cos θ + Z cos θ n cos θ + n cos θ sin(θ + θ )

E t i i t i i t t i t

0i

• Intensità riflessa e trasmessa

I n cos θ

I Z cos θ

r t t

t i t

2 2 2

R = = r = t t

T = =

I I n cos θ Z cos θ

i i i i t i

• β

Onda polarizzata lineare con angolo rispetto al piano di inci-

i

denza t

r ⊥

⊥ tan β tan β = tan β

tan β =

r i t i

r t

k k

2 2

2 2

R = R cos β + R sin β T = T cos β + T sin β

⊥ ⊥

k k

i i i i

• Incidenza normale

− −

Z Z n n 2Z 2n

t i i t t i

r = = t = =

Z + Z n + n Z + Z n + n

t i i t t i i t

I I Z n

r t i t

2 2 2

R = = r T = = t = t

I I Z n

0 0 t i

• θ r = 0:

Angolo di Brewster. t.c. onda riflessa polarizzata perpen-

k

B

θ + θ = π/2: n tan θ = n

dicolarmente; B t i B t

• θ P = 1)

Grado di polarizzazione (Luce bianca indicente a :

B r

−

− T T

R R ⊥

⊥ k

k P =

P = t

r R + R T + T

⊥ ⊥

k k λ

0

• Λ =

Lunghezza di estinzione onda evanescente: q 2

2 2

−

2π n sin θ n

i t

i

8 Interferenza √

2

• ∝< |ξ | I I cos ∆Φ

I + ξ >, I = I + I + 2

Due onde coerenti: 1 2 1 2 1 2

−

kd sin χ ∆Φ

2

• I = 4I cos δ, δ =

Sorgenti coerenti: 0 2

• ±nπ, ±nπ

δ = n = 0, 1, 2, ...: d sin χ =

Massimi principali con

• ±(2m ±(2m

δ = + 1)π/2, m = 0, 1, 2, ...: d sin χ = + 1)λ/2

Minimi con

• ∆Φ = ω∆t

Differenza di fase tra due cammini: p 2

2

• −

∆r = 2h n sin θ

Pelliccola sottile Differenza di cammino: i

9

• N n + 1 n)

sorgenti (∆Φ diff. fase tra la sorgente e la

2

sin (N δ) kd sin χ + ∆Φ

I = I , δ =

0 2 2

sin δ

• ±λn

δ = nπ, n = 0, 1, 2, ...: d sin χ =

Massimi principali: Se con π

• −

δ = (2p + 1) p = 1, 2, ..., N 2, N +

Massimi secondari: Se , con

2N λ

−

1, ..., 2N 2, 2N + 1, ...: d sin χ = (2p + 1) 2N

mπ

• − −

δ = m = 1, 2, ..., N 1, N + 1, ..., 2N 1, 2N + 1, ...:

Minimi: Se , con

N

mλ

d sin χ = N 2λ

• ∆χ =

Ampiezza del massimo centrale: dN

9 Difrazione

• Teorema di Fresnel-Kirchhoff. ikr

ZZ e 1 + cos χ

−iωt

∝

ξ(P, χ, t) e dΣ

r 2

Σ

Σ r P

dove è l’area della fendituta piana, la distanza del punto dall’ele-

χ P

mento di integrazione e è l’angolo tra la distanta di dall’origine ed

r. 2 kb sin χ

sin β

• I = I , β =

Fenditura rettilinea infinita: max 2

β 2

• β = 0, I = I

Massimo centrale per da cui .

max

• ±mπ, ±λm

β = m = 1, 2, 3...: b sin χ =

Minimo per con 2λ

• ≈

∆(sin χ) ∆χ =

Ampiezza angolare: b

• b b

Fenditura rettangolare. Di lati e :

x y

2 2

sin β sin β kb sin χ kb sin χ

x y x x y y

I = I β = β =

max x y

β β 2 2

x y

2J (ρ) kD sin χ

0

• D << R: I = I , ρ =

Fenditura circolare max ρ 2

D sin χ = 1.22λ; 2χ

minimi

per i primi due si ha ampiezza massimo

0 0

centrale.

• N b, d

Reticolo di difrazione. fenditure di larghezza separazione

2 2

sin β sin(N δ) kb sin χ kd si