Fisica dell'edificio - Acustica

1

Acustica

Il suono è un fenomeno ondulatorio di tipo meccanico, e cioè che necessita di un mezzo fisico per la propria

propagazione. In particolare, il suono è un’onda meccanica elastica, la cui propagazione di energia sfrutta

quindi le proprietà elastiche del mezzo in cui esso si propaga, pur senza il trasporto di materia.

Il suono è quindi un insieme di onde elastiche che, per essere udite da noi, sono caratterizzate da un

intervallo di frequenza ben preciso che varia tra i 20 e i 20.000 Hz.

Tipologia di onde

Esistono diverse tipologie di onde, per cui è possibile classificarle onde diversi aspetti, secondo:

• il mezzo: possono essere meccaniche, se la propagazione avviene solo in presenza di materia (ne

sono un esempio le onde acustiche) o non meccaniche, se non necessitano di un mezzo materiale

per la propagazione, come nel caso delle onde elettromagnetiche;

• il volume: per cui possono essere monodimensionali, bidimensionali, o tridimensionali in base alla

sorgente che le genera (come nel caso di quelle puntiformi, che creano onde monodimensionali);

• la direzione di oscillazione: possono essere onde longitudinali, se la grandezza vibrante oscilla

parallelamente alla direzione di propagazione dell’onda (cioè dell’energia), o onde trasversali se la

grandezza vibrante oscilla perpendicolarmente alla direzione di propagazione dell’onda (cioè

dell’energia), come ad esempio le onde elettromagnetiche;

Equazione di D’Alembert

Consideriamo una corda vincolata al soffitto. A riposo la corda è perfettamente verticale. Se la pizzichiamo

in un punto, la deformazione generata si propaga sulla corda sotto forma di un’onda meccanica. Tale

fenomeno può essere descritto dall’equazione di D’Alembert o equazione della corda vibrante, che

caratterizza tutti i fenomeni ondulatori:

ovvero un’equazione differenziale alle derivate parziali del II ordine rispetto al tempo e allo spazio e lineare

in Eta, dove con intendiamo una funzione delle coordinate spaziali e temporali = (x, t) e con c la

velocità di fase. (,) ( c) (,) ( c),

Tale equazione ha come soluzione una funzione = + oppure = − cioè una

deformazione di forma f(y) che si sposta lungo l’asse x con velocità di fase v in un verso o nell’altro.

Verifichiamo prima che una qualsiasi funzione y = f(x±ct) soddisfi l’equazione delle onde. Scelgo per

comodità y = f(x-ct) e derivo due volte tale funzione rispetto a x: 2

Dove f’ è la derivata di f rispetto al suo argomento naturale. Ripeto il procedimento derivando la funzione

rispetto alla variabile del tempo:

eguagliando ora i risultati: c.v.d.

Mostriamo ora che una funzione f(x-ct) è una forma d’onda si muove con velocità di fase c, dove per fase

intendiamo una porzione precisa dell’onda, che ha un certo valore fissato della deformazione f. Per

seguirla dobbiamo porci in una condizione f = costante, che a sua volta si realizza se x - vt = cost. Risulta:

Se v è positivo, il fronte d’onda dell’onda, ovvero l'insieme dei punti che oscillano concordemente, si sposta

nel verso negativo dell’asse delle x, dando luogo ad un’onda regressiva. Viceversa, l’onda è progressiva.

Onde di pressione

Un pistone che si muova avanti ed indietro alternativamente all’interno di un tubo pieno d’aria crea

alternativamente delle zone di alta pressione e delle zone di bassa pressione rispetto alla pressione media.

Si creano quindi delle zone più dense che si muovono alternate nella cavità e una differenza di pressione:

In questo caso, la pressione nel mezzo elastico aria dipende dalla sola coordinata x e dal tempo e soddisfa

l’equazione delle onde monodimensionale:

Se il pistone si muove di moto armonico, risultato che si può ottenere collegando il pistone ad una ruota

,

che a sua volta giri di moto circolare uniforme con velocità angolare allora l’onda di pressione che si

propaga nel tubo è di tipo sinusoidale ovvero:

L’equazione di un’onda sinusoidale che si propaga nel verso dell’asse delle x diviene quindi:

-1

Dove k è la grandezza che prende il nome di numero d’onda k [m ] = 2 /�. 3

Secondo il teorema di Fourier, una funzione periodica (cioè, che si ripete con periodo T, con una forma

qualsiasi) può essere ottenuta come somma infinita (o serie) di funzioni armoniche.

In questa serie, all’armonica principale (o fondamentale) ovvero la funzione che maggiormente determina

l’armonica periodica, di sommano quindi altre armoniche secondarie (o superiori) con frequenze maggiori

rispetto alla prima. Per esempio, un moto y(t) di periodo T può essere ottenuto come serie del tipo:

Un suono puro è un’onda acustica sinusoidale con una frequenza unica. Un suono complesso ha invece

una generica forma d’onda che si può rappresentare come sommatoria di suoni puri di ampiezza diversa.

