Fisica dell'elettromagnetismo e dell'ottica (Fisica 3)

PRINCIPIO DI HUYGENS-FRESNEL

Il principio di Huygens-Fresnel può essere enunciato nel modo seguente: Ogni elemento di

un fronte d’onda Σ può essere considerato come sorgente di onde sferiche secondarie che

si propagano con la stessa velocità di fase dell’onda primaria. Il nuovo fronte d’onda Σ’ ad

un istante successivo è dato dalla superficie tangente o inviluppo delle onde secondarie

sferiche a tale istante di tempo.

Tuttavia, nel costruire il nuovo fronte d'onda si utilizza solo la parte in avanti delle onde

sferiche secondarie, e non viene in alcun modo giustificata l'eliminazione delle parti all'indietro

delle onde sferiche secondarie.

DEDUZIONE DELLE LEGGI DI RIFL. E RIFR. CON IL PRINCIPIO DI HUYGENS-FRESNEL

Le leggi della riflessione e della rifrazione asseriscono a:

• = ;

•

il rapporto tra il seno dell'angolo d'incidenza e il seno dell'angolo di rifrazione è costante

sin

1

=

⁄ ⁄

ed uguale al rapporto tra le velocità di propagazione: . Tenendo conto

sin 2

= /,

della definizione otteniamo che:

sin

1 2 2

= = = → sin = sin

1 2

sin

2 1 1

Adesso deduciamo le leggi della riflessione e rifrazione dal principio di

Huygens-Fresnel. Sia AB la traccia del fronte d'onda di un'onda piana, che

incide con un angolo di incidenza su una superficie piana di separazione

= 0

tra due mezzi, in cui le velocità di propagazione sono e . Poniamo

1 2

nell'istante in cui il punto A si trova sulla superficie di separazione. Quindi il

= /

punto B raggiunge la posizione C nell'istante . Nello stesso

1

intervallo di tempo l'onda elementare emessa in A verso il primo mezzo,

= =

secondo il principio di Huygens-Fresnel, compie il percorso 1

/ = ; =

mentre quella emessa verso il secondo mezzo compie

1 1

= /

. Pertanto (guardando l’immagine) D e C da una parte, e C

2 2 1

dall'altra sono punti di egual fase, cioè stanno sullo stesso fronte d'onda.

Siamo certi che i fronti d'onda riflesso e rifratto sono piani in quanto

assumiamo che raggi incidenti paralleli vengano riflessi e rifratti allo stesso

modo, cioè restino paralleli dopo la riflessione e dopo la rifrazione.

Consideriamo ora i triangoli ABC e ACD. Essi sono uguali in quanto sono

rettangoli e hanno due cateti uguali: ne segue che sono uguali anche gli angoli al vertice e quindi in

=

particolare . Invece dai triangoli ABC e ACE si ricava che:

sin

1 1

sin = sin = → = = =

sin

2 2

DEDUZIONE DELLE LEGGI DI RIFL. E RIFR. CON IL PRINCIPIO DI FERMAT

Il principio di Fermat afferma che: Per andare da un punto all’altro, fra tutti i possibili cammini

(ottici) la luce segue quello «estremale» (che richiede un tempo minimo o massimo o costante) fra

quelli con cui si possono congiungere i due punti. Nel caso della rifrazione e riflessione, la

condizione che si verifica è quella di minimo e i percorsi della luce sono rettilinei.

Iniziamo dalla riflessione. Consideriamo una luce che va da A, si

riflette in P e arriva in B. il percorso che compie è dato da:

2 2 2 2

(

= + + √ + − )

√ . Il tempo di percorrenza della

= /,

luce, ossia deve essere minimo. La condizione per cui

/ = 0:

questo avvenga è che

1 2 2( − )

= = − =0

2 2 2 2

2√ + (

2√ + − )

Dopo alcune semplificazioni otteniamo:

−

= → sin = sin → =

2 2 2 2

+

√ (

√ + − )

Per la rifrazione il tempo sarà:

+

1 2 1 1 2 2

= + →= =

1 2

Il tempo t necessario per percorrere il tratto APB deve essere minimo,

= / / = 0

ossia deve essere minimo. Quindi (principio di

Fermat). Il cammino ottico corrisponde a:

√ 2 2 2 2

(

√

= + = + + + − )

1 1 2 2 1 2 (

1 2 2 − )

1 2

→ = = − =0

2 2 2 2

2√ + (

2√ + − )

−

→ = → sin = sin

1 2 1 2

2 2 2 2

+

√ (

√ + − )

INDICE DI RIFRAZIONE: DISPERSIONE

La dipendenza di n dalla lunghezza d’onda secondo Cauchy (1789-1857) nel 1836 era:

= + + +⋯

2 4

Una formula alternativa, coerente con la teoria elettromagnetica della luce, formulata da

2

2 ∑

= 1 +

Sellmeier nel 1879: . Conviene però utilizzare la legge di Cauchy al primo ordine:

2

2

− 1

2 ()

= + / sin = sin

. Nel passaggio da aria (n1=1) a vetro (n2=n): .

⁄

()

ANGOLO DI DEVIAZIONE: IL PRISMA

Sperimentalmente si osserva che al variare con continuità dell’angolo di

incidenza, l’angolo di deviazione δ varia, raggiunge un minimo δmin e poi

aumenta di nuovo. Tale angolo può essere espresso in termini dell’indice

di rifrazione n e dell’angolo α.

Quindi assumiamo che in condizioni di deviazione minima la luce si

propaghi all'interno del prisma parallelamente alla base. Dalla

geometria: +

= = = + =

1 1

2 2 2

Dalla legge di Snell: +

( )

+ 2

sin = sin → ( ) = sin → =

1 2 2 sin 2

OTTICA GEOMETRICA

DEFINIZIONI

• Oggetto un corpo che emette luce propria o diffonde luce di un altro corpo.

• Strumento ottico è un apparato, semplice o complesso, che riflette o rifrange la luce emessa

da un oggetto (uno specchio, una lente, l’occhio, un telescopio).

• Immagine è la luce emessa dall’oggetto dopo essere stata trasformata dallo strumento ottico e

raccolta su uno schermo.

• L’ottica geometrica (OG) studia la formazione di immagini mediante strumenti ottici.

APPROSSIMAZIONI

Nell’OG si considera la luce come formata da particelle che si muovono in linea retta e

interagiscono con le superfici dello strumento ottico secondo le leggi della riflessione e della

rifrazione. Inoltre, non entra mai in gioco la natura ondulatoria della luce.

ELEMENTI OTTICI Assumiamo che gli elementi ottici abbiano un asse di simmetria cilindrica e che

siano costituiti solo da porzioni di superfici piane o sferiche. Per ciascuna

superficie sono definiti: un centro C, un raggio di curvatura R e un vertice V come

intersezione tra la superficie e l’asse. Una superficie che appartiene ad un

elemento ottico, e presenta solo riflessione è detta superficie catottrica o specchio. Se presenta

rifrazione è detta superficie diottrica o diottro. Di norma le superfici rifrangenti presentano anche

riflessione, ma in approssimazione parassiale l’onda riflessa ha intensità trascurabile. Un elemento

ottico stigmatico trasforma un punto oggetto in un unico punto immagine; ciò può avvenire per

uno o alcuni punti oppure per tutti. L’a-stigmatismo, invece, è un problema comune negli

elementi e negli strumenti ottici.

L’APPROSSIMAZIONE GAUSSIANA

Lavorare nella condizione di raggi parassiali, vuol dire avere raggi poco

inclinati rispetto all’asse ottico dello strumento e poco distanti da esso. Nella

pratica vuol dire che si lavora con angoli piccoli. Con buona approssimazione

gli elementi ottici possono essere assunti come stigmatici. In questa

′

, ,

approssimazione gaussiana gli angoli sono tutti piccoli e la sagitta HV,

relativa al semi-arco NV si può considerare nulla. È importante osservare che le equazioni che si

ottengono sono valide solo in questa approssimazione.

SPECCHIO CONCAVO Consideriamo uno specchio sferico concavo e poniamo un oggetto P

puntiforme sull'asse dello specchio a sinistra del centro di curvatura C e

tracciamo un raggio emesso da P ad angolo con l'asse. Il raggio incide sullo

specchio nel punto N e il raggio riflesso incontra l'asse nel punto Q,

immagine di P. In base alla nota proprietà che un angolo esterno di un

triangolo è uguale alla somma dei due angoli interni non adiacenti, abbiamo

+ = , + = ′,

che nel triangolo PNC, e nel triangolo CNQ, dalle

′

+ = 2.

quali otteniamo Relazione che è sempre valida.

Supponiamo ora che gli angoli siano molto piccoli, così da poter confondere

il seno e la tangente dell'angolo con il valore dell'angolo stesso, possiamo

scrivere:

′ ′

≈ ≈ ≈ ≈ ≈ ≈

Dove è la distanza trasversale NH, è la distanza dell’oggetto dal vertice e

è la distanza dell’immagine dal vertice. Quindi otteniamo:

2 1 1 2

′

+ = 2 → + = → + =

,

Dove non dipende dal raggio luminoso che usiamo. Quindi siamo nella condizione di

stigmatismo. Se consideriamo il caso di a-stigmatismo, otteniamo che q dipende da y.

Vediamo dove si forma l'immagine al variare la posizione dell'oggetto. Se facciamo tendere P

→ ∞)

all’infinito ( il raggio PN diventa parallelo all’asse e il raggio riflesso interseca l’asse in un

= = /2.

punto F detto fuoco, a distanza In ottica esiste il principio di invertibilità del raggio

luminoso (o cammino ottico), secondo cui invertendo il verso di un raggio, si ottiene ancora un

possibile raggio; quindi, un raggio emesso dal fuoco viene riflesso parallelamente