L’intervallo delle frequenze sonore è in genere suddiviso in bande di ottava, dove tra un’ottava e la

successiva si verifica un raddoppio della frequenza. Nella musica si adottano come riferimenti per la

costruzione delle ottave le frequenze multiple e sottomultiple della nota LA fondamentale (f= 440 Hz),

mentre nell’acustica ambientale si adottano le frequenze multiple e sottomultiple della frequenza 1000 Hz.

Nella musica si distinguono poi i caratteri dei suoni, tra cui l’altezza e il timbro. L’altezza è riconducibile

alla frequenza dell’armonica principale: un suono ad alta frequenza è detto acuto, mentre un suono a

bassa frequenza è detto grave. Il timbro è caratteristico dello strumento

musicale ed è riconducibile allo spettro

di frequenza delle onde generate dallo

strumento, come si può vedere

nell’esempio in figura, dove si

confrontano le onde sonore emesse da

un diapason (suono puro), e quelle

emesse da altri strumenti, nelle quali si

riconoscono oltre all’armonica

fondamentale anche alcune armoniche

successive. Nell’asse verticale viene

rappresentata la pressione sonora.

Il timbro per il suono è quindi l’analogo del colore per le onde elettromagnetiche nella fascia del visibile.

Velocità del suono nei mezzi

Un suono in base al mezzo in cui si propaga avrà caratteristiche diverse. Nei gas e nei liquidi le onde sonore

si propagano in modo longitudinale, mentre nei solidi anche trasversalmente.

La velocità di propagazione del fronte d’onda c è una caratteristica del mezzo elastico di trasmissione.

Per i FLUIDI e per i GAS si ha in generale:



dove: è la densità del mezzo e K è il modulo di compressibilità adiabatica del mezzo [Pa], definito come:

4

Per un GAS PERFETTO, considerando l’equazione e differenziandola, si ricava:

confrontando tale espressione con la definizione del modulo di compressibilità adiabatica, ottengo:

e quindi la velocità di propagazione del suono, ricavando la densità dalla II equazione di stato dei gas

perfetti, risulta dipendere dalla temperatura assoluta T e dalla massa molare M secondo la relazione:

m

Questa dipendenza dalla temperatura fa sì che la velocità

del suono sia diversa in strati diversi dell’atmosfera, in

particolare vicino al suolo, generando così una curvatura

dei raggi sonori.

Nella tabella vengono riportati alcuni valori della velocità

del suono per gas alla temperatura di 0°.

Per i SOLIDI si differenziano le velocità di propagazione in base al fatto che le onde siano longitudinali o

trasversali, secondo le relazioni:

dove E e G sono rispettivamente il modulo di Young ed il modulo di scorrimento del mezzo. In generale in

un solido la velocità delle onde longitudinali è maggiore di quella delle onde trasversali.

Pressione acustica

Per consentire la descrizione fisica del suono vengono introdotte alcune grandezze fondamentali. La

pressione acustica (o pressione sonora) è la differenza fra la pressione p variabile nel tempo e nello spazio,

e la pressione p (pressione statica) che si avrebbe nello stesso punto in assenza di suono:

0 5

Dal momento che per un fenomeno periodico oscillante attorno allo zero la media temporale su un periodo

è nulla, si usa definire la corrispondente grandezza efficace, ovvero la pressione acustica efficace:

ottenuta facendo la media della differenza di pressione al quadrato che, a differenza della semplice

differenza di pressione, non è nulla ma è significativa. Nel caso di un’onda sinusoidale di ampiezza p :

m

Intensità acustica

L’intensità viene definita come la potenza trasmessa attraverso una superficie unitaria normale alla

direzione di propagazione dell’onda stessa:

Nel caso di onde piane (o di onde lontane dalla sorgente e dunque approssimabili come piane), in un mezzo

non viscoso, l’intensità media su un periodo è legata alla pressione efficace dalla relazione:

c

Il prodotto della densità del mezzo e della velocità del suono è detta impedenza acustica del mezzo. Per

2

aria secca a 25°C e alla pressione atmosferica normale, l’impedenza acustica vale 410 kg/(m s).

Densità di energia sonora

La densità di energia sonora D è l’energia sonora contenuta nell’unità di volume circostante un punto

assegnato del mezzo di propagazione a un certo istante di tempo:

Per onde piane (oppure onde tridimensionali purché lontane dalla sorgente e dunque approssimabili come

piane), in un mezzo non viscoso, vale:

Potenza sonora

La potenza sonora (o acustica) è la potenza trasmessa al mezzo dalla sorgente. Si indica con W e si misura

in Watt. Se si considera una superficie